Aufstellen der Zwangsbedingung

djang0 · Anmeldungsdatum: 30.07.2017 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo ,

ich habe leider ein Problemchen mit folgender Aufgabe:

Aufgabenstellung:
Ein Klotz mit Masse m wird in einem homogenen Gravitationsfeld mit einem masselosen Faden über ein Rad mit Masse M an eine Feder gekoppelt. Die Feder hat die Fe-
derkonstante k und ist an einer Seite ortsfest fixiert.
Das Rad ist reibungsfrei aufgehangen und entspricht einer dünnen Scheibe mit Radius R, Dicke h und Massendichte

(r ist der Ab-
stand zum Schwerpunkt).
Der Faden treibt das Rad wie ein Keilriemen an.

a)Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Scheibe.

b)Zeigen Sie, dass das Feder-Scheibe-Masse-System
genau einen Freiheitsgrad hat.

c)Finden Sie eine verallgemeinerte Variable für das System, so dass die Wirkung des
Gravitationspotentials in der Bewegungsgleichung nicht explizit auftaucht. Welchen Rolle spielt

aus physikalischer Sicht für das Feder-Masse-Rad-System?

Meine Ideen:
zu a)

mit Zylinderkoordinaten und der Def. von Rho komme ich somit auf

ist das erstmal richtig?

zu b) Ich weiss, dass die anzahl der Freiheitsgrade von den Zwangsbedingungen abhängt:
F=3N-r, r...#Zwangsbed., N...#Punktmassen
Somit muss ich ja mind. 8 Zwangsbedingungen finden für das 3 Teilchen-System.

die ersten 3 wären z1=0, z2=0, z3=0 da sich das Problem auf 2dim. reduzieren lässt.
Mit den restlichen tue ich mich allerdings irgendwie schwer. Kann mir da jemand helfen ?

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Hallo!

Zu a:

Wenn die Dichtefunktion:

sein soll, dann ist dein Ergebnis richtig.

Zu b:

Die Gleichung für die Freiheitsgrade der Massenpunkte kannst du hier nicht nutzen, da die Scheibe ja kein Massenpunkt ist, sondern als starrer Körper
zu betrachten ist, der auch rotieren kann. Mit der Einschränkung auf ein ebenes Problem hast du aber recht. Die Feder würde ich hier als massenlos ansehen, womit für die Feder die Freiheitsgrade entfallen. Die Scheibe wird nehme ich an, so befestigt sein, dass sie sich nur um die z-Achse drehen kann und somit nur einen Freiheitsgrad hat. Das selbe auch beim Klotz, der sich nur rauf und runter bewegen kann. Also auch nur ein Freiheitsgrad. Somit insgesamt zwei Freiheitsgrade. Klotz und Scheibe können sich nicht unabhängig von einander bewegen, da sie miteinander durch den Faden verbunden sind. Somit eine Zwangsbedingung. Welche Strecke legt ein Punkt am Rand der Scheibe zurück, wenn der Klotz die Strecke Delta h zurücklegt?

Zu c:

Du musst wahrscheinlich mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die DGL für die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von h und dessen zeitlichen Ableitungen darstellen.