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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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 Markus2309 Verfasst am: 08. Aug 2023 20:27 Titel: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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Meine Frage:
Was ist der Sinn vom Wechselwirkungsbild?
Im Schrödingerbild hab ich zeitabhängige Zuständen und (bis auf explizite Abhängigkeit) zeitunabhängige Operatoren. Die Zeitentwicklung des Zustandes ist über die Schrödingergleichung gegeben.
Im Heisenbergbild ist es andersrum und die Zeitentwicklung der Operatoren ist über die Heisenberggleichung gegeben (im Prinzip Ehrenfest-Theorem ohne Erwartungswerte).
Im Wechselwirkungsbild haben wir jetzt den Hamiltonian aufgeteilt in einen zeitabhängigen und unabhängigen Teil. Aber wieso sage ich hier, dass die Zeitentwicklung des Zustandes über den zeitabhängigen Teil gegeben ist und die Zeitentwicklung der Operatoren über den zeitunabhängigen Teil? warum nicht anders herum? Was bringt mir das überhaupt? Es heißt ja immer, dass man das für zeitabhängige Störungstheorie brauche.
Wenn ich die Übergangsamplitude 1. Ordnung im Schrödingerbild berechne und mit der im Wechselwirkungsbild vergleiche, komme ich ja auf das gleiche. Oder ist dann der Wechselwirkungsbild-Störterm angenehmer im Integral zu berechnen? Also macht man das, weil es im Schrödingerbild zu kompliziert wäre und ich im Wechselwirkungsbild das Problem in zwei Teile aufteile (Störterm in WW Bild transformieren + Integral lösen) dann leichter ist? Wenn ja, wieso ist das dann leichter?
Meine Ideen:
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 09. Aug 2023 16:29 Titel: Re: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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Gute Frage, gar nicht so einfache Antwort  Ich versuch es mal aus Sicht der Quantenfeldtheorie, in der die Benutznug des Wechselwirkungsbildes vetmulich am geläufigsten ist.
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
Aber wieso sage ich hier, dass die Zeitentwicklung des Zustandes über den zeitabhängigen Teil gegeben ist und die Zeitentwicklung der Operatoren über den zeitunabhängigen Teil? warum nicht anders herum?
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Das ist i.A. nicht die Aufteilung, die man wählt. Sondern H = H0 + V, der "freie" Teil H0 sorgt dann für die Zeitentwicklung der Operatoren und die "Wechselwirkung" V für die der Zustände.
| Zitat: |
Was bringt mir das überhaupt? Es heißt ja immer, dass man das für zeitabhängige Störungstheorie brauche.
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Der Hauptpunkt ist, dass die Lösung für die freie Theorie H0 bekannt ist. Im einfachsten Fall einfach ebene Wellen in einer Fourierentwicklung. Die zugehörigen Erzeugungs- und Vernichtungsoprtaoren a+ und a erzeugen dann "freie Teilchen" und die Kommutationsrelationen von a+ und a sind bekannt (und einfach). Mithilfe diese lässt sich dann (mehr oder weniger leicht) zeigen, dass man Lorenz-invariante Quantenfeldtheorien beschreiben kann. Genauer: QFTs deren S-Matrixelemente die Lorentz-Symmetrie respektieren.
| Zitat: |
Wenn ich die Übergangsamplitude 1. Ordnung im Schrödingerbild berechne und mit der im Wechselwirkungsbild vergleiche, komme ich ja auf das gleiche. Oder ist dann der Wechselwirkungsbild-Störterm angenehmer im Integral zu berechnen? Also macht man das, weil es im Schrödingerbild zu kompliziert wäre und ich im Wechselwirkungsbild das Problem in zwei Teile aufteile (Störterm in WW Bild transformieren + Integral lösen) dann leichter ist? Wenn ja, wieso ist das dann leichter?
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Ja, natürlich müsste in jedem Bild, dasselbe Ergebnis rauskommen. Die Frage ist, ob ich es in jedem Bild (zur hinreichenden Näherung) berechnen kann.
Einer der Gründe, wieso das im Wechselwirkungsbild so gut funktioniert, ist, dass diese S-Matrixelemente hier Übergangsmatrixelemente zwischen freien Zuständen sind. Für allgemeine, wechselwirkende Zustände wäre diese Konstruktion ungleich schwieriger (ich kann gerade nichtmal ein Beispiel nennen, wo dies so versucht worden wäre).
Details der ganzen Konstruktion findest Du in großem Detail in Steven Weinbergs "The Quantum Theory of Field, Vol. I".
PS: Die ganze Kontruktion ist deshalb auch für "normale" Störungstheorie in der QM gut geeignet, weil sich der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild mithilfe der Dyson-Reihe einfach als Reihe in Potenzen der Koppliungskonstanten darstellen lässt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 09. Aug 2023 17:15 Titel: |
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Danke.
Ich habe an der selben Antwort herumgebastelt und mir ist auch eingefallen, dass es "einfacher ist", jedoch habe ich keinen Vergleich; ich habe QFT gemäß Lehrbuch nur im Wechselwirkungsbild kennengelernt.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Aug 2023 21:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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Stoffel
Gast
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| Stoffel Verfasst am: 09. Aug 2023 18:48 Titel: Re: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich die Übergangsamplitude 1. Ordnung im Schrödingerbild berechne und mit der im Wechselwirkungsbild vergleiche, komme ich ja auf das gleiche.
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Ist das so? Vielleicht müsstest du genauer erklären, was damit meinst.
Der Punkt des WW-Bildes ist doch, dass die Zeitentwicklung allein durch den Störungterm beschrieben wird, der klein ist. Nur dann hat eine Reihenentwicklung einen Sinn. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 09. Aug 2023 22:33 Titel: Re: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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| Stoffel hat Folgendes geschrieben: | | Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich die Übergangsamplitude 1. Ordnung im Schrödingerbild berechne und mit der im Wechselwirkungsbild vergleiche, komme ich ja auf das gleiche.
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Ist das so? Vielleicht müsstest du genauer erklären, was damit meinst.
Der Punkt des WW-Bildes ist doch, dass die Zeitentwicklung allein durch den Störungterm beschrieben wird, der klein ist. Nur dann hat eine Reihenentwicklung einen Sinn. |
Wenn ich physikalische Übergangswahrscheinlichkeiten berechne, dann sollte die Reihenentwicklung in der kleinen Störung dieselbe sein, egal wie und im welchem Bild ich es ausrechne. Ansonsten läuft irgendwas falsch.
Das heißt aber wie gesagt nicht, dass ich diese Rechnung im Schrödinger-/Heisenberg-/Wechselwirkungsbild jeweils gleich einfach durchführen kann. Im Gehenteil, das WW-Bild ist hier -aus den von mir und dir beschrieben Gründen- besonders einfach. |
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Stoffel
Gast
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| Stoffel Verfasst am: 10. Aug 2023 09:04 Titel: Re: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich physikalische Übergangswahrscheinlichkeiten berechne... |
Es wahr ja von Übergangsamplituden die Rede. Es geht natürlich nicht darum, wie man eine Größe berechnet, sondern darum, ob sie bildunabhängig definiert ist.
| Zitat: | | ... dann sollte die Reihenentwicklung in der kleinen Störung dieselbe sein, egal wie und im welchem Bild ich es ausrechne. |
Nach meinem Verständnis benutzt man immer das WW-Bild, wenn man die Zeitentwicklung als Reihe im Störungsterm berechnet. Für die Zeitentwicklung im Schrödingerbild müsste man den vollständigen Hamiltonoperator benutzen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 10. Aug 2023 09:37 Titel: Re: Wechselwirkungsbild Quantenmechanik |
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| Stoffel hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich physikalische Übergangswahrscheinlichkeiten berechne... |
Es wahr ja von Übergangsamplituden die Rede. Es geht natürlich nicht darum, wie man eine Größe berechnet, sondern darum, ob sie bildunabhängig definiert ist.
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Und das sind die Amplituden (und somit Übergangswahrscheinlichkeiten) ja offensichtlich.
| Zitat: |
| Zitat: | | ... dann sollte die Reihenentwicklung in der kleinen Störung dieselbe sein, egal wie und im welchem Bild ich es ausrechne. |
Nach meinem Verständnis benutzt man immer das WW-Bild, wenn man die Zeitentwicklung als Reihe im Störungsterm berechnet. Für die Zeitentwicklung im Schrödingerbild müsste man den vollständigen Hamiltonoperator benutzen. |
Das ist aber nur ein praktisches Argument. Nichts spräche prinzipiell dagegen, die Berechnung in einem anderen Bild durchzuführen. Es ist halt nur nicht sehr praktikabel. |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 10. Aug 2023 12:25 Titel: |
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Danke euch! Ich merke, dass da wohl einiges dahinter steckt. Ich werde mal einen Blick in die angebotene Literatur werfen und vielleicht auch meinen Prof konsultieren. Da da wohl mehr dahinter steckt, bezweifle ich, dass ich das in der mündlichen Prüfung gefragt werde bzw. kann mir jetzt dank euch etwas sinnvolles zusammenreimen. |
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