Gewicht eines Körpers in Abhängigkeit von der Höhe - Seite 2

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Edler Gast, nun sind wir, glaube ich, auf dem Place de la Concorde angelangt. Ich habe viel hier lernen können.
Wagenschein erwähnt den Descartes auf den ersten Blick nur kurz in einer Fußnote. Die ganze Arbeit heißt „Die Erfahrung des Erdballs“. Vielleicht suchst Du mal nach dem Wagenschein-Archiv per Google. Ich meine, gesehen zu haben, daß einige Aufsätze als PDF zur Verfügung stehen.
Wenn auch der genannte Titel darunter ist, dann sollte man auf das Nachwort 1970 achten. Denn dann wäre es die vollständige Fassung der Arbeit, wie sie zuletzt bei Klett veröffentlicht wurde, aus der ich zitiert habe. In meinem Buch umfaßt der Abdruck ca. 32 Seiten.
Menninger kanntest Du schon? Ein absolutes Muß für jeden Mathematiker und Historiker. Es gibt da nichts Besseres auf dieser Welt, ein Nachschlagewerk fürs ganze Leben. (Letzter Nachdruck 1989, dürfte in Leinen rund fünfzig E kosten). Mein Rat, ehe es wieder für Jahrzehnte vergriffen ist, ...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit Coriolisablenkung meine ich in der Tat genau dasselbe wie die Ostabweichung. Denn ich habe die oben verwendete Formel für die Größe der Ostabweichung mit der Formel für die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem hergeleitet. Und damit ausgerechnet, um welche Strecke s_c der fallende Körper vom Lot horizontal nach Osten abweicht, weil sich die Erde dreht.

Also : s_c = Coriolisablenkung = Ostabweichung = Abstand vom Lotpunkt zum ein bisschen weiter östlich gelegenen tatsächlichen Auftreffpunkt.

Weil also Coriolis eine so schöne elegante theoretische Beschreibung dieses Phänomens gefunden hat, kennt man diesen Effekt heute unter seinem Namen, auch wenn ihn schon andere vor ihm gemessen und beschrieben haben.

Gast

Dank an Opa für die Literaturhinweise, das Wagenschein-Archiv habe ich gefunden und dort auch "Die Erfahrung des Erdballs", samt Nachwort von 1970, dazu noch "Die Erde unter den Sternen" sowie "Zusammenhänge der Naturkräfte", also erstmal genug Stoff zu verdauen.

Die 'Ostabweichung' die wir hier zum Thema hatten ist in der Tat nur ein Teilaspekt des nach Coriolis benannten Effekts, der eigentlich dreidimensional ist, und auch bei Bewegungen entlang der Erdoberfläche zur Ablenkung der Bewegung führt. Ein Beispiel dafür ist etwa die Ablenkung von Luft- oder von Wasserströmungen. Das Bild unten zeigt einen solchen Fall in der Bewegung von treibenden Bojen, es stammt aus dem schon erwähnten Papier von Anders Persson 'The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics', dessen Lektüre mir, zusammen mit Markus' dankenswerten Ausführungen, sehr dabei geholfen hat, mich von der 'flache Erde' Vorstellung zu verabschieden, die übrigens auch Wagenschein, zumindest explizit, nicht überwindet bei seiner Darstellung der Ostabweichung. Allerdings geht es ihm auch nur um die qualitative Begründung, und dafür genügt der intuitiv leicht erfassbare Geschwindigkeitsunterschied zwischen 'oben' und 'unten' oder 'außen' und 'innen' von dem ich zunächst auch ausging. Aber es steckt wesentlich mehr dahinter. Ganz kurz gesagt, der Coriolis-Effekt sorgt für eine Ablenkung, die stets senkrecht sowohl zur Drehachse des rotierenden Bezugssystems als auch zur Richtung der Bewegung zeigt. Als eine Scheinkraft ändert die Coriolis-Kraft niemals den Betrag der Geschwindigkeit der abgelenkten Masse (also seine Bewegungsenergie), sondern allein die Richtung. Die Folge davon ist die Bewegung auf einer Kreisbahn, was im Bild sehr schön zu erkennen ist. Da es sich um einen Trägheitseffekt handelt könnte man auch sagen, er sorgt dafür, dass die Dinge da zu bleiben versuchen, wo sie schon sind, in diesem Fall aber auf sehr dynamische Weise.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Unten im Bild, aus einem anderen Blickwinkel, die beiden Türme. Torre degli Asinelli erscheint so auch etwas größer.
Aus einem alten Lexikon, mit dem auch mir neuen Kanonenversuch:
„Ein Haupteinwand, der gegen die Rotation der E. erhoben wurde, namentlich von Tycho Brahe und Riccioli, war der, daß bei einer Drehung der E. um ihre Achse ein frei fallender Körper nicht senkrecht unter seinem Ausgangspunkt, sondern westlich von demselben auf die E. kommen müßte, weil die letztere während des Falles sich ein Stück nach O. drehe. Bei Fallversuchen, die Riccioli 1640 an einem Turm zu Bologna anstellte, hatte er von einer solchen Abweichung nichts wahrnehmen können.
Auch Mersenne und Montier stellten darauf bezügliche Versuche an, indem sie aus senkrecht in die E. gegrabenen Kanonen Kugeln abschossen, die aber, wie nicht anders zu erwarten, keinerlei Entscheidung lieferten.
Der ganze Einwand ist indessen falsch, wie zuerst Newton zeigte. Denn wenn aus dem höher liegenden Punkt ein Körper herabfällt, so behält er die seinem Ausgangspunkt entsprechende größere Geschwindigkeit während des Falles bei, er eilt daher dem senkrecht unter dem Ausgangspunkt liegenden Punkte der E. in der Richtung nach O. voraus, und er muß also nicht westlich, sondern weiter östlich auf die E. fallen. Die zur Prüfung dieser Theorie von Hooke angestellten Versuche blieben freilich erfolglos, weil die gewählte Fallhöhe von 27 Fuß zu klein war, und ebensowenig Erfolg hatten die 1791 von Gulielmini in einem Turm zu Bologna angestellten Versuche. Aber 1802 wiederholte Benzenberg diese Versuche am Michaelisturm zu Hamburg bei 235 Fuß und 1804 in einem Kohlenschacht bei Schlebusch in der Grafschaft Mark bei 262 Fuß Fallhöhe. Am erstern Ort erhielt er 4,3, am letztern 5,1 Linien Abweichung, während Gauß 4,0 und 4,6 berechnete. Versuche endlich, welche Reich 1831 im Dreibrüderschacht bei Freiberg bei 488 Fuß Fallhöhe ausführte, ergaben 12,6 Linien Abweichung nach O. Die Theorie verlangt übrigens auch eine äußerst unbedeutende Abweichung nach S.“
Fehler ???
1) Gulielmini, 2) am Michaelisturm, 3) Reich 1831 im Dreibrüderschacht bei Freiberg;
1) W.: Guglielmini mit g, 2) W.: im Michaelisturm;
3) W.: Freiburg i. S.
http://www.geophys.tu-bs.de/geschichte/reich.html

Freiburg in Schlesien oder Freiberg in Sachsen, bisher haben wir mit 50 Grad und 33 Minuten gerechnet. Müssen wir das jetzt ändern? Nicht, daß wir wieder mit womöglich 444 km Unterschied rechnen.

Zugleich eröffnet sich die Gelegenheit, einen ausgewiesenen Rechner, den größten Mathematiker aller Zeiten sogar, zu Rate zu ziehen. Leider gibt er (nach Meyers Konv. Lexikon im Netz) keine Millimeter an, sondern Linien (und wohl auch Füße).

Über Coriolis muß ich noch lernen, zumal bei manchen Artikeln im Netz doch schon noch das Wort Ostabweichung im Gebrauche ist.
Im Anfang der Nachprüfung der Tabelle von W., da gab es auch den Ansatz, wenn ich mich nicht irre, die „Herumschleudergeschwindigkeiten“ vom Erdboden und vom Turm (Asinelli) getrennt voneinander zu berechnen. Wenn man die Fallhöhe zu 78,3 Metern hat, den Breitengrad zu 44,5 hat, den Wert für g zu 9,804359 hat, die Erdzeit in Sekunden (24 mal 60 mal 60) festsetzt, dann scheint nur noch der Radius der Erde zu fehlen. In welcher Größe wollen wir diesen nun festsetzen, damit man die beiden Aufgaben gemeinsam rechnen kann?
Also mal ohne Corioliseffekt, denn da müßte doch auch etwas herauskommen. Dann könnte man vielleicht mit Gaußens Linien in den anderen Fällen, Schlebusch und Hamburg, vergleichen, vorausgesetzt, man wüßte, was ein Fuß und was eine Linie denn sind, oder aber man könnte deren Maßverhältnis erschließen aus den Rechnungen oder aus den alten Angaben des alten Lexikons.
Gauß, 30. 4. 1777 - 23. 2. 1855, hat ja von Coriolis, 1792 bis 1843, durchaus wissen können. Wenn wir also aus beiden Blickwinkeln vorgehen, einmal ohne und einmal mit Coriolis, dann können wir vielleicht auch ungefähr sehen, ob Gauß die Coriolisablenkung mitverechnet hat, oder nicht?

Gast

> Die Theorie verlangt übrigens auch eine äußerst unbedeutende Abweichung nach S.

Das ist der Tat richtig, ich verweise auf die knappe Beschreibung des Coriolis-Effekts in meinem vorigen Beitrag. Sie ist eine Folge der ostwärtigen Ablenkung die aus der Abwärtsbewegung resultiert. Im Bild unten ist eine Tabelle, in der die Bewegungen und Ablenkungen in drei Richtungen qualitativ dargestellt sind. Die Ostabweichung ist nur eine Komponente, sie ist in der rechten Spalte zu finden. Eine Bewegung in Richtung Osten hat ein Ablenkung in zwei Richtungen zur Folge, einmal südwärts (in der Tabelle als 'Nordwärts -1') und gleichzeitig auch aufwärts ('Abwärts -1'). Für die Südablenkung ist allerdings der Sinus der Breite als Faktor im Spiel, dieser Effekt ist am Äquator null, während die Ostablenkung dort maximal ist. Durch diese komplexe Dynamik kommt die im letzten Beitrag gezeigte Schleifenbahn der treibenden Bojen zustande, was als Trägheitskreis bezeichnet wird.

Als Merkhilfe für die Richtung der Ablenkung kann man die für solche Zusammenhänge gern verwendete Drei-Finger-Regel benutzen, auch UVW-Regel genannt, weil sie Ursache, Vermittelung und Wirkung verknüft. Hält man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand senkrecht zueinander dann zeigt der Daumen in Richtung der Bewegung (weg von der Achse), der Zeigefinger nach oben (Rotation, Erdachse, Norden) und der Mittelfinger zeigt in Richtung der Ablenkung (Westen). Bei einer Bewegung entgegen der Richtung des Daumens (dann abwärts, in Richtung Achse, Fall) zeigt die Ablenkung dann auch entgegengesetzt zur Richtung des Mittelfinger, also Osten. Ich wünsche ein fröhliches Fingerbiegen, das hält die Gelenke in Form ;-) man kann sich das aber auch aufzeichnen.

Das Ergebnis der Ostabweichung bei alleiniger Betrachtung der unterschiedlichen Geschwindigkeiten (oben schneller als unten) steht zur wirklichen Ablenkung im Verhältnis 3:2, das hatte ich früher schon ausgeführt und mit einem Bild zu Galileis 'flache Erde' Näherung illustriert. Die Gleichung dafür ist s=cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g), den Erdradius braucht man dafür nicht, weil nur die Differenz der Bahngeschwindigkeiten bei Radius 'oben' (w*ro) und 'unten' (w*ru) auftritt, ro-ru ist aber die Fallhöhe h, daher kommt das Produkt w*h in der genannten Gleichung, die nichts weiter ist als die Beschreibung der Weite eines horizontalen Wurfs. Zusätzlich ist noch g, die Breite und die Winkelgeschwindigkeit der Erde w nötig. Das korrekte Ergebnis erhält man durch Multiplikation des so gefundenen Werts mit 2/3.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

zu den "Fehlern":
1) Ich halte die italienische Schreibweise "Guglielmini" für richtig.
2) kann ich nicht beurteilen, ich war noch nicht im oder am Michaelisturm
3) hier erscheint mir Freiberg in Sachsen glaubhafter, da die Quelle, die Opa gefunden hat, mehr Details zu kennen scheint als Wagenschein.

Zum Minieffekt Südabweichung: In der Tat erfährt der fallende Körper auch eine Südabweichung. (Dies gilt allerdings nur auf der Nordhalbkugel der Erde, auf der Südhalbkugel wäre es umgekehrt.) Und in der Tat ist diese Südabweichung sehr, sehr klein, nämlich prozentual etwa um soviel kleiner als die Ostabweichung, wie die Ostabweichung kleiner als die Fallhöhe ist.

Da die Rechnungen von Gauß sehr gut mit den Messergebnissen übereinstimmen, wird er die Ostabweichung korrekt berechnet haben, (wenn er gerechnet hätte wie Galilei, dann wäre sein Ergebnis um die Hälfte zu groß gewesen, wie Gast richtig erklärt hatte). Das spricht dafür, dass man die Umrechnung von Fuß in Meter und die Umrechnung von mm in Linien herausfinden kann, wenn man den korrekten Breitengrad des Versuchsortes kennt Augenzwinkern

und die Angaben zu Gaußs Ergebnissen mit den Berechnungen mit unserer oben verwendeten Formel vergleicht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Zur Verwendung der Dreifingerregel, die Gast beschreibt, möchte ich Verwirrungen vorbeugen. Das Prinzip "Ursache, Vermittlung, Wirkung" ist eine Merkregel, die hier für mein Gefühl nur zufällig zum richtigen Ergebnis geführt hat.

Die Corioliskraft ist

Das Kreuzprodukt bildet ein Rechtssystem.

Die Richtung des Vektors, der das Kreuzprodukt von omega und v ist, ermittelt man also folgendermaßen mit der Dreifingerregel der rechten Hand:

Der rechte Daumen zeigt in Richtung der Drehachse der Erde (die zeigt von Süd nach Nord), der rechte Zeigefinger zeigt in Richtung der Geschwindigkeit v; dann zeigt der rechte Mittelfinger (senkrecht zur von den Vektoren omega und v aufgespannten Ebene) in die Richtung des Kreuzproduktes von omega mit v.

Da die Corioliskraft wegen dem Minuszeichen in der Formel in die entgegengesetzte Richtung dieses Kreuzproduktes zeigt, muss man die Richtung des erhaltenen Vektors dann noch invertieren. Statt dessen kann man in diesem Fall komplett die Dreifingerregel der linken Hand nehmen, um dieses Minuszeichen zu berücksichtigen:

Also: zeigt der linke Daumen in Richtung der Drehachse der Erde und der linke Zeigefinger in Richtung der Geschwindigkeit des Körpers, dann zeigt der linke Mittelfinger in die Richtung der Corioliskraft (senkrecht zu diesen beiden Vektoren) auf diesen Körper.

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Wendet man dies auf der Nordhalbkugel an, (dort entspricht eine Bewegung nach Norden einer Annäherung an die Erdachse) dann sieht man zusätzlich zu dem, was wir schon wissen, dass eine Bewegung in östliche Richtung eine Corioliskraft nach Süden bedeutet, und dass eine Bewegung in westlicher Richtung eine Corioliskraft nach Norden bedeutet.
Ebenso gibt es für eine Bewegung nach Norden eine Corioliskraft nach Osten, und für eine Bewegung nach Süden eine Corioliskraft nach Westen.

Dies stimmt mit Gasts Bild für die Bojenbewegung in der Ostsee überein, und erklärt nun auch anschaulich, warum einer der ersten experimentellen Hinweise auf die Existenz der Corioliskraft die Tatsache gewesen sein kann, dass Kanoniere feststellten, dass ihre Kanonenkugeln aus einem seltsamen, ihnen unerfindlichen Grund ihr Ziel verfehlten, obwohl sie es richtig anvisiert hatten.

Gast

Einverstanden, Daumen rauf, das ist auch eine wesentlich angenehmere Position.
Die Sachen klären, die Hand entspannen, frei nach Hentig.

Hier ist ein, wie ich finde, erstaunliches Experiment von Geoffrey Ingram Taylor. Links im Bild wird ein tropfen Tinte in ruhendes Wasser getropft und verteilt sich in Form einer Wolke wie man das erwarten würde. Rechts rotiert der Behälter samt Wasser, und die nahe dem Rand eingetropfte Tinte bildet jetzt eine senkrechte Säule, denn nur die Bewegung parallel zur Drehachse führt nicht zu einer Ablenkung durch den Coriolis-Effekt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Und jede Bewegung senkrecht zur Drehachse führt zu einer Corioliskraft und damit zu einer Kreisbewegung der Tinte, und damit kommt die Tinte senkrecht zur Drehachse nicht weit, sondern kreiselt dort, wo sie ist.

Ein schönes Experiment! smile

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Drei Fragen
> Die Gleichung dafür ist s=cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g), den Erdradius braucht man dafür nicht, weil nur die Differenz der Bahngeschwindigkeiten bei Radius 'oben' (w*ro) und 'unten' (w*ru) auftritt, ...<
Opa meint, doch den Erdradius benutzen zu müssen, da ja sonst die ganze Erde ihm zu verschwinden droht. Wenn er mit Kosinus rechnet, dann entspricht - nach dem Satz Kosinus (alpha) = Ankathete zu Hypotenuse - die Hypotenuse dem Erdradius.
Daraus folgt für mich, der Erdradius ist in diesen Formeln allgegenwärtig.

> Die 'flache Erde' Vereinfachung liefert s=w*h*Wurzel(2*h/g), aber die 'rückwärts' gerichtete Beschleunigung nimmt 1/3 davon wieder weg, .. <

Also, habe ich daraus geschlossen, beträgt die Ostabweichung ohne Coriolis 3 Drittel, und die Coriolisablenkung nimmt ungefähr1/3 davon dann weg. Demnach bleiben rund 2 Drittel der oben am Turm schnelleren Bewegung erhalten, was sich dann am Erdboden in Millimetern nachmessen ließ.
(1) Ist das so richtig ausgedrückt?
(2) Falls ja, dann bleibt die Frage nach einem Namen für das ursprüngliche 3/3, jetzt nur noch 2/3??

Ich möchte noch zu fragen wagen, in welchem Alter ein Schüler heute den Kosinussatz kennen lernt. Zu meinen Schulzeiten war das in U II, im Alter von 16 Jahren.
In der Volksschule gab es überhaupt keinen Sinus oder Kosinus. Stellt Gast sich vielleicht vor, daß man den jüngeren Kindern, den 13-, 14- und 15jährigen nun nichts über den Erdball sagen darf, ganz im Gegensatz zu Wagenschein? Der schrieb: „Annähernd Wahres verstehen ist besser, als ganz Wahres unverstanden nachreden.“ (Quelle: Wagenschein, Die pädagogische Dimension der Physik, 1971, S. 272).
(3) Geht es hier in diesem Forum nicht auch um pädagogische Dimensionen???
Gruß an Gast und Markus

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dass der Kosinus gleich dem Verhältnis von Ankathete zu Hypothenuse ist im rechtwinkligen Dreieck, das lernen die Schüler heute ungefähr in der neunten Klasse, also in ihrem neunten Schuljahr, also immer noch ungefähr mit 16 Jahren.

Unter dem Begriff Kosinussatz verstehen die Mathematiker genaugenommen etwas anderes.

(2) Für das ursprüngliche "3/3" schlage ich die folgenden Bezeichnungen vor:
*Ostabweichung nach Galilei
*Galileis Wert für die Ostabweichung mit der Näherung einer flachen Erde
*Galileis Abschätzung der Ortsabweichung, die zu groß geraten ist, weil er vergaß, zu berücksichtigen, dass die Fallbeschleunigung der Erde während des Falls ihre Richtung ändert.
*Coriolisablenkung plus Rechenfehler durch falschen Ansatz

(1) Mit Coriolisablenkung meine ich in der Tat ganz genau dasselbe wie die Ostabweichung. Beides beträgt 2/3 von Galileis Wert. Coriolis hat gezeigt, wie man den Effekt im rotierenden Bezugssystem berechnen kann; vor Coriolis konnte man den Effekt auch schon berechnen, brauchte aber dazu die etwas komplizierteren Überlegungen für eine Rechnung im nichtmitrotierenden Bezugssystem. In welchem Bezugssystem man die Ostabweichung=die Coriolisablenkung berechnet, ist egal (solange man dabei keine Fehler macht).

(3) Pädagogisch sein heißt ja nicht, auf das Handwerkszeug zu verzichten, was beide, der Erklärende und der Lernende, schon zur Verfügung haben. Es ist ja oft sogar viel didaktischer, beim Lernenden das als bekannt vorauszusetzen, was er schon kann, denn sonst geriete die Erklärung unnötig langwierig oder bliebe unnötig vage und unquantitativ.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> war noch nicht im oder am Michaelisturm <

Google: Benzenberg Hamburg Fallversuche > Sterne ueber Hamburg,
aus diesem Bericht ein paar Zeilen:

„Da Repsold ein 8 zölliges Passageinstrument gemacht hat, welches die Fehler der Zeitbestimmung bis auf ½ Sek. einschränkt, so hat man Hoffnung, endlich einmal die wahre Länge von Hamburg zu erhalten".

Die Zwischenböden des Turms hatten alle in der Mitte Falltüren. Wenn diese alle geöffnet wurden, stand ein durchgehender Schacht von 110 m Höhe zur Verfügung.

„Ich ließ die Kugeln ... fallen, und Karstendik war unten, um Acht zu geben, daß niemand über die Stelle ginge, wo die Kugeln hinfielen. Eine der Kugeln fiel so auf die Bretter, daß diese auseinanderflogen, und Karstendik, der dies sieht, geht hin, um sie wieder zusammenzuschieben. - Der Bediente, welcher mir bey diesen Versuchen immer treulich half, sah aber nicht hinunter, weil er gerade einen Faden an einer Kugel befestigte. Ich selbst konnte bey der Beobachtung nicht hinunter sehen und schneide die folgende Kugel los, welche so dicht an Karstendik vorbey fällt, daß sie ihm den Hut und die Perücke abschlägt und etwas an der backe streift.... Als ich hinunter kam, saß er auf einer Todtenbaare, und konnte sich von seiner Alteration noch nicht wieder erholen. Ein Schluck gebranntes Wasser und der Dialog thaten indeß bald ihre gewohnte gute Wirkung."

> wenn man den korrekten Breitengrad des Versuchsortes kennt und <

Im Diercke fand ich (auch?), daß Freiburg i. S. und Freiberg i. S. merkwürdigerweise ziemlich genau auf dem gleichen Breitenkreis liegen.

> man die Umrechnung von Fuß in Meter und die Umrechnung von mm in Linien herausfinden kann <

Damit steht fest, daß alle Meter- und Millimeterangaben der Tabelle „falsch“ sind.
Man muß also zu den Quellen gehen, dahin, wo noch Füße und Linien im Originalbericht stehen. Der erste Schritt rückwärts zu den Originalen wäre W. Brunner, Dreht sich die Erde?
Teubner, Leipzig u. Berlin 1915, (Bd. 17 der „Mathematischen Bibliothek“).
In Brunner dürften dann ältere Quellen angegeben sein.
Ich weiß aber nicht, ob der Markus an solchen alten Linien und Füßen interessiert ist.
Man gerät dann in die Zeit der alten Maße hinein, in jedem deutschen Land u. U. andere Längenmaße, in Sachsen gar hatten Dresden und Leipzig verschiedene Füße.
Wichtig erscheint mir, daß Reich aus Paris einen Urmeter mit nach Sachsen brachte, der dann auch amtlich eingeführt wurde, als erster in einem deutschen Land.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa findet mit seinen Recherchekünsten sehr schöne Dinge, selbst den Breitengrad von Freiburg in Schlesien, den ich weder im Internet noch in meinem (zugegebenermaßen recht neuen) Diercke gefunden habe smile

Und er hat recht, wenn ich höre, dass die Füße zu dieser Zeit je nach Ort unterschiedlich lang waren, dann beginnt meine historische Neugier schläfrig zu werden. Und ich verstehe, welche Fleißarbeit dahintersteckt, die damaligen Messergebnisse sauber in modernen Maßeinheiten darzustellen.

Dann freue ich mich, dass ich heute einfach mit Metern rechnen darf, und dass Leute wie Reich sie für ihre Präzisionsmessungen hier eingeführt haben, und beim Rechnen auf erprobte Formeln und Methoden zurückgreifen darf, wie sie z.B. Coriolis herausgefunden hat smile

Gast

> (1) Ist das so richtig ausgedrückt?

Mit dem Ansatz von Coriolis wird die komplette Ablenkung unmittelbar und korrekt bestimmt. Es ist nicht so, dass der Coriolis-Effekt hier nur einen anderen, eigentlich richtigen Ansatz modifiziert. Der von mir ursprünglich verwendete Zugang zu dem Phänomen entsprach dem was Wagenschein in seinem 'Brunnenstrahl-Experiment' beschreibt, dem waagerechten Wurf. Wie ich später las entsprach das auch Galileis Einwand gegen die Vertreter des Gedankens, der fallende Körper würde zurückbleiben, was einer Westablenkung gleichkäme, weil sich ja die Erde während des Falls weiterdrehe. Diese Auffassung entstammte wahrscheinlich Aristoteles' irrtümlicher Ansicht, ein Körper würde sich nur bewegen weil und solange eine Kraft auf ihn wirke. Es ist aber so, dass er sich unverändert bewegt solange _keine_ Kraft auf ihn wirkt, eine solche ändert hingegen seine Bewegung. Das hat aber erst Newton in dieser Klarheit formuliert.

Zur Frage von Erdradius und Kosinus.

Beim waagerechten Wurf handelt es sich ja um die Überlagerung von zwei Bewegungen, der horizontalen, bewirkt durch die Startgeschwindigkeit, und der vertikalen des freien Falls, so wie bei Wagenschein ausgeführt. Die Wurfweite ergibt sich aus der Fallzeit und der Startgeschwindigkeit als s = v*t. Die Fallzeit bestimmt sich aus der mit g beschleunigten Bewegung längs der Fallstrecke h zu t = Wurzel(2*h/g). Setzt man das für t ein erhält man die Gleichung für die Wurfweite als s = v*Wurzel(2*h/g). Jetzt gilt es nur noch, die Startgeschwindigkeit v zu ermitteln. Wird der Erdboden als ruhend betrachtet, dort wird ja die Abweichung gemessen, dann muss nur noch berechnet werden, um wie viel der Körper in seiner Starthöhe h schneller ist. Das gelingt durch den Vergleich der Bahngeschwindigkeiten am Erdboden und der an der Spitze des Turms. Diese Bahngeschwindigkeit ist das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit der Erde und (am Äquator) dem Abstand vom Zentrum, dem Radius r. Die Geschwindigkeit oben ist w*r_oben, die unten ist w*r_unten, der Unterschied ist w*r_oben - w*r_unten oder w*(r_oben - r_unten), das ist aber w*h. Anders gesagt, auch auf dem Jupiter würde das gelten, trotz seines riesigen Radius, nur ist g dort etwa zweieinhalb mal so groß wie auf der Erde und man kann mangels fester Oberfläche wohl keinen Turm bauen.

Jetzt ist die Bahngeschwindigkeit aber abhängig von der geographischen Breite, sie ist maximal am Äquator und null am Pol, deswegen gibt es ja auch dort keine 'Ostabweichung'. Der Umfang eines Breitenkreises in Relation zum Äquatorumfang ist hier das Maß der Dinge, denn die Winkelgeschwindigkeit ist überall gleich, selbst am Pol. Dieses Verhältnis von örtlicher Bahngeschwindigkeit zu der am Äquator wird durch die Kosinus-Funktion beschrieben, bei null Grad Breite, am Äquator, ist der Kosinus eins (cos(0°) = 1) und am Pol ist er null (cos(90°) = 0). Den gleichen Zusammenhang könnte man auch über den Abstand des Ortes auf dem Breitenkreis von der Erdachse beschreiben, auch der ist Erdradius mal cos(b).

Damit ergibt sich dann die komplette Gleichung als s = cos(b)*w*h*Wurzel(2*h/g). Nur ist die eben aus den schon genannten Gründen unzureichend, die Schwerkraft 'zieht' eben nicht immer in die gleiche Richtung sondern zeigt zum Zentrum der Erde.

Außerdem 'zieht' sie ohnehin nicht, sie 'schiebt' ;-)

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> das lernen die Schüler heute ungefähr in der neunten Klasse >
Im achtjährigen Gymnasium, stimmt. Im neunjährigen Gymnasium – gibt es das überhaupt noch? – in Klasse 10, Lehrpläne von Baden-W. - Kosinus läuft tatsächlich unter der Überschrift Kosinusfunktion in Opas altem Trigonometriebuch.

> (2) Für das ursprüngliche "3/3" schlage ich die folgenden Bezeichnungen vor:
*Ostabweichung nach Galilei <
Hat es nicht etwas mit dem Beharrungsgesetz von Newton zu tun?
“Lex I:
corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum,
nisi quatenus illud
a viribus impressis cogitur
statum suum mutare.”
Ich schlage vor, in erster Linie vom Beharrungsvermögen zu sprechen.
Ohne dieses käme ja in unserem Falle zunächst einmal nichts zustande.
Euler schreibt:
„Nachdem ich Ew. H. die notwendige Wahrheit des Grundsatzes erwiesen habe, daß alle Körper sich durch sich selbst, in demselben Zustande der Ruhe sowohl als der Bewegung erhalten ...“
- Aber, so notwendig, so denknotwendig und wahr er es sich zurechtgeschrieben oder zurechtgelegt hat, schreibt er nicht weniger als noch zwanzig Seiten dazu, merkt Wagenschein an, und meint dazu: „Unsere heutigen deutschen Kinder sind gewiß nicht klüger, als man von einer deutschen Prinzessin im Jahre 1760 annehmen durfte.
Einstein formuliert 1917 so: „Ein von anderen Körpern hinreichend weit entfernter Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung“.
Beharrungsvermögen /-gesetz oder Verharrungsvermögen /-gesetz wäre sprachlich also besser als Trägheitsvermögen oder Trägheitsgesetz.
Wie sagen die Franzosen dazu, welchen Namen hat es bei den Engländern oder in den anderen europäischen Sprachen.
Wann kommt das Beharrungsgesetz dran im Gymnasium, wann das als nächstes notwendige Fallgesetz? Also die Sachen, mit denen wir hier in Formeln herumjonglieren.

> (3) Pädagogisch sein heißt ja nicht, auf das Handwerkszeug zu verzichten, was beide, der Erklärende und der Lernende, schon zur Verfügung haben. Es ist ja oft sogar viel didaktischer, beim Lernenden das als bekannt vorauszusetzen, was er schon kann, denn sonst geriete die Erklärung unnötig langwierig oder bliebe unnötig vage und unquantitativ. <

Damit bin ich voll einverstanden. Allerdings kann man nur das als bekannt voraussetzen, was auch wirklich bekannt ist. Es wäre also didaktisch falsch, die Coriolisablenkung als erstes einzuführen, ohne daß man vorher Beharrungsgesetz und Fallgesetz verstanden hat.

Vielen Dank für das schöne Bild von Coriolis, aber gehört seine Abweichungsformel noch ins Gymnasium? Vielleicht in der Oberstufe nach dem Beharrungsgesetz, bei Lex I „a viribus impressis“? Ich habe den Coriolis in den Lehrplänen noch nicht gefunden, vielleicht haben Gast und Markus da mehr Übersicht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Newtons Gesetz von der Trägheit, also von der Beharrung ist in der Tat die Grundlage für alle diese Berechnungen.

Das heißt aber, auch, dass es nicht als Unterscheidungskriterium zwischen den verschiedenen Berechnungen dienen kann, da sowohl die Rechnung von Galilei als auch die Rechnung von Coriolis darauf basieren.

Newtons Trägheitsgesetz lernen die Schüler heute schon in Klasse 7 oder 8, beschleunigte Bewegungen wie den freien Fall in allen seinen Varianten bis hin zum schiefen Wurf in Klasse 11, und die Corioliskraft lernen sie erst im Studium z.B. der Physik.

Das unterstützt das Bild, dass die Corioliskraft eine so interessante und knifflige Angelegenheit ist, dass man sie nicht als eines der einfachen klaren Lehrbeispiele verwendet, um den Schülern die Bewegungsgesetze in der Schule vertraut zu machen. Dafür dürfen sich die Schüler bei Kreisbewegungen mit der Zentrifugalkraft beschäftigen.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

In Klasse 8 handelt es sich offenbar nur um erste Erscheinungsformen der „Trägheit“
In Klasse 11 erst steht dann das „Trägheitsgesetz“ in seiner reinen Form auf dem Lehrplan.
Im Studium dann Coriolis.
Das gibt also gewissermaßen die zeitliche Dimension der umfassenderen pädagogischen Dimension.
Mit 14 Jahren in einer Art von vorwegnehmendem Lernen eine erste Anbahnung des Begriffes „Trägheit“; ein unglückliches Wort, liegt es doch im Sinne zu nahe bei „faul“.

Daher nach Newton perseverare = beharren, nach Euler „erhalten“, Einstein „verharrt“.
Trägheit bezeichnet also nur die Ruhelage eines Körpers trefflich, während Beharren auch das „movendi“ mitumfassen kann. Trägheit ist sprachlich schlecht, es erzeugt falsche Vorstellungen, es ist falsch. Ganz ähnlich falsch ist im ersten Schuljahr schon die erzeugte Vorstellung, ein Auto könne minusfahren oder ein Vöglein könne plusfliegen. Deshalb waren Minus und Plus in der Volksschule zurecht verboten. Ein Auto fährt halt weg und nicht minus.
Trägheit ist also unbedingt durch Beharren zu ersetzen in den Lehrplänen.
Mit 17 Jahren dann das Beharrungsgesetz und
mit 20 Jahren vielleicht dann Coriolisabweichung.
Opa hat demnach hier bei Euch in wenigen Tagen gelernt, was sonst sieben Jahre dauern mag,
freilich hat er noch nicht alles verstanden.

Aus Coriolan von William Shakespeare

„Cajus Marcius tritt auf.
Heil, edler Marcius!
MARCIUS
Dank euch! Was gibt es hier, rebellsche Schurken,
Die ihr das Jucken eurer Einsicht kratzt,
Bis ihr zu Aussatz werdet?
ERSTER BÜRGER
Von Euch bekommen wir doch immer gute Worte.
.........................
Mit Freud ernennt dich, Coriolan, zum Konsul
Der sämtliche Senat.“

Beschreibt der folgende Text aus dem alten Lexikon eine Erscheinungsform der Ostabweichung (= Coriolis?)?
„Auf demselben Prinzip beruht es, daß auf einer in der Richtung des Meridians liegenden Eisenbahn eine von S. nach N. laufende Lokomotive mit dem Spurkranz ihres rechten Rades die rechts (östlich) liegende Schiene nach O. zu verschieben sucht, während eine von N. nach S. laufende Lokomotive umgekehrt die westliche Schiene weiter nach W. zu schieben sucht. Wird ein Geleise nur in der einen Richtung befahren, so muß die Entfernung beider Schienen allmählich zunehmen, wie man beispielsweise an der Hamburg-Harburger Eisenbahn bemerkt hat, wo diese Zunahme 8 cm in einem Vierteljahr beträgt.“

Edler Gast, was soll Opa unter „w“ oder omega oder Winkelgeschwindigkeit verstehen?
Kann man diesen formalistischen Buchstaben sowie das Wort Winkelgeschwindigkeit nicht mit wenigen, klar verständlichen Sätzen erläutern, bis hin zu einem halbwegs für mich noch verstehbaren Glied einer Gleichung? Sicher wurde das hier schon mal versucht, aber ich habe den Sprung zum abstrakten Formelbuchstaben noch nicht ganz kapiert. Was verbirgt sich genau dahinter?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5796 Wohnort: Heidelberg

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, die Beobachtung mit den Eisenbahngleisen ist eine Auswirkung der Corioliskraft.

Die Trägheit im Deutschen (wie "inertia" im Englischen, "inercie" im Französischen, "inerzia" im Italienischen, "inercia" im Spanischen, "inércia" im Portugiesischen, "Traagheit" im Niederländischen, "Tröghet" im Schwedischen) ist der Fachbegriff in der Physik, unter dem man die oben beschriebene Newtonsche Erkenntnis heute kennt.

Für die Beschreibung von Ereignissen in mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus bewegten Bezugssystemen (sogenannten Inertialsystemen), also zum Beispiel in einem fahrenden Auto, ist die Vorstellung, dass der Fahrer in diesem System ruht, für mein Gefühl sogar die schönste anschauliche Erklärung dessen, dass er trotz der Bewegung keine (beschleunigende) Kraft verspürt.

Formeln, die Marcos Erklärung der Winkelgeschwindigkeit ergänzen, sind:

für eine Drehbewegung mit Drehfrequenz f und der Periode T (T ist also die Zeit, nach der gerade eine volle Umdrehung beendet ist)

und

für die Bahngeschwindigkeit v eines Körpers, der sich im Abstand R von der Drehachse mit der Winkelgeschwindigkeit omega um diese Drehachse herumbewegt.

Gast

> mit wenigen, klar verständlichen Sätzen erläutern

Ich will es gern versuchen.

Was ist ein Winkel? Die gebräuchliche Definition ist, ein Winkel ist das Verhältnis von Kreisbogenlänge zu Radius. Stellt man sich einen Kreis mit dem Radius r (egal in welcher Längeneinheit) vor, dann ist sein Umfang Durchmesser mal pi oder 2*r*pi. Teilt man nun diesen Umfang durch den Radius bekommt man 2pi. Das ist dann der Winkel für einen Umlauf um den Kreis, und dieser Winkel hat keine Einheit (bzw. die Einheit 1), denn er ist ja das Verhältnis zweier Längen (Bogenlänge und Radiuslänge), die Einheit der Länge kürzt sich also weg. Dieser Vollwinkel wird gern auch mit 360° bezeichnet, wobei das Winkelgrad so etwas ist wie das Prozent, was ja von hundert heißt, nur hier eben von 360, wieder ohne Einheit.

Jetzt zur Geschwindigkeit. Sie ist ein Konstrukt aus Länge (oder Weg, Strecke) und Zeit, und zwar das Verhältnis von beiden, Länge geteilt durch Zeit, in Einheiten Meter pro Sekunde, m/s, oder auch Kilometer pro Stunde, Meilen pro Tag, was immer man möchte.

Bringt man diese beiden Größen zusammen, dann kommt man zur Winkelgeschwindigkeit. Um im genannten Beispiel zu bleiben, der Kreis mit dem Umfang 2*pi*r hat den Vollwinkel 2pi. Wird dieser Kreis in der Zeit T einmal umlaufen, dann nennt man das die Winkelgeschwindigkeit, also 2pi/T, mit der Einheit eins pro Sekunde oder 1/s.

Der Sekundenzeiger einer Uhr hat die Winkelgeschwindigkeit von Vollwinkel geteilt durch eine Minute, die Erde hat die Winkelgeschwindigkeit 2pi (Umfang durch Radius) pro Tag. Wie schon erwähnt wurde gibt es da zwei verschiedene Tageslängen, einmal die übliche bezogen auf die Sonne und die andere bezogen auf einen weit entfernten Ort, z.B. einen Fixstern.

Aus Winkelgeschwindigkeit und Radius lässt sich jetzt auch wieder die Umfangsgeschwindigkeit oder Bahngeschwindigkeit bestimmen, und zwar als Produkt von Winkelgeschwindigkeit und Radius. Diesen Zusammenhang habe ich in der Darstellung der Galilei-Version der Ostabweichung benutzt um die relative Geschwindigkeit des Körpers oben auf dem Turm zum Erdboden zu berechnen. Das ist dann die Geschwindigkeit mit der in Wagenscheins Brunnenstrahl-Experiment das Wasser aus dem Rohr strömt und in bestimmter Entfernung auftrifft.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Opa bedankt sich ganz herzlich bei Euch! Das hier ist ja ein phantastisches „board“, eine „elektrische Schultafel“. Kaum hatte ich gefragt, schon sind sachlich lehrreiche Antworten da, diesmal gleich drei Stück.

> Du kennst das Bogenmaß. Im Bogenmaß hat ein voller Kreis nicht 360° sondern 2 Pi. Man kann also alle Winkel nicht nur in Grad angeben sondern genau so auch im Bogenmaß. <

Nein, ich kannte das Bogenmaß nicht, obwohl ich damit in einer Excelformel gerechnet hatte.
Dank Eurer Hilfe konnte ich es mir jetzt einigermaßen klarmachen.
Es ist ein Fehler, der anderen vielleicht auch passiert. Daher berichte ich davon.
Ich klebte an der Kosinusfunktion fest, denn mein Weg zum Ziel muß, wenn ich ihn besser verstehen will, so anschaulich wie nur möglich bleiben. Ihr habt mir recht gut den Weg von einem abstrakten Begriff in das Reich der Anschaulichkeit zurück gewiesen. Ich gehe in entgegengesetzer Richtung vor, vom Umfangskreis der Erde aus, den ich mir zeichne, zum Durchmesser am Äquator, den ich einzeichne, zum Radius der Erde, und dann zum Breitenkreis bei 44,5 Grad. Den kann ich aber erst finden in seinem Umfang, wenn ich seinen Radius mit dem Kosinus bestimmt habe.
Also, was Ihr ja alles mit einem Blick überschaut, das muß ich mir erst mühsam vorstellen, um weiterzukommen.
Kurz, mein Versuch, den Kosinus auf den Wert 44,5 Grad anzuwenden, scheiterte kläglich, weil es ja 44,5 Grad sind und nicht einfach eine Zahl 44,5.
Jetzt aber habe ich diese Denkschwierigkeit überwinden können und setze in Excel in Spalte A den Wert 44,5 sowie in die nächste Zelle der Spalte B daneben =COS(A...*2PI()/360).
Diesen Wert aus B nehme ich mal mit der Hypotenuse (dem Erdradius) zu 6378 km.
Das Ergebnis 4549,111365 km ist dann der Radius des kleineren Breitenkreises durch Bologna.
Dessen Umfang erhalte ich durch Malnehmen mit 2 Pi = 28582,9096 Kilometer.
Den Umfang verteile ich an die 86400 Sekunden eines Erdtages, jede Sekunde bekommt davon 0,330820714 Kilometer. Malgenommen mit 1000 gibt das 330,820714 Meter pro Sekunde. Somit fährt man auf diesem Breitenkreis fast mit Schallgeschwindigkeit von dannen, um die Erdachse herum.
Ich glaube, die Rechnung ist bis dahin richtig, hätte aber zur Sicherheit gerne eine kleine Bestätigung.

„Inertia“ hab ich nachgeschlagen im Lateinwörterbuch: Ungeschicklichkeit, Untätigkeit, Trägheit. Es ist wohl eine Hauptwortbildung zu iners = 1. ungeschickt, einfältig; 2. a) untätig; b) müßig; c) feige; schüchtern, scheu; d) fade; 3) erschlaffend.
Iners kommt von ars, Geschicklichkeit, Handwerk, Kunst, Wissenschaft, System, Theorie, Dichtkunst usw. usw. Eigenschaft, Verfahren, Kunstgriffe, erkünsteltes Wesen.
Unsere Wörter Art, artig sind wohl ganz enge Verwandte von ars.

Kepler, der das Beharrungsgesetz noch nicht kennt, schreibt:

„so khönd es auch für sich selbst nit von dannen kommen, ebendarum die weil es todt ist oder träg vnd vnartig“. ... „Zum stilstehen oder pleiben ... ist genug, das es vnartig sey zu einiger bewegnvs...“

Vielen Dank für die Angaben über den Fachbegriff in anderen Sprachen! Ich ‚pleibe’ bei Einstein und bei Newton, bei Beharrung, denn das Ding ist ja nicht vnartig (zur Bewegung), sondern auch artig, nicht iners, sondern perseverans, beharrend. Der Fachbegriff der Physik ist sprachlich schief, man sollte ihn verbessern, nach den Vorbildern Newton oder Einstein, die treffender formulierten.
Gewiß wäre die Ausbürgerung von inertia und die Einbügerung von vielleicht perseverance ein schwieriger und jahrzehntelanger Vorgang. Mag sein, die Bedeutung von perseverance ist auch noch religiös besetzt. So wird’s vorerst wohl noch bei inertia oder Trägheit bleiben.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gast

> Der Fachbegriff [inertia] der Physik ist sprachlich schief

Aristoteles ist nicht 'tot' zu kriegen. Die Begriffe zur Beschreibung der 'unbelebten' Natur werden 'natürlich' aus dem sozialen Kontext gewonnen, woher auch sonst, dort schließlich ist die Sprache entstanden und begründet. Das gilt besonders wenn Bewegung im Spiel ist, nicht so sehr wenn es um statische Eigenschaften geht wie Masse oder Dichte.

Auch 'Beharrung' oder 'perseverance' kommen nicht weg von der Idee des impetus, einer der Sache innewohnenden Bestrebung. Da strebt aber nichts im menschlich aktiven Sinn, es ist lediglich ein Problem unseres Verstehens, was eine solche projektive Beschreibung auslöst.

Die Trägheit könnte man so interpretieren, dass der Körper die Masse 'trägt', die zu seiner Existenz gehört. Der komplette Begriff, Massenträgheit, lockert dann auch die Verbindung zu assoziierten menschlichen Eigenschaften in ausreichendem Maße. Und auch sonst sind wir ja an die Verwendung von Begriffen im übertragenen Sinne gewöhnt, deren konkrete Bedeutung dann von dem Kontext bestimmt wird, in dem sie benutzt werden.

> Somit fährt man auf diesem Breitenkreis fast mit Schallgeschwindigkeit von dannen,
> um die Erde herum.

Das ist ein gutes Beispiel für eine solche unbewusste Kontext-Transformation. Wir bewegen uns hier nicht um die Erde herum sondern auf ihr um ihre Drehachse herum (eine Achse steht, eine Welle dreht..). Die Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls bezogen auf das (relativ zum) Medium der Ausbreitung, hier ist die Luft gemeint, denn in Wasser wäre die Schallgeschwindigkeit mehr als vier mal so groß. Die Luft bewegt sich aber mit uns. Trotzdem bleibt es verständlich, was eigentlich gemeint war. Die Sonne dreht sich eben um die Erde...

Hier ist noch eine Skizze zum Thema Erdradius (R), geog. Breite (b), Achsabstand (r) und Kosinus.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ob Gast vielleicht am besten noch in seiner schönen Skizze die Bezeichnungen r und R vertauschen mag ? Dann passt es zu den Bezeichnungen, wie wir sie oben gerade verwendet haben smile

und verwirrt nicht unnötig.

Gast

Das war die Macht der Gewohnheit, großer Radius, großes R... Hier ist die kompatible Version:

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> um die Erde herum <
verbessere ich zu „um die Erdachse herum“.

Die Erklärung zu Trägheit muß ich überdenken. Wagenschein hat in „Die pädagogische Dimension der Physik“ beim Beharrungsgesetz einige Zitate, von Descartes auch eines. Ich werde hin und wieder aus diesem Aufsatz, wie bisher schon, zitieren. Am liebsten würde ich ihn ganz abschreiben, aber er ist zu lang. Gast wird vielleicht staunen, wer alles schon von der Idee des Impetus weggekommen war. Fallgesetz am Brunnenstrahl ist eine kleine schöne Arbeit. W. hat außerdem einen längeren Aufsatz zu Galileis Versuchen.

> Erst die Formeln, dann die Zahlen <
Das mag ja bei ausgewachsenen Physikern üblich sein, indes liefe die generelle und konsequente Praktizierung eines solchen Ansatzes in der Schule auf einen mittelalterlichen Paukunterricht hinaus, auf das Auswendiglernen von unverstehbaren Formeln und das Nachplappern derselben und dann auf das Nachplappern derselben mit Zahlen. Da möchte ich doch schärfsten Protest anmelden. Selbst in dem Alter, in dem die Fähigkeit zum abstrakteren Denken sich zu entfalten beginnt, kommt es beim Buchstabenrechnen, bei der Algebra, zunächst einmal zu einem Kraut- und Rübenrechnen bei den meisten.
Hier beim Kosinus, möchte ich vorschlagen: Zuerst eine Zeichnung, dann ein Durchdenken der Begriffe wie Ankathete, Winkel, Bogen, Hypotenuse, vorweg eine einleuchtende Fragestellung und gleichzeitig die Erörterung des Gradnetzes, insgesamt also das, was man Anschauung nennt. Dann die Zahlen, die vergeblichen Versuche, mit den Zahlen und den bis dahin bekannten Formeln eine Lösung zu finden. Genaueres wissen sicher erfahrene Gymnasiallehrer. Erst muß der Bedarf für die Formel geweckt werden, ehe sie gegeben werden kann, dann mit Zahlen vielfältig überprüft und angewendet werden, ihre Leistungsfähigkeit ausprobiert und anerkannt werden. Das alles dauert seine Zeit, bis endlich die Formel, der neue Begriff, nach allen Seiten hin gemolken wurde, bis die Formel auch wirklich anerkannt wurde und sitzt. Sie steht also am Ende eines langen Weges und nicht am Anfang. Damit wollte ich den wohlgemeinten Tip aus dem Nähkästchen der Physiker ein wenig zurück ins Nähkästchen beförden, insofern als er auf Kinder bezogen gedacht werden könnte. Denn mir und wohl den meisten Leuten geht es so, daß sie mit den Formeln, den alten in der Schule gelernten, zunächst nichts anfangen können, weil sie schlicht vergessen und verdrängt wurden. Wenn ich mich nun bemühe, sie wieder neu zu lernen, im hohen Alter, und dank Eurer umfangreichen Hilfe, dann möchte ich auch möglichst genau wissen, was hinter den Buchstaben und Formeln steckt. Also bitte, langsam voran.
Die Zeichen wie = ; x (mal); Doppelpunkt und Punkt für Teilen und Malnehmen; die gibt es erst ab ca. 1500; + und – ab 1480. Und doch gab es lange vorher schon beispielsweise die Pyramiden.
Diese abgekürzten Zeichen sind noch nicht so alt, daß man sie als selbstverständlich betrachten kann. Für Kinder sind sie schwierige Brocken. Und im Zusammenhang mit den Dingen, die man alle damit anstellen kann, sobald Buchstaben und Sachen wie cos dazukommen, da werden sie und die Dinge zugleich immer schwieriger.

Die Zeichnung mit dem Wechselwinkel fand ich elegant. Mit v und omega enthält sie aber schon zuviel, wenn zunächst erst einmal der Kosinus dargestellt werden soll.

Opa macht auch eine Zeichnung.
Sie will auf das Bogenmaß hinaus, bezieht deshalb den Bogen vom Äquator 0° bis Bologna 44,5° mit ein ins Gedankengebäude, was bei der eleganten Wechselwinkellösung nicht mehr klar erscheint, da der Bogen nicht benötigt wurde, eigentlich gar nicht mehr da ist. Ihr werdet mich korrigieren? Falls nicht, dann wäre die elegante Wechselwinkelsache eine kleine Stufe höher in der Abstraktion und sollte unbedingt nicht fehlen ein paar Tage später im Unterricht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa weist richtig darauf hin, dass es beim Lernen heißt:

Erst das Verstehen,
dann die Formeln.

(Oft bedeutet das in der Tat: Erst das Konkrete, dann das Abstrakte)

Und beim konkreten Rechnen heißt es, etwas ausführlicher formuliert:

Erst das Verstehen,
dann die Formelbezeichnungen klären,
dann die Formeln,
dann die Zahlen,
dann das sinnvoll gerundete Ergebnis.

Formeln sind für den Physiker die herausdestillierte Quintessenz der Beschreibung der Natur. Eine Formel, zusammen mit dem Beschreibungsmodell, das zu ihr führt, ist also auf den Punkt gebrachtes Verständnis, das es ermöglicht, den Ausgang eines Experimentes quantitativ zu beschreiben und vorherzusagen.

Und von diesem auf den Punkt gebrachten Verstehen wollte ich Opa etwas abgeben, als ich sah, dass er die Rechnung in den Einzelschritten mit Zahlen schon komplett verstanden hatte, aber noch staunte, dass wir das auf einen Blick überblicken zu können scheinen.

Gast

> Mit v und omega enthält sie aber schon zuviel..

Das kann man so sehen. Mein Anliegen war, Galileis Ansatz zu illustrieren, und da geht es letzlich um die Geschwindigkeit bei unterschiedlichem Radius und dessen Zusammenhang zur geographischen Breite.

> .. da der Bogen nicht benötigt wurde ..

Der wird benötigt denn ohne ihn ist der Winkel nicht zu verstehen. Der Winkel b ist das Verhältnis von Bogenlänge zu Radiuslänge. In meinem Beispiel war das 1/8 des Umfangs, also 1/8 * 2pi * Erdradius, und das geteilt durch den Erdradius ergibt pi/4 oder 45°. Für die Bahngeschwindigkeit ist der Umfang des Breitenkreises das Maß, das hatte ich schon beschrieben.

> Erst die Formeln, dann die Zahlen

Ich ziehe die Variante 'Erst die Gleichung, dann die Werte' vor, denn in der beschreibenden Gleichung steckt der im Ansatz verwendete physikalische Zusammenhang und dokumentiert damit das Verständnis der Problemstellung und den eingeschlagenen Weg zur Lösung in konzentrierter Form. Formeln sind dann die merkfähigen Kondensate von Gleichungen, erzeugt durch möglichste Vereinfachung der beschreibenden Gleichung für den gegebenen Fall. Diese Vereinfachung entgeht einem aber wenn man vorschnell spezielle Werte der konkreten Aufgabe einsetzt. Ohne Taschenrechner würde man kaum jemals auf diese Idee kommen sondern immer erst die Gleichung zusammenfassen und vereinfachen. Ein gutes Beispiel dafür wurde gerade im thread zum Thema Maxwell-Boltzmann-Verteilung vorgeführt.

> Und doch gab es lange vorher schon beispielsweise die Pyramiden.

Vor der Einführung der Symbol-Konventionen wurden solche Zusammenhänge in Worten beschrieben, was immer noch in Form der sogenannten Textaufgabe (engl. word problem) fort besteht. Die erwähnten Pyramiden erinnern mich an eine solche, die Herodot (von Halikarnassos, 484 - 425 BCE) gestellt hat, um das Geheimnis der Form der Großen Pyramide weiter zu geben, eine andere ist die Hermes zugeschriebene Formulierung 'Was im Großen ist, ist auch im Kleinen'. In beiden Fällen geht es um geometrische Relationen, wenigstens kann man es so interpretieren. Für Plato symbolisierte gerade diese spezielle Relation unsere Verbindung zum Kosmos.

Beide Texte lassen sich als symbolische Gleichung darstellen und leicht lösen, und beide haben interessanterweise das gleiche Ergebnis. In Worte gefasst hat das die Zeit überdauert, hätten beide in speziellen Symbolen geschrieben wäre das möglicherweise heute unverständlich.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Edler Gast,

Ich möchte Dir herzlich danken.

Dein Pyramidengeheimnis interessiert mich sehr. Wie können wir in Verbindung treten?
Ich bin sehr gespannt,
und ich wünsche noch einen schönen Sonntag

Herzliche Grüße
Opa

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

>> In meinem Beispiel war das 1/8 des Umfangs, also 1/8 * 2pi * Erdradius, und das geteilt durch den Erdradius ergibt pi/4 oder 45° <<
Gast will dem armen, in der konkreten Anschauung verhafteten Opa erneut den Erdradius und damit die ganze Erde verschwinden lassen. Ich weiß inzwischen, daß dieser Schritt irgendwann einmal am Gymnasium getan werden muß, um in der Abstraktion und im Formeljonglieren weiterkommen zu können. Ich klammere mich also noch an die Erde, die ist doch so schön rund, wie bei meiner letzten Kosinuszeichnung mit den ehrwürdigen griechischen Wörtern Ankathete und Hypotenuse.
Gestern beim Zahnarzt, als der kräftig bohrte, da dachte ich, wie wäre es, wenn wir in Bologna, bei 44,5 Grad, in den Asinelliturm hineingingen mit Bohrgeschirr, damit zum Erdmittelpunkt und in gerader Linie weiter durch den Globus hindurchbohrten, und wo kämen wir dann hinaus? Zu Hause hat Opa dann im Atlas nachgeschlagen. Das war schon schwierig, denn man muß sich ja einen richtig schönen runden Globus – hätt’ ich doch nur einen – vorstellen, der dann – platsch – auf einem nur zweidimensionalen Blatt Papier abgebildet wird, samt seinen Breitengraden und Längengraden östlich und westlich von Greenwich. Opa tauchte – erneut platsch – im Wasser auf, am anderen Ende der Erde. Fast hätte er das nicht geschafft, weil Diercke an dieser Stelle Nebenkarten mit Temperaturen und Niederschlägen abgedruckt hatte, aber dann, auf einer anderen Karte, gelang es doch noch, und, nach einigen Kilimetern Schwimmen, da erreichte er, Ihr werdet es kaum glauben, eine Insel mit Namen Antipodeninsel.
Die Regierung von Neuseeland hatte allerdings ein Schild aufgestellt: Betreten verboten.
Da war gar nichts zu machen, also zurück auf die nördliche Halbkugel, zurück nach Bologna.
Wie wäre es nun, einmal den Kreis von Gast zu nehmen, also Pi/4 mit 45 Grad, und nun waagerecht einen Schacht anzulegen, der dann links auf dem gleichen Breitenkreis herauskommt. Das müßte dann, statt eines Winkels zu 45 Grad einen solchen zu 45 + 90 = 135 Grad ergeben.
Oder anders ausgedrückt, den Ort, an dem sich Bologna nach 12 Stunden Drehung befinden könnte, wenn es selbst nicht mit von dannen führe um die Erdachse herum.
Diesen Ort wollte ich benennen. „Antipoden“ ist ja woanders, also nenne ich ihn einfach „Halbtagskraft“, was jeder Physiker sofort als falsche Benennung ankreiden wird, Halbtagspunkt ist vielleicht besser.
Egal, Opa versuchte dann, diesem Ort bei 135 Grad mit dem Kosinus auf den Leib zu rücken.
Dazu legte er sich in Excel eine Tabelle an, senkrecht in der ersten Spalte alle Gradzahlen von 0 bis 360 Grad. Rechts daneben in die zweite Spalte B dann =COS(BOGENMASS(A..)).
Damit nicht genug, ich nehme aus meiner altmodischen Kosinuszeichnung noch die von mir selbst, mit Gastes Hilfe, entwickelte Excel-Formulierung für Bogenmaß in die dritte Spalte C, um zu prüfen, ob letztere auch stimmt, also =COS(A..*2*PI()/360) in Spalte C.
Da ich nun alles so genau wie nur möglich vergleichen wollte, hatte ich die Zellen in B und in C vorher formatiert auf Zahl und ausgefahren auf das Maximum, auf 30 Stellen nach dem Komma.
Und jetzt traten komische Erscheinungen auf, die ich mir alleine nicht so ganz erklären kann.
Ich meine dabei nicht, daß die Werte von 0 bis 90 Grad positiv, dann bis 270 Grad negativ und im letzten Viertelkreis zwischen 270 und 360 Grad wieder positiv erscheinen, sondern zwei, drei andere Sachen.
1) Bei 90 Grad und bei 270 Grad, da zeigt Excel doch tatsächlich noch auf den letzten Stellen nach dem Komma Ziffern an. – Bislang hatte ich gedacht, dieses Programm könne nur 15 oder 16 Stellen nach dem Komma verrechnen und würde danach immer 16 Nullen anzeigen.
2) Ich habe die Werte von Spalte B summiert und dann die von C summiert, geringe Abweichungen in den Summen. Beim Abziehen der Summen voneinander, da werden wieder Ziffern auf den letzten Stellen bis 30 angezeigt.
Dann, beim Abziehen der einzelnen Gradwerte voneinander, bei einer waagerechten Kontrolle von 0 bis 360, da erschienen 22 Abweichungen von 0.
Ist nun mein Excel kaputt, oder haben schon andere solche Erscheinungen beobachtet?

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Endlich ist sie eingetroffen, eine von Wagenscheins Quellen, W. Brunner, Dreht sich die Erde? 1915. Es gab im Netz bei der Antiquariatssuche unter SFB.at/index.phb wohl acht Exemplare, jetzt dürften es noch sieben sein.
Ich mußte meine Anschaungsgrundlagen und mein vorläufiges Wissen beträchtlich erweitern. Jetzt sehe ich, von meinem kindlichen Denken her, auf dem Wege vom Anschaulichen zum Abstrakten hin, da muß ich tatsächlich den Erdball verschwinden lassen, zum Einheitskreis mit dem Radius 1 übergehen.
Die Kreisformel U = 2 pi r wird dann zu U = 2 pi und wenn ich für den Umfang U nun 360 Grad einsetze, dann steht da 360° = 2 pi.
Damit haben die alten grauen Zellen eine Hürde genommen.
Eine zweite große Hürde war der Übergang von 24 mal 60 mal 60 Sekunden, von 86400
„Sternzeitsekunden“ zu den 86164 mittleren Sekunden. Fast hätte ich dem Verlangen nachgegeben, auf den vielen Seiten des Netzes zu Sternzeit, Sonnenzeit, Zeitgleichung usw. nachzurechnen, indes schreibt auch Brunner von 86164 Sekunden, und setzt dann
omega = 2 pi / 86164 = 0,00007292 als den Weg eines Punktes, bei Entfernung 1 von der Drehachse, in einer mittleren Zeitsekunde.
Er kommt dann für den Ort P in der geographischen Breite phi, in seinem Abstand von der Erdachse r cos phi
zur Rotationsgeschwindigkeit v 1 = omega r cos phi.
Dann, vgl. folgende Zeichnung, bestimmt er die Rotationsgeschwindigkeit des Ortes Q, die auf einem Turm, mit
v 2 = omega (r + h) cos phi.
Die Überschrift seines Kapitels lautet 2. EINE ERSTE UNVOLLSTÄNDIGE HERLEITUNG DER ÖSTLICHEN ABWEICHUNG

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Die wichtigsten Festsetzungen/Gleichungen bezeichnet er am Rande mit fortlaufenden Nummern in Klammern, das waren bis jetzt
Winkelgeschwindigkeit der Erde
omega = 2 Pi / 86164 = 0,00007292 (1)
und
v 1 = omega r cos phi (2).
Nach zwei, drei Zwischenstationen, er rechnet v 1 – v 2; setzt dabei die Fallzeit t ein;
setzt für die Fallhöhe h noch 1 / 2 g t² ein; kommt er dann zur Gleichung oder zum nächsten Denkschritt bei der „unvollständigen Ostabweichung“:
x = 1 / 2 „w“ g t ³ cos phi (3)
und schreibt:
„Das ist die Formel für die östliche Abweichung beim freien Fall, wie sie in vielen Lehrbüchern der mathematischen Geographie angegeben ist. Sie ist aber nicht richtig und gibt die Abweichung zu groß an, wie die folgende Überlegung zeigt. ...

Langsam begreife ich diese ersten drei Denkschritte, obwohl ich ja damit und auch mit dem nächsten (4) schon gerechnet hatte. Und obwohl Markus und Gast die Sachen in allen Einzelheiten bestens schon beschrieben hatten.
So kann ich denn die Bemühungen der beiden verstehen und möchte ihnen danken.
Meine Anschauungsgrundlage, der Erdball, die mußte erst einmal verschwinden, um
mit den Buchstaben und Zahlen freier rechnen zu können. Das verdanke ich mithin den Netzseiten bisher und neuerdings dem Büchlein von Brunner.
Solch ein Büchlein aus dem Jahre 1915 hat schon etwas an sich.
Ehe Brunner den Fehler von (3), der vorigen Ableitung, beim Leser korrigiert, mit (4) in einem ersten Anlauf und mit (7), der endgültigen Fassung, da bringt er viel mir halbwegs verständlichen Text und dazwischen mir ziemlich (besser: ganz und gar) unverständliche Formeln und Gleichungen, eine Hilfsformel über Summation von Binominalkoeffizienten und eine „Elementare Herleitung der Größe der östlichen Abweichung beim freien Fall“.
Hier ein paar Sätze aus beiden Anläufen.
„Im Augenblick, in dem der Körper zu fallen beginnt, wirkt die Schwere senkrecht zur horizontalen, nach Osten gerichteten Geschwindigkeit. Nach einem kleinen Zeitteilchen schon ist das aber nicht mehr der Fall. ... Wenn der Körper losgelassen wird und frei fällt, ist v 1 nicht mehr konstant, sondern abnehmend. ...Gauß und Laplace haben zuerst genauere Formeln angegeben für die Berechnung der östlichen Abweichung frei fallender Körper. Sie haben gezeigt, daß für kleine Fallzeiten, wie sie bei praktischen Versuchen in Betracht kommen können, die östliche Abweichung um 1/6 ihres Wertes kleiner ist, als sie die Formel (3) angibt, nämlich nur
x = 1/3 g „w“ t³ cos phi.“ (4)
Im zweiten Anlauf dann, „elementare Herleitung“:
„Wir denken uns die Fallzeit t (hoch s) in sehr viele kleine Zeitelemente (delta) t zerlegt. Es sei t = n (delta) t, wobei (delta) t einen so kleinen Bruchteil einer Sekunde darstellt, daß man sich die Erdschwere anstatt kontinuierlich wirkend, in jedem dieser Zeitelemente mit der Größe c aufs neue angreifend vorstellen kann; ...“
Dann wird’s für mich zu kompliziert. Mit einem großen Sigma summiert er wohl allerlei „n“
macht einen Grenzwert mit limes, der auf 1/6 hinauskommt.
„so daß x = 1 / 2 g „w“ t³ - 1 / 6 g „w“ t³ = 1 / 3 „w“ g t³ im Schritt (6) erscheint.
Zuletzt ersetzt er in den vorhergehenden Gleichungen
R durch R cos phi und c durch c cos phi.
„Macht man das, so ergibt sich für die östliche Abweichung des frei fallenden Körpers der behauptete und von Gauß und Laplace herrührende Wert ....... (7)“ ... = oben (4).
- Coriolis scheint bislang nicht erwähnt. Mal sehen, ob er in den nächsten Kapiteln noch erscheint, bei den Versuchen des Direktors der vatikanischen Sternwarte, Hagen, 1912 mit der Atwoodschen Fallmaschine, bei Foucaults Versuch auf Anregung von L. Napoléon im Panthéon, bei Versuchen von Bravais (konisches Pendel), beim Kreisel (Gyroskop) und sonstigen Beschreibungen im Büchlein von Brunner.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opas Quellenspürsinn und das, was er daraus gewinnt, bereitet mir große Freude. Brunners Skizze ist sehr schön anschaulich und bringt den Sachverhalt gut auf den Punkt, weil er die benötigten Formeln direkt mit dem zugehörigen Bild stützt.

Und Brunner macht sich die Mühe, die genaue Formel für die Ostablenkung auf dem Weg herzuleiten, der mir (statt meiner Rechnung mit der Corioliskraft) als der kompliziertere schien, und den ich deswegen nicht gehen mochte. Dass er sich dabei sogar die Mühe macht, die dabei verwendete Integralrechnung so zu erklären, dass man diese nicht bereits vorher beherrschen muss, ist aller Ehren wert. (Auch wenn ich den Eindruck gewinne, dass seine Herleitung dadurch recht lang und auf den ersten Blick nicht immer übersichtlich nachzuvollziehen sein mag. Um so größer ist die Leistung derjenigen, die sich daran versuchen, sie nachzuvollziehen.)

Dass das Rechnen in Excel mit der Funktion "Bogenmaß" und mit der Konstante PI und mit den Winkelfunktionen wie dem Cosinus nicht immer dort Null ergibt, wo Null herauskommen soll, wenn man die Genauigkeit auf 30 Stellen fordert,

mag daran liegen, dass entweder eine dieser Funktionen oder Konstanten nicht auf diese hohe Genauigkeit ausgelegt sind

oder dass Excel die Rundungsfehler, die es macht, weil es die Zahlen hinten irgendwo abschneiden muss, bei dieser Genauigkeit eventuell nicht mehr z.B. dadurch versteckt, dass es intern mit mehr als 30 Stellen rechnet und dann nur das auf 30 Stellen gerundete Ergebnis angibt.

(Mein Taschenrechner zum Beispiel rechnet auf 11 geltende Ziffern genau und zeigt die Ergebnisse auf 8 geltende Ziffern gerundet an, damit man sich nicht über seltsame Abschneidefehler wundern muss.)

Aber solch eine hohe Genauigkeit habe ich ehrlich gesagt noch nie von Excel für meine Rechnungen gebraucht und verlangt.

O · Gast

Anmerkungen (v. O.) zur Tabelle:
1) Bologna liegt bei 44° 30’, hier also bereits 1915 falsch angegeben.
2) Freiberg ist hier richtig angegeben, - nicht Freiburg i. S., wie in Wagenscheins Arbeit
„Die Erfahrung des Erdballs“. (in Ursprüngliches Verstehen und exaktes Denken, Band II, Klett 1970).

O · Gast

Brunner schreibt 1915 im Anschluß an die Tabelle:
„Einige historische Bemerkungen mögen die Zahlen der Tabelle ergänzen und zeigen, wie heikel die Versuche sind und welche Schwierigkeiten zu beseitigen waren.
Im Jahre 1679 machte Newton die Royal Society (eine der ältesten wissenschaftlichen Gesellschaften) auf die östliche Abweichung der frei fallenden Körper aufmerksam und auch auf die Möglichkeit, daraus die Erdrotation nachzuweisen.
Die Gesellschaft beauftragte ihren berühmten Experimentator Rob. Hook, solche Versuche anzustellen. Da aber dabei nur eine Fallhöhe von 27 Fuß verwendet wurde, so konnten diese Versuche keinen Erfolg haben, denn unsere Formel gibt für diese Fallhöhe eine Abweichung von weniger als 1 / 2 mm. Dieser Mißerfolg hat wohl bewirkt, daß lange keine weiteren Versuche unternommen wurden und erst G u g l i e l m i n i nahm sie 1791/2 wieder auf, zuerst bei geringer Fallhöhe im Observatorium und dann mit einer Fallhöhe von 241 Fuß = 78.3 m im Turm Asinelli in Bologna.“
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Die Formel von Markus war
Sc = cos phi * „w“ * g * 1/3 * t³
die Formel von Brunner war
x = 1/3 * g * „w“ * t³ * cos phi;
die Formeln stimmen überein, nur erscheinen die Buchstaben in anderer Reihenfolge.
Auf den ersten Blick sieht man vier Buchstaben: g, omega („w“), t und phi.
Versteckt sind 2 weitere Buchstaben, nämlich Pi und die Fallhöhe h.
Es gibt also sechs „Variable“, die sich verschieden stark auswirken können.
1) Pi, da kommt es darauf an, ob man mit 1, 2, 3, 4, usw. Stellen nach dem Komma rechnet.
2) g als Erdbeschleunigung, da hatten wir entweder 9,81 genommen oder andere Werte aus der Braunschweiger Tabelle.
3) „w“ = omega, die Winkelgescheindigkeit, dahinter verbarg sich die Rechnung 2 Pi / 86164 mittlere Sonnenzeitsekunden (statt 24 Stunden mal 60 Minuten mal 60 Sekunden = 86400 Sekunden).
4) cos phi, dahinter steckte cos (Bogenmaß(44,5)) oder cos (44,5 mal 2 Pi/360).
5) t³, da war t zu errechnen mit Wurzel aus (2 h / g) nach dem Fallgesetz.
6) die Fallhöhe h, die gerade eben erst in 5) auftauchte.

Für den Unterricht in der Volksschule galt ein didaktischer Grundsatz:
Variable können erst eingeführt werden, nachdem variiert worden ist.

Dank der Hilfen von Gast und Markus konnte ich nun einigermaßen mit den verschiedenen Bestandteilen der Formel rechnen, nach vielen Variationen der Zahlen bei den Variablen.
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Ich wende nun das Gelernte an auf den Mißerfolg von Robert Hook, aus nur 27 Fuß Fallhöhe.
Ein englischer Fuß hat 12 inches (von lat. uncia); 1 inch = 2,54 cm; das gibt die Rechnung 27 mal 12 mal 2,54 cm = aufgerundet 8,23 Meter Fallhöhe.
London liegt bei 51,5 Grad; für g nehme ich 9,81.
Dann liefert die Formel eine östliche Abweichung von 0,32 mm.
Hätte Robert Hook den Versuch mit dreifacher Fallhöhe gemacht, ich nehme genau 25,61 Meter, dann würde die Ostabweichung 1,77 mm betragen haben, der Berechnung nach diejenige, die 1902 von Hall in Cambridge (Mass.) mit seinen 948 Versuchen erreicht wurde, ungefähr (1902-1679) also 223 Jahre später. Richtig?
Brunner weiter über den Asinelliversuch Guglielminis:
„Er hing 16 mal eine Metallkugel an einem Faden auf, der in den Backen einer Zange festgehalten wurde. Ein leichter Druck auf einen Hebel öffnete die Zange und brachte den Körper zum Fallen. Um die Auftreffstellen genau zu kennen, bediente er sich eines mit Wachs überzogenen Brettes. Der Schwerpunkt der 16 Auffallpunkte gab ihm den relativ wahrscheinlichsten Auftreffpunkt. Durch Messung seiner Entfernung vom Lotpunkt der Ausgangsstelle erhielt er nach Größe und Richtung den Wert der Ablenkung vom Lot.
Es sind zwei Punkte, die den Wert der Versuche von G u g l i e l m i n i als mechanische Nachweise der Erdrotation heruntersetzen. Erstens hat Guglielmini leider erst sechs Monate nach den Beobachtungen den Lotpunkt bestimmt. Nachprüfungen zeigten aber, daß der Versuchsturm sehr wenig stabil ist, so daß leider fast sicher der Lotpunkt der Ausgangsstelle zur Zeit der Versuche ein anderer war, als zur Zeit seiner Bestimmung. Beobachtungen über die Bewegung der Eiffelturmspitze, die in den letzten Jahren angestellt worden sind, bestätigen die Veränderlichkeit der Lotlinie von hohen Türmen. Die Eiffelturmspitze zeigt nämlich eine tägliche Bewegung, die durch Sonnenwärme verursacht wird und je nach den atmosphärischen Bedingungen zwischen 3 cm und 17 cm schwankt. Guglielmini hat nun allerdings seine Versuche in der Nacht angestellt. Aber gerade die Beobachtungen am Eiffelturm zeigen auch mit den Jahreszeiten wechselnde Änderungen der Lage des Turmes. Guglielmini machte die Fallversuche im Sommer und bestimmte die Lotlinie im Winter. Man darf wohl kaum voraussetzen, daß der Turm zu beiden Jahreszeiten dieselbe Lage hatte gegenüber der Ausgangsstelle. Ein zweiter, auch von den Nachfolgern schwer zu überwindender Punkt betrifft die Aufhängevorrichtung der Kugeln. ...“

Gast

Die berechneten Werte für London mit 8,23 m und 25,61 m stimmen. Ich habe mich auch gefragt, wie die Leute das Freilassen der Kugeln ohne alle seitliche Bewegung gelöst haben. Das mit dem Faden ist sicher eine gute Idee, solange die Kugel nicht pendelt. Hooke und Newton hatten wohl einen größeren Effekt erwartet für ihren Nachweis der Erddrehung.

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Die 'mittlere Sonnenzeitsekunde' gibt es nicht, denn die Sekunde ist nicht über die Länge des Tages definiert, also nicht bezogen auf die Rotation der Erde um sich selbst und um die Sonne. Diese werden vielmehr in Sekunden ausgedrückt.

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Als Ergänzung zum Pyramiden-Rätsel: Herodot schrieb, die Fläche einer Seite der Großen Pyramide sei gleich dem Quadrat der Höhe des Bauwerks. Die Giza-Pyramide ist ja etwas niedriger als eine reguläre Pyramide, bei der alle Kanten gleiche Länge hätten.

Die Rechnung wird einfacher, wenn man die Basislänge b gleich 2 setzt, die Maßeinheit ist ohne Bedeutung, da es nur um Verhältnisse geht. Die Fläche eines Dreiecks bestimmt sich als die Hälfte des Produkts aus Basislänge und Höhe des Dreiecks. Nennt man die Höhe des Dreiecks h, dann ist die Fläche wegen b/2 = 1 auch h (Quadrateinheiten). Die räumliche Höhe H der Pyramide kann dann über H^2 = h^2 - 1 (Pythagoras) bestimmt werden, was zu der Gleichung h^2 - 1 = h führt, anders geschrieben h^2 - h - 1 = 0. Die Lösung dieser Gleichung ist h = (1 +/- Wurzel(5))/2, diese Zahlen werden meist Phi und phi genannt und sind das Verhältnis des sogenannten Goldenen Schnitts. Zum gleichen Ergebnis führt der Ansatz (a + b)/a = a/b, also das Ganze zum Großen wie das Große zum Kleinen (Hermes): 1 + b/a = a/b, wobei a/b das gesuchte Verhältnis x des größeren zum kleineren Abshnitt ist, also ergibt sich mit a/b = x dann x = 1 + 1/x oder wieder, genau wie bei der Pyramide, x^2 - x - 1 = 0. Dafür gibt es auch eine zeichnerische Lösung:

http://goldennumber.net/images/anifrect.gif

Für die zweite Lösung (phi) muss man einfach den Bogen nach links statt nach rechts zeichnen, phi wird dann 1 - Phi.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Vielen Dank für Herodot, muß mich damit erst noch beschäftigen.
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„und erhalte daher für die dreifache Höhe eine östliche Abweichung von 1,68 mm.“
Ja, das stimmt. Ich hatte das Wort „ungefähr“ vor dreifache vergessen, wollte nur einen Vergleich zu Hall mit seinen 1,77 mm ziehen. Nehme ich die genau dreifache Höhe, also 24,69 m, dann kommt bei mir 1,676 mm heraus. – Schon toll, was man alles mit solchen Formeln rechnen kann.
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Zu „mittlere Sonnenzeit-Sekunde“ schreibt Brunner 1915: „Die Zeit einer vollen Umdrehung der Erde heißt ein Sterntag. Er hat 24*60*60 = 86400 Sternzeit-Sekunden. Im gewöhnlichen Leben rechnen wir nach mittlerer Sonnenzeit 1). Eine mittlere Sonnenzeit-Sekunde ist etwas größer als eine Sternzeit-Sekunde und hat nur 86164 mittlere Zeitsekunden. – 1) Vgl. Math. Bibl. Nr. VIII: Paul Meth, Theorie der Planetenbewegung, Abschnitt 10.“
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„Ich habe mich auch gefragt, wie die Leute das Freilassen der Kugeln ohne alle seitliche Bewegung gelöst haben.“
Brunner: „ Die kleinste seitliche Wirkung beim Öffnen der Zange behält ihre Einwirkung während der Fallzeit bei und kann die Haupterscheinung der östlichen Abweichung vollständig verdecken.
Der Hauptwert der Versuche von Guglielmini liegt aus diesen Gründen weniger in ihren Ergebnissen als in der Tatsache, daß er die praktische Möglichkeit des Nachweises der Erdrotation durch Fallversuche zeigte und die Umstände, auf die besonders zu achten ist, aufdeckte.
B e n z e n b e r g, der zehn Jahre später die Versuche wiederholte, zuerst im Michaelisturme in Hamburg und dann in einem Kohlenschacht zu Schlebusch, konnte die Erfahrungen Guglielminis benutzen. ... Benzenberg achtete auch auf genaue Bestimmung des Lotpunktes, indem er ihn zweimal, einmal vor und dann wieder nach jeder Beobachtungsreihe feststellte. Den Einfluß der seitlichen Störungen, die von der Aufhängevorrichtung und von der Art der Loslösung der Kugeln herrühren konnten, suchte er dadurch einigermaßen aufzuheben, daß er nach jeder Beobachtungsreihe die Aufhängevorrichtung um 180° drehte. Die Versuche in Schlebusch hatten besonders den Vorteil, daß der Lotpunkt im Kohlenschacht stabiler war als im Holzturm in Hamburg. ....
Die Versuche Benzenbergs hatten außerdem noch den großen Erfolg, Gauß und Laplace für die Sache zu interessieren, durch die dann die Theorie der Lotabweichung so wesentlich gefördert wurde, daß die Frage nach mechanischen Nachweisen der Erddrehung neuen Reiz erhielt. ......
Reich (1831) ... konnte über eine Fallhöhe von 158.5 m verfügen, doppelt soviel wie diejenigen in Hamburg und Bologna. Er brachte bei einem Teil der Versuche mit Vorteil eine neue Art der Befestigung und Einleitung des freien Falles der Kugeln zur Anwendung. Nachdem die Bleikugeln in kochendem Wasser erwärmt und dann getrocknet worden waren, wurden sie auf einen Metallring gesetzt. Ihre Abkühlung und damit verbundene Volumenverminderung bewirkte, daß sie durch den Ring fielen.“ ....
„Flammarion machte seine Fallversuche 1903 im Panthéon zu Paris, ... Kleine, gut polierte, homogene Stahlkugeln wurden von einem Elektromagneten festgehalten. Im Augenblick, wo der Strom ausgeschaltet wurde, fielen die Kugeln. Sie wurden auf einer Bleiplatte von 2 1/2 mm Dicke mit Stahlunterlage aufgefangen und auf dieser Platte waren der Lotpunkt und die N-S und O-W-Richtungen bezeichnet. Fig. 7 zeigt in natürlicher Größe eine Zeichnung der Eindrücke der 12 Kugeln einer Serie. Die Tendenz nach Osten aufzufallen ist deutlich erkennbar. Die Gruppierung um die Ost-Westlinie entspricht dem Gesetz des Zufalls. Unter den 12 Kugeln weichen gleich viele nach Norden wie nach Süden ab. Die Gruppierung aber um die Süd-Nordachse kann nicht mehr als zufällig bezeichnet werden. Die Abweichungen nach Osten dominieren der Zahl und der Größe nach.“

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Es ist wohl kein rätselhaftes Pyramidengeheimnis, sondern eher der Normalfall, wenn das von Herodot beschriebene Verhältnis Quadrat der Höhe zu Dreiecksfläche gegeben ist.
Die Babylonier bauten Deiche in Trapezform. Sofern es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, am Fuße mit der Breite b, oben sei die „Krone“ des Deiches eine parallele Linie k, die gleichlangen Schenkel seien s, so kann man eine Diagonale ziehen namens c, die vom Fuße links unten zum Kopfe rechts oben verläuft. Von da fälle man noch das Lot a auf die
Grundlinie. Man kommt dann zur Trapezdiagonalformel c² = s² + b*k. (Sie entspricht dem heutigen sogenannten Kosinussatz unter Vermeidung von Winkelfunktionen. – Der Satz des Pythagoras ist nur ein Spezialfall der allgemeineren Trapezdiagonalformel, die für alle Dreiecke zutrifft.)
Man kann auch ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seite s und der Diagonale d nehmen. Bei diesem entspricht die Grundlinie des Trapezes (b) jetzt der der Diagonale d, und die Krone des Deiches (k) entspricht dann der Seite s des Fünfecks.
Die Gleichung d² = s² + d*s läßt sich dann umformen zu
d/s = s/(d – s), was der stetigen Teilung entspricht, der „stäten Proportz“ (Schmid 1539), der „Divina Proportione“ (Luca Pacioli 1445-1514), der proportio continua, der „göttlichen Teilung“ (Kepler).
Der Goldene Schnitt tritt also beim Deich der Babylonier auf, sicherlich bei vielen anderen geometrischen Konstruktionen, bei Euklid bei der Konstruktion des Pentagramms, so daß man von einem geheimnisvollen Wunder eher dann sprechen könnte, wenn er bei der Pyramide nicht gegeben wäre.

Bin dem Link in der Zeichnung gefolgt und auf eine „phi“-Seite gestoßen, goldennumber.net
Da wird ja ein ordentlicher Kult mit den Karnickelzahlen des Leonardo von Pisa, des Sohnes des Gutmütigen, betrieben. Neben viel Interessantem und wohl auch Richtigem mißfällt am Kulte, daß er sich überall hin ausbreiten will, auch dahin, wo er nichts zu suchen hat, in die oberste aller alten Wissenschaften, in die Musik
Da steht zum Beispiel als Überschrift:
“Musical frequencies are based on Fibonacci ratios”
Dem muß Opa nun doch widersprechen.
In einer Tabelle werden dort sogenannte temperierte Frequenzen angegeben, die es in der Musik eigentlich nicht gibt, weder in der Stimmung Bachs, noch in einem Symphonieorchester, noch beim Gesang. Diese gleichstufige 12 tönige Stimmung geht davon aus, wie man auch in Schulbüchern lesen muß, daß sich der Quintenkreis schließt, die 12. Quinte mit dem Ausgangston C zusammenfällt, wobei die siebente Oktave des C der zwölften Quinte entsprechen soll. Da die Oktavzahl 2 ist und die Quintzahl 3, müßten demnach die Zahlen 2 und 3, bzw. deren Vielfache zusammenfallen. Dies aber kann so leicht nicht geschehen, daß eine gerade Zahl wie die 2 jemals mit einer ungeraden Zahl wie der 3 zusammenfällt.
Die siebente Oktave von C ist 2 hoch 7 = 128. Die zwölfte Quinte ist (3/2) hoch 12 = 129,74634.
Die 12. Quinte mit Tonnamen HIS liegt also über dem Ausgangston C, und zwar um 23,460012 Cent. (1 Cent ist definiert als der 1200. Teil der Oktave.)
Eine andere Rechnung, wahrscheinlich bereits den Griechen bekannt, ist 3 hoch 12 = 531441.
Sucht man dazu die entsprechende Zahl der Oktave 2, dann findet man 2 hoch 19 = 524288.
Das Intervall 531441 / 524288 wird Pythagoräisches Komma genannt, es hat 23,46 Cent und entspricht dem genannten HIS, das über dem C liegt.
Nun vergleicht man auf der phi-Musikseite einige wenige Intervalle dieser Notbehelfsstimmung mit den Intervallen, die sich in Anwendung jener Zahlen der in Leonardos Buch am Rande gegebenen Kanichenaufgabe ergeben.
Sicher kennt die Mathematik auch noch andere Reihen von Zahlenverhältnissen, mit denen sich dann gewiß auch Intervalle konstruieren ließen, die man dann wiederum mit den in der Musik nicht üblichen vergleichen mag, auf Teufel komm raus, wenn man will. Eigentlich gibt es unendlich viele Intervalle innerhalb einer Oktave, weil es unendlich viele Zahlen gibt.
Und es gibt ebenso unendlich viele Reihen beim Konstruieren weiterer Reihen nach dem Prinzip der Kaninchenpaarlösung, zum Beispiel 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809 ..., wobei das Verhältnis 500 zu 809 = 1,61810... bereits auf vier Stellen nach dem Komma genau dem Wert des GS entspricht.
Opa denkt, wenn man mit Rechtecken, Quadraten und Kreisen arbeitet, dann treten ganz „normale“ Wurzeln, stäte Proportzen und Werte von Pi auf. So haben einige auch die Kreiszahl Pi aus dem gleichen Verhältnis Herodots herausgezogen, allerdings nur mit zwei Stellen nach dem Komma genau. (2b/h = 3,1446...).
Quellen zur Trapezdiagonalformel und zur Pyramide: Helmut Kracke, Aus eins mach zehn und zehn ist keins, rororo TB 6680, letzte Auflage 1972, selten noch in Antiquariaten;
zum GS: Helmut Reis, Der Goldene Schnitt, Verlag für systematische Musikwissenschaft, Orpheus-Schriftenreihe, Band 54, Bonn, 1990.
Kepler, der kaiserliche Mathematiker, Hofastronom und –astrolog war lange im Glauben an eine Art göttlicher Harmonie bei der Divina Proportione befangen
Er schrieb u. a.: „Nun hat aber Gott der Schöpfer die Gesetze der Zeugung jener Teilung entsprechend gestaltet. ... Ist es also verwunderlich, wenn die Abkömmlinge des Fünfecks, die Durterz 4/5 und die Mollterz 5/6, die Seelen, die Ebenbilder Gottes, in Stimmungen versetzen, wie sie beim Zeugungsakt auftreten?“
Die von Kepler genannte Durterz 5/4 besitzt 386, 3137 Cent. Diejenige „Terz“ der gleichstufigen Temperatur soll glatte 400 Cent besitzen. Möglicherweise sind elektrische Klaviere und die Computersoundkarte mit den 400 Cent ausgerüstet und wir lassen uns täglich per Fernsehen oder Rundfunk mit dieser falschen Terz bedröhnen, nicht also mit Musik, sondern mit Elektrogejaule. Dann könnte dies ja die Ursache sein, weshalb der Zeugungakt nicht mehr ordentlich vonstatten gehen kann und wir zuwenig Kinder haben, die Rentenversicherung pleite geht und der Staat zusammenbricht?