Aufgabe zu "Teilchen im Kasten"

Totengreber · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich bin Chemiestundent und wir haben im Physikmodul folgende Aufgabe bekommen:

http://postimg.org/image/udrznhmu9/

Meine Ideen:
Leider hatten wir die Theorie aus organisatorischen Grüpnden dazu noch nicht, müssen die Übungen aber tortzdem lösen um an die Prüfung zugelassen zu werden. Könnte mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Zu der Aufgabe kannst du dir am besten mal diese Erklärung hier durchlesen:

http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/15/thc/kasten/tcv003_kasten.vlu.html

http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/15/thc/kasten/tcv003_kasten.vlu/Page/vsc/de/ch/15/thc/kasten/neu_kasten8.vscml.html

Das hilft dir als Einstieg.

Totengreber · Gast

Erstmals danke.
Kann das sein, dass die erste Teilaufgabe das ist, was hier unter dem Abschnitt 3 "solving for A" steht? Aber irgenwie fehlt noch der zweite Teil der Gleichung mit dem B*cos(kx)

chemwiki.ucdavis.edu/Physical_Chemistry/Quantum_Mechanics/05.5%3A_Particle_in_Boxes/Particle_in_a_1-dimensional_box

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Wenn du Wellenfunktion bestimmen willst, musst du A und B (beziehuingsweise c1 und c2) herausfinden, die Konstanten.
In dem Beispiel, das ich dir gezeigt habe, wird der ansatz mit Kosinus und Sinus gemacht. In deinem Beispiel haben die von vorneherein angenommen, dass B = 0 gilt. Im Grunde geht es darum, eine Differentialgleichung zu lösen und die löst man, in dem man zum Beispiel einen Ansatz einsetzt und schaut, ob die Gleichung erfüllt ist. Bei deinem Beispiel hat der Aufgabensteller einfach einen leicht anderen Ansatz gemacht, der aber richtig ist, weil B sowieso null ist. Das heißt einfach, dass das eine (Halb-)-Welle in den Kasten passen muss. ^^

Totengreber · Gast

Aha, ich habe nicht gesehen dass dein Link unten mehrere Seiten hat Hammer

sorry

wie kann ich das nun normieren dass es der Teilaufgabe b) entspricht?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Lies den Text ruhig aufmerksam durch. In der b) kannst du die Aufenthaltswahrscheinlichkeit so normieren, dass 1 herauskommt. Das ist mathematisch die Aussage, dass im Intervall von minus unendlich bis unendlich (irgendwo im Raum) das Teilchen anzutreffen sein muss.
Sprich, Integral ausrechnen.^^

Totengreber · Gast

Das heisst ich muss folgendes integral ausrechnen:

postimg.org/image/5yv44ftd1/

und schauen ob es =1 gibt?

Totengreber · Gast

Aha, jetzt habe ich es verstanden, die Lösung bei a) ist

postimg.org/image/4ld2wmdez/

und wenn ich das bei b) normiere, bekomme ich die Konstante C1, die dann

postimg.org/image/ob0zbyt61/ ist

stimmt das so?

Totengreber · Gast

Und was genau muss ich nun bei c) machen?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Also ich glaube schon, dass du das alles richtig meinst, im Grunde ist ja alles richtig. Du schreibst ein bisschen durcheinander. Das Integral, dass du lösen willst, ist genau genommen

und du kennst c1 = A (in deiner Aufgabe heißt es A) eben noch nicht. Außerdem steht das n für die Mode, das ist ganz wichtig, das hast du noch vergessen. Und genau, du bekommst, wenn du das Integral richtig löst, eine Bestimmungsgleichung heraus, die du nach c1 umstellen kannst, und du findest

Setze bei der c) einfach wie in der Aufgabe beschrieben n=1 beziehungsweise n=2 und bestimme das Maximum

Totengreber · Gast

Hmm, ich habe das mal für n=1 und n=2 in wolfram alpha angegeben, dass ich sehen kann wie das Ganze unefähr aussieht, und Wolfram Alpha gibt mir an, dass das diese Funktion gar kein Maximum hat?

wolframalpha.com/input/?i=maximum+%28sqrt%282%2FL%29*sin%28pi%2FL*x%29%29^2

was mache ich nun?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Entweder schaust du die Funktion ganz scharf an und erkennst, dass dieser quadratische Sinus, der nur innerhalb des Kastens, nämlich von 0 bis L, definiert ist (weil die Potentialwälle unendlich hoch sind), genau dann das Maximum erreicht, wenn x = L/2 für n =1 oder x = L/4 für n=2, da

gilt.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28sqrt%282%2F10%29*sin%28pi%2F10*x%29%29^2

Wenn du das genauer ausrechnen willst, kannst du n =1 einsetzen und L = 1,2,3,.... und du wirst sehen, dass das Maximum immer an derselben Stelle zwischen 0 und dem gewählten L liegt.

Du darfst wolframalpha niemals einfach eine Formel geben, die von zwei Variablen abhängt, wenn du doch aber schon genau weißt, dass L ein beliebiger fester Wert der reellen Zahlen ist.

Frage an dich zurück: Wo liegt dann jetzt die maximale Wahrscheinlichkeit, das Teilchen anzutreffen und macht das auch Sinn?

Totengreber · Gast

Aha, jetzt seh ich es.

Das heisst das Teilchen ist für n=1 am Häufigsten in der Mitte des Kastens und für n=2 bei den Grenzen zwischen den äusseren Vierteln anzutreffen. Das macht meiner Meinung nach auch Sinn.

zu d): Kann es sein, dass es 24 pi-Elektronen sind?
Wie berechne ich nun die Quantenzahl? Im Link den du mir geschickt hast geht es ja um Cyanine, aber mein Molekül hier hat keine Stickstoffgruppen.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ja genau das meinte ich. Das Teilchen ist bei n=1 höchstwahrscheinlich in der Mitte und bei n=2 verteilt, so wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit es sagt.

...zähl nochmal nach bei den Doppelbindungen (p-Orbitale). Du siehst 11 Doppelbindungen, die die p-Orbitale beschreiben, oder? Also hättest du 22. Zwei Elektronen in einer Doppelbindung machen einen Quantenzustand aus, also hättest du n=11. Siehst du das auch?
Das Cyanin war natürlich nur ein Beispiel.

Ich kann's gerne nochmal erklären.

Totengreber · Gast

Ich habe zuerst auch 22 gezählt, war mir aber nicht sicher ob man beim Durchkonjugieren auch die Beiden nach den jeweiligen Doppelbindungen auf beiden Seiten mitzählt, aber habe jetzt auch nochmals im Internet recherchiert und es sind in der Tat nur 22 . smile

Auch das mit n=11 macht Sinn, super, eine Teilaufgabe weiter Thumbs up!

zu e)

dort nehme ich an, dass E(n) + ein Energiebetrag = E(n+1) wird, oder?
Und die Formlen für E(n) und E(n+1) wären ja gegeben, aber was setze ich für den Energiebetrag ein? E=h*f=(h*c)/lambda? Und wonach Löse ich dann genau auf, nach L?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ja genau. Die Energiedifferenz der Zustände entspricht der Absorption der genannten Wellenlänge. Dann fehlt dir nur noch L, was du bestimmen kannst^^

Totengreber · Gast

Super, das traue ich mir zu zu lösen xD

Dann fehlt noch Aufgabe f). Dort weiss ich wieder nicht was ich genau tun soll

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich musste das auch mehrmals lesen. So wie ich das verstanden habe, sollst du die Länge des Moleküls nochmals nachrechnen, indem du die Summe über die einzelnen Abstände berechnest, 1.4 Å pro C-C-Bindung.
Dann sollte als Diskrepanz auffallen, dass die Längen des einfachen Kastenmodells und der jetzt berechneten Länge wohl nicht übereinstimmen.
Das wird dann daran liegen, dass das Kastenmodell zu einfach ist:
Beta-Karotin verleiht Lebensmitteln oft eine charakterische orangene Farbe (Karotte), obwohl der berechnete Übergang von der vorherigen Aufgabe eine Wellenlänge hat, die mit orange nichts zu tun hat. Das liegt daran, dass wir im Kastenmodell angenommen haben, dass alle Elektronen komplett delokalisiert sind in den p-Orbitalen und dass sie nicht miteinander wechselwirken. Sie wechselwirken aber (Coulomb-Kraft). Das sind alles Indikatoren, dass das Kastenmodell zu einfach ist.

Totengreber · Gast

Heisst das einfach nur den konjugierten Teil des Moleküls berechnen, wenn die Bindungslänge nur für ein konjugiertes pi-System gegeben ist?

Also einfach 21*1.4A=29.4A= 2,94×10-9m?

Für was sind dann noch die Bindungswinkel gegeben? Sollte man den nicht konjugierten Teil auch noch berücksichtigen und die Länge der "schiefen" Bindungen auch berechnen?

Totengreber · Gast

Aha jetzt habe ich es verstanden, ich muss bei f) noch die wirkliche Länge des pi-Systems ausrechnen mit Trigonometrie. Also habe ich 1.2 Angström erhalten für den länglichen Abstand von einer C-C Bindung. Das habe ich *19 gerechnet und die zwei senkrechten Doppelbindungen ignoriert, da sie ja nichts zum länglichen Abstand beitragen.

Heisst 19*1.2A= 2.3*10^-9m

Bei e) habe ich jedoch die Formel aufgelöst und für L folgendes gerechnet:

postimg.org/image/7hwrc3w3x/

und komme auf 1.85*10^-12m

wobei ich die Masse m durch umrechnen dieses Wertes auf ein Teilchen und in kg erhalten habe: pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/compound/5280489

Kann die Diskrepanz so gross sein, oder habe ich etwas falsch gerechnet?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich denke, du musst geometrisch schon berücksichtigen, dass der Winkel das Gebilde abknickt^^

Totengreber · Gast

Ich denke du bist mir genau 2minuten zuvorgekommen und hast meinen zweiten Beitrag nicht mehr gesehen, oder?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Deinen zweiten Beitrag habe ich nicht mehr gesehen. Ich schau's mir gleich an^^

Edit: ich komme heute wahrscheinlich aus Zeitgründen zu nichts mehr, aber ich hoffe, es ist okay, wenn ich morgen nochmal was schreibe.

Totengreber · Gast

Ja ich muss die Übung am Dienstag morgen abgeben, heisst kein Problem. Danke smile

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Das sieht schon ganz gut aus. Ich erhalte dieselben Ergebnisse im Großen und Ganzen, aber die Formel, die du verlinkt hast, hat kein n^2, da stimmt was nicht, aber das ist wohl nur ein Abschreibefehler.

Erstmal bekommst du bei der e)

und damit

Und das stimmt überhaupt nicht überein mit dem geometrischen Ansatz aus der f) (auffällige Diskrepanz):

Das Dreieck \/ ist gegeben mit dem Winkel 120 Grad unten und der Seite x oben für eine C-C-C Bindung sowie den Seiten mit Länge 1.4 Angström.
Da die restlichen Winkel gleich groß sind, folgt mit

dass

und somit ist die gesuchte Länge mit dem Sinussatz x = 2,42487 Angström.
Wenn ich jetzt durchzähle, wie oft diese Länge seitlich vorkommt, finde ich 11,5 Längen.

Also ist die Gesamtlänge

Die geometrische Länge wäre 2.7 nm und das zeigt, dass das Kastenmodell zu einfach ist.

Totengreber · Gast

Oke super, damit wäre die Aufgabe fertig.

Vielen Dank für deinen Einsatz, du warst echt eine grosse Hilfe!
Thumbs up!