| Autor |
Nachricht |
ayberk
Anmeldungsdatum: 24.02.2016
Beiträge: 7
|
 ayberk Verfasst am: 24. Feb 2016 21:58 Titel: Arbeit durch Kurvenintegral berechnen auf einer Ebene |
 |
|
Meine Frage:
hallo Leute ich habe Probleme mit folgender Aufgabe :
Bestimmen sie durch explizites Berechnen eines Kurvenintegrals die Arbeit , die nötig ist um eine Punktmasse vom Ursprung des Koordinatensystems entlang eines in der Halb ebene y = 0 , x > 0 liegenden Halbkreises zum Punkt (0 / 0 / z0) zu bewegen
Das Kraftfeld ist folgendes  -ax -bz)e1 (-cy)e2 (-bx -az)e3
Danach soll ich ein potential finden und das mit dem Ergebnis vergleichen
Meine Ideen:
ich habe mir gedacht dass ich eine Transformation zu den polarkoordin mache da es sich um ein Halbkreis handelt . da dieser kreis den mittelpkt aber nicht im Ursprung des koordin Systems hat hab ich noch versucht das Koordinaten System zu transformieren
ich habe dann für die Transformationen etwas raus wie : x=r cos(phi) y=0 (gegeben)z=r sin(phi) v = z - z0/2 und dann r = sqrt(x^2+v^2)
nun kriege ich immer ein Ergebnis welches aber immer Therme der größenordung r^3 hat ( da dxdy = r dr dphi ) beim potential sind aber nur Therme der größenordung ^2 da ich ja einfach die kraft integriere
also wo ist mein fehler ? |
|
 |
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 24. Feb 2016 22:14 Titel: |
|
|
|
Empfehlung: Rotation des Feldes berechnen! |
|
|
Duncan
Gast
|
| Duncan Verfasst am: 25. Feb 2016 10:00 Titel: Re: Arbeit durch Kurvenintegral berechnen auf einer Ebene |
|
|
| ayberk hat Folgendes geschrieben: |
Das Kraftfeld ist folgendes -ax -bz)e1 (-cy)e2 (-bx -az)e3
|
Abgesehen vom Smiley, was ist denn das für eine Schreibweise? |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 25. Feb 2016 10:34 Titel: |
|
|
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Empfehlung: Rotation des Feldes berechnen! |
Das ist nicht hilfreich.
Im ersten Teil der Aufgabe soll ein Kurvenintegral explizit berechnet werden. Da hilft die Rotation überhaupt nicht. Und für den zweiten Teil der Aufgabe besagt der Text schon, dass ein Potential existiert.
@ayberk
Der Übergang zu Polarkoordinaten ist hier nicht unbedingt hilfreich. Parametrisiere den Halbkreis in kartesischen Koordinaten durch ein ) . Berechne dann das Kurvenintegral ganz elementar über
\cdot d\vec r=\int \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r'(t)dt) |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 25. Feb 2016 11:15 Titel: |
|
|
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | franz hat Folgendes geschrieben: | | Empfehlung: Rotation des Feldes berechnen! |
Das ist nicht hilfreich.
Im ersten Teil der Aufgabe soll ein Kurvenintegral explizit berechnet werden. Da hilft die Rotation überhaupt nicht. |
Ich habe mich gefragt, ob es nicht auch eine "explizite Rechnung" wäre, wenn man erst zeigt, daß die Rotation verschwindet und dann das geforderte Integral viel einfacher entlang der Geraden zwischen den beiden Punkten berechnet. Das ist zwar wahrscheinlich nicht im Sinne des Aufgabenstellers, er sollte es aber eigentlich als korrekte Lösung gelten lassen. |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 25. Feb 2016 11:26 Titel: |
|
|
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das ist zwar wahrscheinlich nicht im Sinne des Aufgabenstellers, er sollte es aber eigentlich als korrekte Lösung gelten lassen. |
Da bin ich mir ziemlich sicher, dass man dann nur Punkte für den zweiten Teil der Aufgabe bekommt, wo man ja gerade über das Potential gehen soll.
Und der Übungszweck Kurvenintegrale berechnen zu können, wäre dann auch verfehlt. Das lässt sich ja nicht immer vermeiden. Deshalb sollte man es können und üben. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 25. Feb 2016 11:50 Titel: |
|
|
Das wäre ziemlich enttäuschend. Meiner hoffentlich nicht allzu nostalgisch idealisierten Erinnerung nach, konnte man immer mit einfacheren Lösungswegen punkten, die dem Übungsleiter beim Formulieren der Aufgabe nicht eingefallen sind. Aber die Einstellung seines Übungsleiters kann nur ayberk beurteilen...
Was man auf jeden Fall auch üben sollte, ist eben nicht gleich reflexartig loszurechnen, bevor man sich auch nur einen eigenen Gedanken über die Aufgabe gemacht hat. Und so wichtig die Berechnung von Kurvenintegralen ist -- den Zusammenhang zwischen Rotationsfreiheit und Wegunabhängigkeit zu verinnerlichen, erscheint mir ein wichtigeres Lernziel zu sein.
Und wenn man unbedingt jemanden mit komplizierteren Kurvenintegralen quälen will, wäre es ja nicht schwierig, sich Vektorfelder mit nichtverschwindender Rotation zu überlegen... |
|
|
Duncan
Gast
|
| Duncan Verfasst am: 25. Feb 2016 13:05 Titel: |
|
|
Übungen mit Vektorfeldern, bei denen die Rotation nicht verschwindet, verfehlen das Ziel, die Gleichheit des Kurvenintegrals entlang eines Weges und des Potenzials zu demonstrieren.
Dieses Ziel wird ebenfalls nicht erreicht, wenn man nur das Potenzial berechnet. |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 25. Feb 2016 13:08 Titel: |
|
|
@index_razor
Deinen Ausführungen kann ich weitgehend zustimmen. Trotzdem bleibt die Frage:
Willst du dem Fragesteller ernsthaft vorschlagen, auf die explizite oder direkte (oder wie immer man das nennen mag) Berechnung des Kurvenintegrals auf der definierten Kurve angesichts des Aufgabentextes zu verzichten?
Man kann natürlich mit dieser Option kokettieren und sich dann mit einer Bemerkung wie
| Zitat: | | Aber die Einstellung seines Übungsleiters kann nur ayberk beurteilen... |
aus der Verantwortung stehlen. Ich weiß, das klingt jetzt böse von mir, aber es ist nicht böse gemeint. Mir ist nur aufgefallen, dass relativ häufig Ratschläge kommen nach dem Motto, der Aufgabensteller ist blöd, das machen wir mal ganz anders. Und tatsächlich erscheinen viele Aufgaben auch nicht sehr sorgfältig gestellt. Aber bei vielen wird von den Helfern auch einfach der beabsichtigte Übungszweck ignoriert. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 25. Feb 2016 14:20 Titel: |
|
|
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | @index_razor
Deinen Ausführungen kann ich weitgehend zustimmen. Trotzdem bleibt die Frage:
Willst du dem Fragesteller ernsthaft vorschlagen, auf die explizite oder direkte (oder wie immer man das nennen mag) Berechnung des Kurvenintegrals auf der definierten Kurve angesichts des Aufgabentextes zu verzichten?
|
Nein, ich würde vorschlagen, die eleganteste, einfachste Lösung zu wählen, die sein Übungsleiter akzeptiert. Da ich das schlecht beurteilen kann, überlasse ich das lieber ayberk. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 25. Feb 2016 14:28 Titel: |
|
|
| Duncan hat Folgendes geschrieben: | Übungen mit Vektorfeldern, bei denen die Rotation nicht verschwindet, verfehlen das Ziel, die Gleichheit des Kurvenintegrals entlang eines Weges und des Potenzials zu demonstrieren.
|
Das Ziel, von dem Huggy gerade sprach, war auch nur, Integrale entlang bestimmter Kurven zu üben. Dazu reichen beliebige stetige Vektorfelder. Bei rotationsfreien Vektorfeldern demonstriert man die Gleichheit des Wegintegrals und der zugehörigen Potentialdifferenz auch besser durch einen allgemeinen Beweis. Das Nachrechnen eines konkreten Spezialfalls fügt da m.E. dem Verständnis nicht besonders viel hinzu, aber vielleicht irre ich mich da.
| Zitat: |
Dieses Ziel wird ebenfalls nicht erreicht, wenn man nur das Potenzial berechnet. |
Das zu tun habe ich ja auch nicht vorgeschlagen. |
|
|
Duncan
Gast
|
| Duncan Verfasst am: 27. Feb 2016 08:12 Titel: |
|
|
|
ayberk scheint das Interesse verloren zu haben - falls es jemals da war - sonst hätte er mir doch seine eigenartige Schreibweise für das Kraftfeld erklärt. |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 27. Feb 2016 08:54 Titel: |
|
|
| Duncan hat Folgendes geschrieben: | | ayberk scheint das Interesse verloren zu haben |
Den Eindruck habe ich auch.
| Zitat: | | sonst hätte er mir doch seine eigenartige Schreibweise für das Kraftfeld erklärt. |
 sollen die kanonischen Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sein. Also
)
)
)
Die Schreibweise ist durchaus gebräuchlich. Solange man sich nur in kartesischen Koordinaten bewegt, erscheint sie als unnötige Schreibarbeit. Wenn man in verschiedenen Koordinatensystemen arbeitet, ist sie allerdings hilfreich. |
|
|
Duncan
Gast
|
| Duncan Verfasst am: 27. Feb 2016 11:34 Titel: |
|
|
Aber dann muss es doch heißen:
(-ax -bz)e1 + (-cy)e2 + (-bx -az)e3 |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 27. Feb 2016 12:06 Titel: |
|
|
OT
Die Schreibweise ganz oben (-ax -bz)e1 (-cy)e2 (-bx -az)e3 mag schlampig sein (was man beiläufig berichtigen [lassen] kann), aber jeder hat gewußt, worum es geht. |
|
|
ayberk
Anmeldungsdatum: 24.02.2016
Beiträge: 7
|
| ayberk Verfasst am: 28. Feb 2016 17:27 Titel: |
|
|
| Zitat: | @ayberk
Der Übergang zu Polarkoordinaten ist hier nicht unbedingt hilfreich. Parametrisiere den Halbkreis in kartesischen Koordinaten durch ein . Berechne dann das Kurvenintegral ganz elementar über
|
das geht doch gar nicht da ich keine parameterdarstellung von r habe
also es ist kein r(t) gegeben
ich weiß dass ich das auch ohne parameterdarstellung machen kann undzwar wenn ich z(x) und x(z) rauskriege und darüber integriere ich weiß aber nicht wie die fkten aussehen sollen
hast du ne Idee ? |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 28. Feb 2016 18:44 Titel: |
|
|
Was heißt denn, du hast keine Parameterdarstellung? Der Weg ist doch genau definiert. Für den kannst du beliebig viele Parameterdarstellung erstellen. Naheliegend ist z. B.
=\frac {z_0}{2}(\sin t, 0, 1- \cos t))
mit  . |
|
|
ayberk
Anmeldungsdatum: 24.02.2016
Beiträge: 7
|
| ayberk Verfasst am: 28. Feb 2016 22:06 Titel: |
|
|
Wie bist du auf diese Darstellung gekommen ?
Denn die allgemeine Parameterdarstellung eines Kreises durch den Ursprung ist doch :
r * (cos(t) , sin(t) ) und t von 0 bis 2pi
nicht wahr ?
Könnte ich wenn ich nur die allgemeine form kenne diese irgendwie so transformieren dass ich die richtige form erhalte oder sont irgendwie darauf kommen ?
Durch Verschiebung des Koordinsystems müsste es doch irgendwie gehen
und sehe ich das richtig dass auch r*e^it mit t von -pi/2 bis pi/2
eine richtige Parametrisierung wäre ? (wenn der halbkreis durch den Ursprung gehen würde)
ich bin mir nicht sicher ob ich mir die frage schon selbst beantwortet habe |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 29. Feb 2016 08:48 Titel: |
|
|
| ayberk hat Folgendes geschrieben: | Wie bist du auf diese Darstellung gekommen ?
Denn die allgemeine Parameterdarstellung eines Kreises durch den Ursprung ist doch :
r * (cos(t) , sin(t) ) und t von 0 bis 2pi |
Der Kreis geht nicht durch den Ursprung. Er hat seinen Mittelpunkt im Ursprung.
| Zitat: | Könnte ich wenn ich nur die allgemeine form kenne diese irgendwie so transformieren dass ich die richtige form erhalte oder sont irgendwie darauf kommen ?
Durch Verschiebung des Koordinsystems müsste es doch irgendwie gehen |
Aus obiger Darstellung ist doch offensichtlich, dass
=(x_M+r \cos t, y_M+r \sin t))
einen Kreis mit Mittelpunkt ) ergibt. Das habe ich benutzt, um dem Halbkreis den richtigen Mittelpunkt zu geben. Generell hat man bei dieser Form der Kreisparametrisierung die Freiheit, den Sinus und Cosinus noch zu vertauschen und beliebig mit Vorzeichen zu versehen. Das ändert nichts an der Kreisform. Es ändert sich lediglich die Position von ) auf dem Kreis und eventuell der Umlaufsinn. Von dieser Freiheit habe ich Gebrauch gemacht.
Man kann den Kreis auch komplex parametrisieren. Darin sehe ich bei deiner Aufgabe aber keinen Nutzwert. |
|
|
ayberk
Anmeldungsdatum: 24.02.2016
Beiträge: 7
|
| ayberk Verfasst am: 29. Feb 2016 17:53 Titel: |
|
|
Alles klar
Danke für die hilfe |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
