Impuls- und Energierhaltungssatz: Kugelpendel

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Hi @all
ich habe folgende Problemstellung:
Zwei Kugeln eines Kugelpendels (mit 5 Kugeln) mit der Masse m werden mit der Geschwindigkeit v losgelassen. Zu beweisen ist, dass zwei Kugeln im Gegenzug auf der anderen Seite hochgehen und es unmöglich ist, dass zum Beispiel nur eine einzige Kugel mit doppelter Geschwindigkeit hochgeht oder gar alle mit niedriger Geschwindigkeit sich weiterbewegen.

Floglich müsste hier sowohl der Impuls-, als auch der Energieerhaltungssatz gelten:

1) Impulserhaltungssatz:
m1*v1+m2*v2=m1*u1+m2*u2+m3*u3+m4*u4+m5*u5
Da m1=m2, m3, m4, m5 kann ich die m alle ausklammern und kürzen:

v1+v2=u1+u2+u3+u4+u5

2) Energierhaltungssatz:
0,5*m*(v1²+v2²)=0,5*m*(u1²+u2²+u3²+u4²+u5²)
Nach dem kürzen:
v1²+v2²=u1²+u2²+u3²+u4²+u5²

So jetzt könnte ich die obige Gleichung 1 quadrieren um beide Gleichungen gleich zu setzen. Dann würden die u-Quadrate alle wegfallen, ebenso v1 und v2. Übrig blieben die "gemischten Glieder" dieses Ausdrucks ( u1²+u2²+u3²+u4²)² , die wiederum gleich 0 wären. Allerdings nützt mir das nicht viel.

Zweiter Versuch:
v1=v2=v
Somit würden die Gleichungen wie folgt lauten:
1)v=u1+u2+u3+u4+u5
2)v²=u1²+u2²+u3²+u4²+u5²

Dann könnte man wie oben vorgehen mit dem Quadrieren, allerdings kann ich so nicht beweißen, dass genau zwei Kugeln wegfliegen.

Das alles bringt mich nur nicht wirklich weiter.
ich hoffe auf eure Hilfe. Danke im Vorraus.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also... streng genommen kannst Du das mit Impuls- und Energieerhaltung eigentlich gar nicht zeigen. Es ist nämlich sehr wohl möglich, dass sich die Energie und der Impuls auf alle Kugeln auch anders verteilt und beide Erhaltungssätze damit erfüllt sind. Einfaches Bsp.: Wenn man zwei Kugeln hätte, die eine doppelt so schwer wie die andere. Jetzt läßt man die doppelt so schwere auf die leichte stoßen und zwar elstisch. Dann werden sich beide Kugeln irgendwie weiterbewegen und die leichte hat halt eine bestimmte Geschwindigkeit genauso wie die schwere.
Bei Deiner Aufgabe müßte man noch verschiedene Annahmen treffen, die ich jetzt aber so direkt nicht begründen könnte.
Einfach wirds, wenn man sagt, dass die wegfliegenden Kugeln sich alle mit der selben Geschwindigkeit weiter bewegen sollen. Dann ist es klar: Nach der Impulserhaltung würde sich also die Geschwindigkeit der zwei Kugeln dann einfach auf die der wegfliegenden verteilen. Also wäre die Geschwindigkeit dann u=(2v)/n, wobei v die Geschwindigkeit der einfliegenden ist, u die der wegfliegenden und n die Anzahl der wegfliegenden. Wenn Du darauf den Energieerhaltungssatz anwendest ist einfach zu sehen, dass das nur möglich ist, wenn v=u und damit n=2 gilt. Nach der Formulierung der Aufgabe habe ich fast den Eindruck, dass sie so gedacht ist.
Aber wie Du richtig schreibst sagt ja eigentlich keiner, dass die wegfliegenden Kugeln genau wie die einfliegenden unbedingt die untereinander die selbe Geschwindigkeit haben müssen. Um hier auf eine korrekte Lösung zu kommen, müßte man alle Stöße zwischen zwei Kugeln einzeln betrachten:
Kugel 1 und 2 haben Geschwindigkeit v. Zuerst stößt die Kugel 2 mit der Kugel 3 zusammen. Weil beide die gleiche Masse haben bleibt 2 stehen und 3 bewegt sich mit v weiter. Die überträgt dann ihren gesamten Impuls auf 4, während aber 1 ihren Impuls auf die jetzt ruhende 2 überträgt, dann 4 auf 5 und wieder 2 auf 3 und 3 dann auf 4. Jetzt hat 4 und 5 die gesamte Geschwindigkeit und das wars.
Meine Antwort auf die Aufgabe wäre also wahrscheinlich anders, als sie vom Aufgabensteller gedacht war: Eigentlich hat man nur Stöße zwischen zwei gleichschweren Kugeln. Dabei wird immer der gesamte Impuls übertragen, was sich leicht mit Impuls- und Energieerhaltung zeigen läßt. Wenn zwei Kugeln eintreffen entstehen zwei "Ketten" von Impuls-weitergabe-Reaktionen die in den jeweils zwei letzten Kugeln enden. Oder vielleicht nochmal etwas anders ausgedrückt, um die Annahme am Anfang vielleicht doch noch zu begründen: Dadurch, dass es immer elastische Stöße zwischen zwei gleich schweren Kugeln sind, kann zu jeden Zeitpunkt (wenn man wirklich von ideal/unendlich kurzen Stößen ausgeht) jede Kugel entweder in Ruhe ist oder die Geschwindigkeit v hat. Deshalb müssen immer zwei Kugeln diese Geschwindigkeit haben, egal wann man das ganze anschaut. Dadurch ist es nur möglich, dass die letzten beiden weg fliegen und zwar eben mit der Geschwindigkeit v.

Hoffe, Dir hilft das vielleicht weiter.

Gruß
Marco

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Diese "Lösungsidee" hatte ich bereits. Allerdings mein Lehrer ist der festen Überzeugung, das man dies als in einer Gleichung beweisen kann/muss.
Für lediglich 2 Kugeln geht dies ja auch.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ja, das hatte ich mir schon gedacht, deshalb schrieb ich am Anfang ja meinen falschen Ansatz hin. Der wäre dann so, dass beide eintreffenden Kugeln die selbe Geschwindigkeit (untereinander) haben, und die wegfliegende Gruppe auch wieder die selbe Geschwindigkeit (untereinander). Dann ist es einfach! Du kannst ja mal u in Abhängigkeit von v und der Anzahl der wegfliegenden Kugeln mit dem Impulserhaltungssatz schreiben. Wenn Du das dann in die Energieerhaltung einsetzt bekommst Du halt raus, dass das nur geht, wenn die Anzahl der rausfliegenden gleich der Anzahl der reinfliegenden ist. Aber das ist eben mit einer bisher noch nicht bewiesenen Annahme gerechnet. Ich bin mir aber sicher, dass er genau das meint.
Leider kann man diese Annahme aber erst belegen, wenn man von Einzelstößen ausgeht. Anders geht das nicht! Wie gesagt: Wenn z. B. die drei Kugeln, die am Anfang in Ruhe sind, miteinander fest verbunden wären und die einfliegenden Kugeln auch untereinander verbunden wären, dann wäre das ein Stoß zwischen zwei Körpern mit einmal 2m Masse und einmal 3m Masse. Dabei kann man wunderbar die Energieerhaltung und die Impulserhaltung einhalten und bekommt Geschwindigkeiten für die beiden Körper danach raus und alles ist wunderbar. Aber für die IE und EE macht es keinen Unterschied, ob die Kugeln verbunden sind oder nicht. Wenn man von beliebigen Geschwindigkeiten ausgeht nach dem Stoß, dann gibt es für IE und EE unendlich viele Lösungen. Die einzige Sache, die das verhindert ist, dass man mit einzelnen Stößen rechnen muß und deshalb das gilt, was ich im anderen Post geschrieben hab. Wahrscheinlich ist Deinem "ehemaligen Lehramtsstudenten" das einfach selbst nicht klar! Big Laugh

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Rechnung wird viel machbarer, wenn du nur das ansetzt, was du zeigen sollst: (Das heißt, dass du annimmst, dass sich vor und nach dem Stoß alle Kugeln, die sich bewegen und nicht in Ruhe sind, mit derselben Geschwindigkeit bewegen):

Also am Anfang Impuls und kinetische Energie einer Masse m_1= 2*m mit der Geschwindigkeit v_1.

Und am Ende: Impuls und kinetische Energie einer Masse m_2 mit Geschwindigkeit u_2.

Und dann wirst du merken, dass es für diesen Ansatz nur eine einzige Lösung (für u_2 und m_2) gibt.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo dermarkus!

Das ist schon richtig, im Prinzip ist die Aufgabe sicher so gedacht. Aber so wirklich eindeutig formuliert finde ich das nicht. Da steht ja "... nicht möglich ist, dass zum Beispiel nur...". Eigentlich würde für mich das erstmal noch nicht bedeuten, dass damit gemeinte ist: Alle Kugeln, die eine Geschwindigkeit ungleich null haben, müssen auch die selbe Geschwindigkeit haben. Das wird meines Erachtens erst klar, wenn man sich das mit einzelnen Stößen überlegt und dabei dann sieht, dass immer der gesamte Impuls einer einzelnen Kugel auf die nächste übertragen wird und deshalb alle Kugeln nur immer entweder die Geschwindigkeit 0 oder eben die Geschwindigkeit der einfliegenden Kugeln v haben kann. Dann wird mit IE und EE auch leicht klar, dass immer genau zwei der Kugeln diese Geschwindigkeit haben dürfen und dann ist die Aufgabe eh schon gelöst. Aber streng genommen steht das nicht so in der Aufgabe, finde ich...

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, ein bisschen muss man dabei interpretieren, was die Aufgabenstellung mit "zum Beispiel" meint.

Da habe ich halt gesehen, was hier gut machbar ist: Nämlich einfach zu zeigen, dass alle genannten Beispiele zu einem Widerspruch führen.

Und wenn man das geschafft hat, dann kann man hier schon zufrieden sein und die Aufgabe als gelöst betrachten.

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Also angenommen es sei der Fall, das die geschwindigkeiten der beiden anfliegenden und wegfliegenden Kugel gleich groß sind, dann müsste ich doch folgendes rechnen können:

1) 2*(0,5m*v²)=2*(0,5m*u²) --> v=u
2) 2*m*v=2*m*u --> v=u

Allerdings wie bekomme ich da u=2*v/n hinein?
Einfach für u einsetzen:
Dann stände da sowas:

v=2*v/n --> 1=v/n --> n=v
Aber das zeigt noch nicht, das zwei Kugeln wegfliegen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Ansatz, wie ich ihn ja beschrieben hatte, war ja:

Und dieses System zweier Gleichungen hat als einzige Lösung

u_2 = v_1

und

m_2 = 2*m

Und das zeigt, dass zwei Kugeln mit Geschwindigkeit u_2=v_1 wegfliegen.

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Allerdings kann u meiner Ansicht nach nie gleich v sein, da:

Nach EE gilt:
2*v²=u1²+u2²+u3³+u4²+u5²
da Kugel 3 die geschwindigkeit 0 hat:
2*v²=u1²+u2²+u4²+u5²

Nach dem IE gilt: 2v=(u1+u2+u3+u4+u5)
Mit der Berücksichtigung von oben und nach v umgestellt:
v=(u1+u2+u4+u5)/2

Die beiden gleichgesetzt:
2*[(u1+u2+u4+u5)/2]²=u1²+u2²+u4²+u5²

Das gibt einen gewaltigen term auf der linken Seite.
Nach einigen Zusammenfassungen:
u1²+u2³+u4³+u5²=2*(u1u2+u1u4+u1u5+u2u4+u2u5+u4u5)
Da die beiden Kugeln (1 und 2) später die geschwindigkeit 0 besitzen, müsste gelten:
u4²+u5²=2u4u5

Angenommen u4=u5=u:
2u²=4u
u²=2u

Das wäre alles andere als logisch, denn wie kann u² gleich 2u sein oder ist in meiner Rechnung irgendwo ein Fehler?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ganz am Ende war ein Fehler. Denn aus:

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Stimmt, habe ich jetzt auch bemerkt.

dann nochmals zu deinem Ansatz zurück:

Ich verstehe noch ncht so ganz, wieso man die Kugel 3 mit bei dem EE, bze IE die nur jeweils zwei Kugeln am ende betrachtet. Wer sagt denn, aißer der Realität, dass deren Geschwindigkeit 0 ist?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das ist ja genau das, was man mit gutem Willen aus der Aufgabenstellung ableiten kann, wie dermarkus das beschrieben hat.
Da sind ja zwei Bsp. erwähnt, die man so interpretieren kann, dass sich einmal nur eine mit doppelter Geschwindigkeit bewegen soll (was den IE aber nicht den EE erfüllen würde) oder eben alle zusammen mit einer für alle gleichen niedrigeren Geschwindigkeit, die man jetzt entweder so wählen könnte, dass IE oder EE stimmen aber niemals beide. Den Test könnte man jetzt noch ausweiten auf "zwei bleiben in Ruhe und drei bewegen sich mit einer untereinander gleich Geschwindigkeit" weiter oder eben auch mit 1 zu 4. Dabei sieht man dann, dass es nur dann klappt, wenn die Zahl gleich bleibt, also wenn 2 reinkommen auch 2 wieder raus müssen.
Physikalisch ist das damit noch nicht gezeigt, aber höchst wahrscheinlich ist die Aufgabe so gemeint. Wichtig für Dich ist aber eher, dass Du verstehst, warum die Zusammenhänge so sind. Als eine "Grunderkenntnis" wäre z. B. wichtig: Wenn sich zwei Körper elastisch stoßen, von denen der eine vorher in Ruhe war, dann kann die volle kinetische Energie und der komplette Impuls nur dann übertragen werden, wenn beide Stoßpartner (das ist jetzt nichts Unanständiges!) die gleiche Masse haben.
Ein anderes Bsp.: Nehmen wir an, wir haben eine Quelle von Neutronen. Die sollen jetzt abgebremst werden, so dass man danach thermische Neutronen hat. Neutronen entstehen ja bei Kernreaktionen und haben daher beim Entstehen deutlich mehr kinetische Energie, aber für Anwendungen z. B. in der Festkörperphysik braucht man normalerweise langsamere Neutronenen. Solche Neutronen können sich an Atomkernen unter anderem elastisch stoßen. Am schnellsten geben die jetzt ihre Energie an ein Medium ab, das zu einem großen Teil aus Atomkernen mit ähnlicher Masse besteht wie die Neutronen selbst haben. Und das ist dann ein Medium, das viel Wasserstoffkerne enthält, weil die ja nur aus Protonen bestehen, die fast die selbe Masse wie Neutronen haben und bei einem elsatischen Stoß dann sehr viel Energie übernehmen können.
Diese Tatsache ist auch bei anderen physikalischen Zusammenhängen wichtig, so dass ich glaube, dass Du genau das bei der Aufgabe lernen solltest.

Gruß
Marco

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Die Erkenntnis habe ich dann gewonnen. Danke.
Mich würde es allerdings schon mal reizen wenigstens die grundgedanken des Nachweißes mit allen 5 Kugeln zu verstehen, bzw. zu erarbeiten.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Gast

Okay, das mit den Wellen ist mir jetzt eine Nummer zu groß. Trotzdem danke.