Lösungen der gedämpften Schwingung

MrEumel · Anmeldungsdatum: 23.06.2018 Beiträge: 20

Hallo,

Ich habe eine Frage bzgl. dem Ausdruck der allg. Lösung einer gedämpften Schwingung.

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe gibt es 3 Arten die allg. Lösung auszudrücken:

1. exp(-bt)*[A1*exp(iwt)+A2*exp(-iwt)]

2. exp(-bt)*[A1*sin(wt)+A2*cos(iwt)]

3. x0* exp(-bt)*cos(wt + phi)

Mir ist bereits klar, woher (1) kommt. Außerdem weiß ich wo (3) aus (2) hergeleitet wird, nur von (1) auf (2) schaffe ich es nicht ganz. Hier der Auszug von Wikipedia:

[img]https://imgur.com/a/OxW4W6R[/img]

Wenn ich die beiden Exponentialfunktionen (ich betrachte nur den Ausdruck in der Klammer) mit der Eulerformel umschreiben in cos + isin und dann beide Koeffizienten A1 und A2 zusammenfasse erhalte ich:

(A1+A2)cos(wt) + i(A1-A2)sin(wt)

Ich schaffe es also nicht das i zu eliminieren und erhalte demnach also nicht die gewünschte rein reelle Darstellung. Was mache ich hier falsch?

Außerdem würde ich mir wünschen, wenn mir jemand erklären könnte ob es auch möglich ist den "Rückweg" der Umformungen zu gehen. Sprich von (3) nach (2) nach (1). Wenn ja, wie? Wenn nicht, warum?

Dankeschön!