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Florian1
Gast
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 Florian1 Verfasst am: 10. Nov 2016 14:43 Titel: Suche Informationen zur Quantenmechanik |
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Hallo liebe Forumsmitglieder
Vorneweg: Ich studiere (noch) nicht Physik und bin auch noch nicht so alt, habt also Nachsicht.
Ich hab e die letzten Monate damit verbracht mir per Autodidaktik und anhand von PDFs aus dem Internet Physik beizubringen. Ich kenn mich schon gut mit der Elektrodynamik nach Maxwell und der allgemeinen Relativität aus. Vor allem der mathematische Hintergrund interessiert mich dabei besonders. Jetzt hab ich mich der Quantenmechanik zugewandt und dazu erst einmal die Schrödingergleichung nachvollzogen. Dann hab ich mir das Standartmodell angesehen. Ich bin zwar kein Fan davon, dass die Kräfte jetzt durch Bosonen zustandekommen die ausgetauscht werden, aber ich hab es akzeptiert. Jetzt möcht ich aber tiefer in die Berechnungen einsteigen. Ich hab mir dazu wie immer PDFs geholt, aber es ist sehr schnell sehr unverständlich geworden. ich würde mich freuen, wenn jemand das erklären könnte, oder gute PDFs empfehlen kann. Folgende Fragen hab ich:
1. Was sind Spinoren? Sie dienen ja der Beschreibung des Spins eines Teilchens, oder? Laut arxiv.org/pdf/1312.3824.pdf kann man das sich wie Flaggen vorstellen, was mir auch sehr merkwürdig erscheint. Was hat es damit und mit den Komplexen Zahlen auf sich, die da vorkommen? Sind diese Objekte mit Tensoren vergleichbar?
2. Es gibt ja diese Dirac-Gleichung die irgendwie eine Verallgemeinerung für Relativität der Schrödingergleichung sein soll. Auf 1 aufbauend: Um was geht's da genau?
3. Ich hab auch was von solchen Unitären Gruppen gelesen U, SU und irgendwie sowas. Wie sind die im Kontext dieser Theorie einzuordnen?
Ich bin mir sicher, dass im weiteren Lernprozess noch mehr Fragen aufkommen, aber fürs erste wär ich froh, wenn ihr mir hier weiterhelfen könnt. Ich find einfach keine Quelle, die mich da abholt, wo ich bin. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2016 23:47 Titel: Re: Suche Informationen zur Quantenmechanik |
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| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin zwar kein Fan davon, dass die Kräfte jetzt durch Bosonen zustandekommen die ausgetauscht werden, aber ich hab es akzeptiert. |
Was heißt "kein Fan"? Letztlich ist das lediglich eine Verallgemeinerung des Ansatzes der Elektrodynamik.
| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | 1. Was sind Spinoren? ... Sind diese Objekte mit Tensoren vergleichbar? |
Sie sind verwandt.
Betrachtet man eine Symmetriegruppe wie die Lorentzgruppe, so kann man jeder Transformation R bzw. L verschiedene Darstellungen D(R) bzw. D(L) zuordnen. Jedes D hat eine Dimension dim D, die etwas mit den Objekten zu tun hat, auf denen sie operiert. Im Falle von Vektoren kennst du wahrscheinlich die 3-dim. Darstellung D(R), die einer 3er-Vektor mittels 3*3-Matrizen dreht. Im Falle der Lorentzgruppe existiert etwas analoges für die 4er-Vektoren, nämlich die 4*4 Matrizen D(L). Interessanterweise kann man auch weitere Darstellungen konstruieren.
Man kann einer Rotation R z.B. eine 2-dim. Darstellung D(R) zuordnen, die ein zweidimensionales Spinorfeld rotiert. Umgekehrt ist ein Spinor genau als das definiert, was eben mittels dieser D(R) rotiert wird.
Im Falle der Diracgleichung-Gleichung liegen vierkomponentige Bi-Spinoren vor.
| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | 2. Es gibt ja diese Dirac-Gleichung die irgendwie eine Verallgemeinerung für Relativität der Schrödingergleichung sein soll. Auf 1 aufbauend: Um was geht's da genau? |
Dirac hat nach einer relativistischen Verallgemeinerung der Schrödingergleichung gesucht. Dabei ist er auf diese Gleichung gestoßen.
M.E. gehst du viel zu schnell vor; du nimmst dir Stoff für mehrere Semester vor. |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 11. Nov 2016 21:58 Titel: |
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Danke, die kurz-Erklärungdieser Spinoren, ich glaub ich bin der Sache jetzt schon näher. Ich werd mich noch mehr mit diesen "Symmetrieruppen" beschäftigen, aber hat ein Spinor auch eine anschauliche physikalische Bedeutung?
Und mit dem "kein Fan" hab ich mich ein bisschen unklar ausgedrückt, ich wollte zum Ausdruck bringen, dass diese ganze Sache mit dem Austausch von Eichbosonen merkwürdig vorkommt, da ich (Wahrscheinlich zu sehr von der ART beeinflusst) annahm, dass man alle Grundkräfte auf eine Raumkrümmung, die halt durch unterschiedliche Sachen verursacht wird begründen kann und auch tut. Und warum in der Quantenmechanik so viel mit komplexen Zahlen gearbeitet wird ist mir immer noch etwas schleierhaft. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2016 01:15 Titel: |
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| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | ... hat ein Spinor auch eine anschauliche physikalische Bedeutung? |
Nein, nicht wirklich.
Es geht letztlich darum, dass die Transformation L eines Koordinatenvektors r mit der Transformation D(L) eines Feldes (r) zusammenhängt bzw. diese induziert, jedoch i.A. nicht identisch ist.
\,\Psi)
Betrachtet man den allgemeinsten Fall, so findet man eben Spinorfelder. Die zugrundeliegende Mathematik ist recht abstrakt, aber für die normale Anwendungen kann man sich einfach an die Rechenregeln gewöhnen und diese anwenden.
| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | ... dass mir diese ganze Sache mit dem Austausch von Eichbosonen merkwürdig vorkommt, da ich ... annahm, dass man alle Grundkräfte auf eine Raumkrümmung ... begründen kann. |
Umgekehrt. Man kann die ART als Eichtheorie formulieren. Dabei wird diee metrische Tensor mittels Vierbeinen ausgedrückt; das ist letztlich ein an jedem Punkt P definierte Basis eines 4-dim. Vektorraumes. Die Rotationen dieser Basis (an jedem Punkt P) entsprechen den Eichtransformationen; die Vierbeine selbst entsprechen den Feldstärken einer nicht-abelschen SO(3,1) Eichtheorie; der Transport einer Basis zu einem benachbarten Punkt Q entspricht der Zusammenhangsform bzw. dem Eichfeld.
| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | ... dass diese ganze Sache mit dem Austausch von Eichbosonen merkwürdig vorkommt. |
Vergiss' bitte dieses Bild mit dem Austausch; er stammt wohl von deinem Bild der Feynmandiagramme. Dies ist ein sehr spezielles, nur in einer bestimmten Näherung gültiges und sinnvolles mathematisches Verfahren und hat nichts mit der fundamentalen Formulierung zu tun.
Es ist ungefähr so sinnvoll, wie wenn man Funktionentheorie mit Taylorentwicklung identifiziert.
| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | Und warum in der Quantenmechanik so viel mit komplexen Zahlen gearbeitet wird ist mir immer noch etwas schleierhaft. |
Weil man damit die benötigten Gleichungen sehr kompakt formulieren kann.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 12. Nov 2016 21:40 Titel: |
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Was mich halt an diesen Gleichungen mit komplexen Zahlen verwirrt, ist zum Beispiel an den Dirac Matrizen zu sehen. Das sind Matrizen, werden aber als Vektoren notiert (de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Matrizen). Liegt das an den komplexen Zahlen? Also dass man diese auch als Vektoren sehen kann und dann die Matrix wieder ein Vektor von Vektoren, also ein Matrix ist? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 12. Nov 2016 21:50 Titel: |
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| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | Was mich halt an diesen Gleichungen mit komplexen Zahlen verwirrt, ist zum Beispiel an den Dirac Matrizen zu sehen. Das sind Matrizen, werden aber als Vektoren notiert (de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Matrizen). Liegt das an den komplexen Zahlen? Also dass man diese auch als Vektoren sehen kann und dann die Matrix wieder ein Vektor von Vektoren, also ein Matrix ist? |
Nein. Das liegt schlicht an einer (nicht zufaelligen) Eigenschaft dieser Matrizen. Um ehrlich zu sein: Das ist Mathematik die etwas ueber Deinem derzeitigen Horizont ist. (Genauso wie eigentlich auch Toms Antwort.) Aber Du wirst es bald im Studium lernen, also mach Dir deswegen keine Sorgen 
Verschwende jetzt aber auch keine Zeit darauf es verstehen zu wollen. Ohne die nötigen Grundlagen wirst Du es nicht verstehen.. und richtig schon gar nicht. Nimm die mathematischen Dinge einfach als Dinge hin, die Du bald lernen wirst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2016 22:18 Titel: |
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| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | Das sind Matrizen, werden aber als Vektoren notiert |
Es handelt sich um vier 4*4 Matrizen mit mu = 0,1,2,3, wobei diese vier Matrizen zusammen einen Vierervektor bilden.
Außerdem existiert eben die Spinordarstellung der Lorentztransformation.
Man findet also eine Transformationsvorschrift
\,\psi)
\,\gamma^\mu\,S^{-1}(L) = (L^{-1})^\mu_\nu\,\gamma^\nu)
D.h. die Lorentztransformatin L, die einen Raumzeitvektor r transformiert, führt auf eine Darstellung S(L), mittels derer man sowohl den Spinor psi als auch jede der Gammamatrizen durch Matrixmultiplikation transformieren kann; dies ist gerade die Eigenschaft, dass psi zur Spinordarstellung gehört.
Andererseits bilden die vier Gammamatrizen zugleich einen Vierervektor(wobei jede der vier Komponenten dieses Vektors eben gerade eine 4*4 Matrix ist). Und deswegen kann man diesen gesamten Vierervektor wieder mit der für Vierervektoren gültigen Transformation L transformieren.
Ist nicht ganz einfach :-) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 12. Nov 2016 22:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Andererseits bilden die vier Gammamatrizen zugleich einen Vierervektor...
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Nein tun sie nicht. Sie sind was sie eben sind.
Das hier ist nämlich falsch:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Die Gammas transformieren sich naemlich gar nicht. Deswegen transformiert sich naemlich
wie ein Vierervektor (wofuer man dann den zweiten Teil Deiner zitierten Zeile braucht, welcher natuerlich richtig ist).
| Zitat: |
Ist nicht ganz einfach :-) |
In der Tat 
PS: Ich weiss, dass Du das kannst. Aber glaub hier musste man mal etwas pedantisch sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18069
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2016 22:56 Titel: |
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Na, es gilt
)
Ja, du hast natürlich recht; die gammas transformieren selbst nicht. |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 15. Nov 2016 16:03 Titel: |
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Danke für die guten Erklärung bis jetzt. Ich versteh meine PDFs jetzt viel besser und hab mich jetzt noch ein bisschen mehr mit dieser Dirac-Gleichung beschäftigt. Dennoch versteh ich noch nicht ganz, wie ich mit diesen Dirac-Matrizen umgehen soll. Es sind vier Matrizen, also jedes  ist eine eigene Matrix. Aber ich weiß nicht, wie ich dann mit der Definition dieser Matrizen umgehen soll. Da heißt es z.B. ^2 = -1) . Aber welche Rechnung ist das, dass man eine Matrix quadriert und einen Skalar rausbekommt? Ist das eine Kurzschreibweise für irgendwas? Alles was ich bisher probiert hab liefert nicht -1. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 15. Nov 2016 16:10 Titel: |
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Rechts musst Du Dir eine Einheitsmatrix mitdenken. Die laesst man manchmal weg (oder liest die 1 als Einheitsmatrix). |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 15. Nov 2016 16:18 Titel: |
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Aahhh, danke! das steht im Skript tatsächlich nicht. jetzt macht's Sinn |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 15. Nov 2016 22:44 Titel: |
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Ok, wie man die Klein-Gordon-Gleichung erstellt ergibt perfekten Sinn, man nimmt einfach die Energie-Impuls Beziehung aus der SRT und benutzt die Operatoren für Energie und Impuls aus der Schrödinger-Gleichung. In meinem Skript steht, dass die Dirac-Gleichung als Wurzel aus der Klein-Gordon-Gleichung gesehen wird. Ich hab mir zwar schon gedacht, dass man das nicht 100% ernst nehmen sollte, ich hab's aber trotzdem mal durchgeführt. Ich hab was raus, das nicht der gesuchten Gleichung entspricht. Aber wie kommt man dann darauf, dass in der Gleichung diese Matrizen vorkommen müssen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 20. Nov 2016 19:18 Titel: |
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Ahh, ich glaub ich hab das jetzt verstanden. das ist ja echt richtig schlau. Psi ist ja dann als Lösung dieser Gleichung ein Spinor. Ich seh da irgendwie eine Ähnlichkeit zu diesen Gamma-Matrizen. ich lieg wahrscheinlich falsch, aber ist jedes Psi(von den 4) wider eine Matrix? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 20. Nov 2016 20:24 Titel: |
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| Florian1 hat Folgendes geschrieben: | | ich lieg wahrscheinlich falsch, aber ist jedes Psi(von den 4) wider eine Matrix? |
Nein, da liegst Du in der Tat falsch. Die vier Komponenten von psi sind einfach komplexe Zahlen. Psi ist also ein vierdimensionaler Vektor. |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 20. Nov 2016 20:51 Titel: |
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Ok, war nur so ne Mutmaßung. Ich hab die Gleichung jetzt mal in Matrixschreibweise ausgeschrieben und hab jetzt 4 Gleichungen, also ein Gleichungssystem, dass sich lösen lassen müsste. Aber wie macht man jetzt so einen Ansatz für die Wellenfunktion? Bei der Schrödingergleichung nutzt man ja einen Ansatz a la e hoch i irgendwas. Macht man dann bei dem Vektor für jede Komponente so einen Ansatz, oder oder gibt's da irgendwas zu beachten? Also wie muss man den Ansatz für die Komponenten für bestimmte Situationen wählen? (Ich erwarte jetzt keine Liste oder sowas) |
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Florian1
Gast
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| Florian1 Verfasst am: 21. Nov 2016 21:42 Titel: |
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Weil es ist halt so, bei der Schrödingergleichung wusste ich halt noch, dass das irgendwie das Äquivalent einer Amplitude oder sowas ist. Aber bei diesen 4 Komponenten hab ich keine Ahnung was die jetzt repräsentieren und dementsprechend auch nicht, wie man da ansetzen kann. |
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