Funktionen der zeit erstellen

marc00 · Gast

Hallöche alle zusammen,

ich habe hier zu einer aufgabe irgendwie ein Problem. Ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung gekommen ist:

Ein Körper führt eine glecihmäßige beschleunigte Bewegung aus. Zur Zeit t_o=0 befindet er sich am Ort mit der Koordinate s_o=0 und hat die Geschwindigkeit v_0=10m/s, seine Beschleunigung beträgt a=2 m/s².

a) Geben Sie die Geschwindigkiet des Körpers als Funktion der Zeit an
b) Geben sie seinen Weg als Funktion der Zeit an.

Die Lösung dazu lautet folgendermaßn:

a) v`(t) = a = constant (ist noch logisch)

v(t) = Integral a dt (kann ich auch noch verstehen) = a*t + v (wieso addieren wir hier ein v dazu? Das ist irgendwie mein Problem)

b) s(t) = ½ a*t² + v_0 *t + s_0 (wie man darauf gekommen ist, verstehe ich auch nicht)

Also, wenn ihr mir hier helfen könntet, wäre ich euch echt dankbar.

Vielen, vielen dank im vorras.

Gruß Marc

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Beim Integrieren mußt Du immer noch zu "einer" Stammfunktion eine Konstante dazu addieren. Stammfunktion ist ja so definiert, dass sie beim ableiten gerade wieder die ursprüngliche Funktion gibt. Konstanten fallen aber beim Ableiten heraus. Deshalb ist eine beliebige Stammfunktion plus eine Konstante auch wieder eine gültige Stammfunktion.
Die Konstanten, die beim Integrieren auftreten sind in der Physik dann meistens Anfangsbedingungen. Du hast ja s0 = 0 gegeben und v0 = 10m/s. Das sind Deine Anfangsbedingungen, mit denen Du dann genau eine bestimmte Stammfunktion rausfinden kannst. Wenn Du also als allgemeine Stammfunktion für v(t) das hier hast:

dann mußt Du die Randbedingungen so festlegen:

Und das dann genau so bei der Strecke, wobei hier dann zufällig die Integrationskonstante s0 = 0 ist und damit dann nachher wieder weg fällt.

Gruß
Marco

marc00 · Gast

zu a)

also ist die addition von v nach der integration wahllos? hätte man das auch weglassen können?
tut mir leid, dass ich es noch nicht auf anhieb verstanden habe.

TAZ · Anmeldungsdatum: 21.03.2006 Beiträge: 8

Mathematisch gesehen ist das v beliebig da Integiert wurde und also AUCH einen Beitrag zur EINER Stammfunktion beiträt also könnte das auch null bzw weg sein...aber Physikalisch ist das v die Anfangsgeschwindigkeit und muss dazuaddiert werden, insbesondere in deinem Fall wo vorgegeben ist das es eine Anfangsgeschwindigketi gibt!

Diese drei Zeilen gelten immer für diese Bewegung:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, genau. Um es noch etwas komplizierter zu sagen: Mathematisch löst Du damit eine Differenzialgleichung, was man streng genommen immer beim lösen eines Integrals tut. Bei Differenzialgleichungen gibt es erstmal allgemeine Lösungen, bei denen rein von der Differenzialgleichung her einige Parameter unbestimmt bleiben. Diese Parameter werden dann bei physikalischen Problemen über sog. Randbedingungen definiert, wie bei Dir die Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangsstrecke. Die allgemeine Lösung ist aber auch mathematisch gesehen erstmal mit den Parametern drin. Eigentlich solltet Ihr in Mathe auch gelernt haben, dass ein Integral immer sowas hier als Lösung hat:

mit einer erstmal beliebigen Konstanten c. Bei einem bestimmten Integral, also eins, bei dem Grenzen angegeben sind, fällt diese Konstante beim Einsetzen dann so wie so wieder weg. Da geht man dann aber implizit von der Randbedingung aus, dass man bei null anfängt zu integrieren. Wenn man sich das mit "der Fläche unter einer Kurve" vorstellt, ist es ja sofort klar, dass die Fläche bei zuerst null ist, und dass man dann die kleinen Streifen ab dem Startpunkt zu null dazuaddiert (aufintegriert) und nicht bei einem bestimmten Wert startet. Das ist eben bei anderen Anwendungen nicht immer so, wie man hier sieht. Ich würde jetzt aber nicht sagen, dass das eine mathematisch und das andere physikalisch ist. Eigentlich ist das alles Mathematik, allerdings kommen die Randbedingungen in diesem Fall aus den physikalischen Zusammenhängen, das ist schon richtig.
Bei komplizierteren physikalischen Problemen sind die Randbedingungen übrigens oft ein sehr schwieriges Problem. Z. B. hat man in der Elektrostatik eine recht einfache Differenzialgleichung für das E-Feld, aber die Randbedingungen (also die Ladungesverteilung) machen es sehr schwer manche Probleme zu lösen.

Gruß
Marco