Wasserstoff - Korrektur 2. Ordnung

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

Hallo zusammen!
Ich komme derzeit bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Berechnen Sie explizit mithilfe der bekannten Eigenwerte und Eigenfunktionen des ungestörten Wasserstoffproblems die Energiekorrektur zweiter Ordnung zur Grundzustandsenergie.

Der Störungsterm ist gegeben durch:

Ich weiß, dass die 1s-Wellenfunktion im Wasserstoffatom gegeben ist durch:

Außerdem habe ich aus einer vorherigen Aufgabe die Grundzustandsenergie.

Nun will ich mir mit folgender Formel die Korrektur berechnen:

Mein Problem ist nun, dass ich diese Summe über m ungleich n nicht verstehe. n sollte ja 1 sein, da ich ja den Grundzustand betrachte. Aber was ist denn m? Ich nehme mal an damit ist nicht die Magnetquantenzahl gemeint?

Es wäre nett wenn ihr mich aufklären könntet smile

LG
Luca

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Bist Du mit Störungstheorie vertraut? Die von Dir zitierte Formel kommt aus der zeitunabhängigen Störungstheorie 1. Ordnung.

https://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory_%28quantum_mechanics%29

Ganz allgemein geht man von einem vollständigen System

aus und nimmt an, daß die Eigenwerte des ungestörten Problems alle verschieden sind und auch weit genug auseinanderliegen. n braucht nicht unbedingt eine Zahl zu sein; Hauptsache, es indiziert Deine Basis. Theoretisch läßt sich das natürlich immer so formulieren, aber praktischer ist es, sich eine Summation über die Haupt-, Drehimpuls- und Magnetquantenzahl vorzustellen. Und m ist in diesem Kontext dasselbe wie n. Also n ist ein Index, den man fest wählt, und über alle anderen Indizes m summiert man.
Problem: Die Annahme über die Eigenwerte ist beim Wasserstoffatom nicht erfüllt. Als Faustregel: Immer, wenn man es mit mehr als einer Quantenzahl zu tun hat, sind Probleme vorprogrammiert. Wie diese gelöst werden, steht im verlinkten Artikel unter "effects of degeneracy", aber Du kannst eben nicht einfach die von Dir zitierte Formel für das Wasserstoffatom verwenden.

Nebenbei: Um Störungstheorie zu machen, reicht es nicht, die Wellenfunktion des Grundzustands zu kennen. Du brauchst wirklich ein vollständiges System.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Wenn du die Korrektur zum Grundzustand

berechnen willst, dann lässt du die Summe über alle anderen Zustände ungleich dem Grundzustand laufen. Ich verwende dafür die Summationsindizes n', l' und m'

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich merke gerade: Was ich oben geschrieben habe zu der Entartung, stellt natürlich nur für

ein Problem dar!

Nichtsdestotrotz gilt: Du brauchst die Wellenfunktionen der anderen Zustände, um die Übergangsmatrixelemente

zu berechnen.