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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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 Dennis4a1 Verfasst am: 07. Jan 2016 21:09 Titel: Schwingungsfähige Systeme höherer Ordnung |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Schwingungsfähiges System, welches durch vier DGL 1. Ordnung bzw. eine DGL 4. Ordnung beschieben werden kann.
Ich kann es auch in zwei Teilsysteme 2. Ordnung zerlegen.
Nun möchte ich analytisch Eigenfrequenz und Dämpfung des Gesamtsystems bestimmen. Ist das möglich? Kenn das bisher nur für Systeme 2. Ordnung über Koeffizientenvergleich.
Gruß
Dennis
Meine Ideen:
Koeffizientenvergleich |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18003
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2016 22:38 Titel: |
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Kannst du das System näher spezifizieren bzw. hier die Gleichungen angeben? Warum vier DGLs erster Ordnung? Normalerweise müsste eine DGL zweiter Ordnung bzw. zwei erster Ordnung vorliegen.
Handelt es sich um ein partielles (hyperbolisches) DGL-System in mehreren Variablen? Mehreren Funktionen? Liegt ein homogenes oder inhomogenes System vor? Liegen konstante Koeffizienten vor?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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| Dennis4a1 Verfasst am: 07. Jan 2016 22:59 Titel: |
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Hallo TomS,
ursprunglich war es eine DGL 2. Ordnung und zwei DGLn 1. Ordnung.
Zur Eigenwertanalyse habe ich jedoch durch Substition vier DGLn 1. Ordnung draus erstellt und es in die Zustandsraumdarstellung gebracht.
Wobei gilt:
Also eigentlich alle möglichen Darstellungformen vorhanden, nur beim eigentlichen Problem bin ich noch nicht weiter gekommen.
Zuletzt bearbeitet von Dennis4a1 am 07. Jan 2016 23:49, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18003
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2016 23:31 Titel: |
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Sorry, aber irgendwie kapier' ich das nicht.
Beim harmonischen Oszillator hab' ich eine DGL zweiter Ordnung in x(t) oder zwei DGLs erster Ordnung in x(t) und v(t). OK.
Du sagst, du hättest ein System aus vier DGLs erster Ordnung, schreibst dann aber zweite Ableitungen in d(t) und p(t). Versteh' ich nicht.
Muss ich aber auch nicht, wenn ich deine erste Gleichung
 = A\,x(t))
richtig verstehe: es liegt ein homogenes, lineares DGL-System erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten vor.
Der Ansatz lautet
 = e^{\lambda_n t}\,e_n)
Dabei nummeriert n = 1..4 vier Eigenvektoren e und vier Eigenwerte lambda.
Einsetzen des Ansatzes in das DGL-System und Kürzen der e-Funktion liefert
\,e_n = 0)
Dies ist ein gewöhnliches lineares Gleichungssystem, aus dem die Eigenwerte lambda und die Eigenvektoren e zu bestimmen sind.
Die allgemeine Lösung folgt dann mittels Superposition
 = \sum_n c_n\,e^{\lambda_n t}\,e_n)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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| Dennis4a1 Verfasst am: 07. Jan 2016 23:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Du sagst, du hättest ein System aus vier DGLs erster Ordnung, schreibst dann aber zweite Ableitungen in d(t) und p(t). |
Du hast recht, da hab ich mich verschieben, sorry. Ist korrigiert.
Das hatte ich auch schonmal versucht:
 & (\cdots) & (v_4 \cdot e^{\lambda_4 * t})
<br />
\end{bmatrix} )
Mit den Eigenwerten  und den Eigenvektoren  .
Damit kann ich eine Zeit t einsetzen und die Lösung bestimmen.
Aber ich weiß nicht ob und wie ich daraus Dämpfung und Eigenfrequenz bestimmen kann.
Denn dafür habe ich bisher bei Systemen 2. Ordnung immer ein Koeffizientenvergleich mit der gewöhnlichen Schwingungsgleichung gemacht.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18003
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2016 00:22 Titel: |
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Na, die c's und e's liefern zunächst mal nur Konstanten. Du musst dir die Eigenwerte lambda anschauen:
Der Realteil Lambda liefert die Dämpfung, der Imaginärteil Omega die Schwingsfrequenz (jeweils fünf eine Eigenlösung)
)
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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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| Dennis4a1 Verfasst am: 08. Jan 2016 00:36 Titel: |
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Sicher? Das hatte ich ganz am Anfang nochmal nachgelesen und da stand, dass:
- der Realteil die Abklingkostante und
- der Imaginärteil mir die geämpfte Eigenkreisfrequenz gibt.
Da ich ja aber die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz nicht habe kann ich aus der Abklingkostante das Dämpfungsmaß bzw. die Dämpfung nicht berechnen.
 http://fs5.directupload.net/images/160108/j9jp6y2v.png
Oder hab ich Dich jetzt falsch verstanden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18003
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2016 06:59 Titel: |
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Ok, einfach aus der DGL ablesen kannst du's natürlich nicht mehr.
Trotzdem sollte doch folgender Ansatz funktionieren:
\right] = \omega_0^2 )
Daraus kannst du sofort ablesen, dass omega_0 dem Betrag der Eigenwerte entspricht.
Das entspricht letztlich einem Koeffizientenvergleich in Polardarstellung:
 = \omega_0(\cos\delta \pm i\sin\delta) = \omega_0\,e^{\pm i\delta})
alpha kann aus der Lösung lambda bestimmt werden, daraus folgt delta, und daraus wiederum D.
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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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| Dennis4a1 Verfasst am: 08. Jan 2016 14:46 Titel: |
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Ah super! Danke Dir!
Auf die Idee bin ich nicht irgendwie nicht gekommen.
Jetzt bekomm ich natürlich zwei Dämpfungen und Eigenfrequenzen, jeweils eine davon entspricht dem, was ich erwarte, die anderen machen m.E. nicht so viel Sinn.
Haben die physikalisch irgendeine Bedeutung bzw. hat da mal jemand was zum lesen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18003
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2016 16:44 Titel: |
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Was sind denn deine Lösungen? und welches physikalische System betrachtest du überhaupt? grundsätzlich erhältst du i.A. immer zwei konjugiert komplexen Eigenwerte mit negativer Dämpfung, sonst ist was faul.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 08. Jan 2016 22:53, insgesamt einmal bearbeitet |
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Dennis4a1
Anmeldungsdatum: 07.01.2016
Beiträge: 17
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| Dennis4a1 Verfasst am: 08. Jan 2016 20:50 Titel: |
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Es ist halt ein System mit 4 Freiheitsgraden.
Daraus ergibt sich ein System vierter Ordnung mit je zwei Paaren konjungiert komplexer Eigenwerte.
Daraus ergeben sich dann zwei Eigenfrequenzen und zwei Dämpfungen.
Dabei deckt sich eine mit dem realen (offensichtlichen) Systemverhalten, die andere Dämpfung liegt irgendwo bei kapp unter 1 fällt deutlich flacher. |
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