Lagrange Formalismus

Idlefix · Gast

Meine Frage:
Ein Punktteilchen der Masse m rutscht in einer halbkugelförmigen (nach oben geöffneten) Schale vom Radius R mit dem Koordinatenursprung im Kugelmittelpunkt. (Die Schale befindet sich also unterhalb der xy-Ebene.) Diesmal wirkt keine Schwerkraft/kein Schwerepotential, sondern stattdessen ein künstliches Potential

a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion sowie die Bewegungsgleichung(en) dieses Teilchens nach dem Lagrange-Formalismus in Zylinderkoordinaten auf. Geben Sie alle zyklischen Koordinaten an. Geben Sie alle Erhaltungsgrößen an, die mit den zyklischen Koordinaten verknüpft sind. Welche Symmetrie des Systems ist mit diesen Erhaltungsgrößen verknüpft?

b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion sowie die Bewegungsgleichung(en) dieses Teilchens nach dem Lagrange-Formalismus in Kugelkoordinaten auf.Geben Sie alle Erhaltungsgrößen an, die mit den zyklischen Koordinaten verknüpft sind. Welche Symmetrie des Systems ist mit diesen Erhaltungsgrößen verknüpft?

Hinweise: Überlegen Sie sowohl für a.) als auch für b.) vor Beginn der Rechnung die Anzahl der Freiheitsgrade und der generalisierten Koordinaten. Erstellen Sie außerdem eine Skizze, in der Sie die Schale, das Teilchen, die Koordinatenachsen und die Zylinder-, bzw. Kugelkoordinaten zeigen.

Meine Ideen:
Ich bin erlich gesagt etwas stark überfordert, blättere seit Stunden in meinen Aufzeichnungen hin und her und bekomm gleich nen heulkrampf weil ich nich weis wie ich anfangen soll unglücklich

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Hast Du denn Hinweis schon befolgt, oder kommst Du da auch noch nicht weiter?

Gruß
Marco

Idlefix · Gast

Also bei den Freiheitsgraden fängt hier mein Problem schon an, weil ich mir nicht vorstellen kann wie sich dieses Teilchen dadrin, ohne Schwerkraft bewegt aber grob würd ich auf 2 Tippen.
Bei den Skizzen hab ich ne Idee, da liegt der Mittelpunkt der Schale auf der Z Achse unter dem Koordinaten Ursprung, die Ränder der Schale liegen auf der x-y Ebene und die Zylinderkoordinaten haben den Abstand gleich dem Radius der halbkugelförmigen Schale

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Hallo Idlefix, das Potential ist gegeben und die Geschwindigkeit muss in Zylinderkoordinaten ausgedrückt werden. Dann kannst du die Lagrangefunktion aufstellen mit

.
Beachte zusätzlich dass das Potential sich ebenfalls transformieren lässt.

Idlefix · Gast

Mit Zylinderkoordinaten meinst du vermutlich
r*cos phi
r*sin phi
z

und im Potential diese ersetzen ergibt
Vo/r^2 cos^2phi+r^2 sin^2phi

bei der geschwindigkeit würd ich dann sagen, statt -x ist es dann -r*cos phi
und v^2 das dann quadriert

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich würde Dir empfehlen, einmal das hier zu lesen (oder zumindest zu überfliegen):
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/misc/va2.pdf
Zumindest das unter Zylinderkoordinaten und dann eben auch §6

Übrigens: Verwende beim Potential:

Gruß
Marco

Idlefix · Gast

Also den trigometrischen Phytagoras.

Die Seite gefällt mir da seh ich parallelen zu meiner Aufgabe. Ich bearbeite die Seite mal und meld mich gegen 3 wieder . Danke erstmal

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Das kann ich dir ehrlich gesagt nicht beantworten ob ihr die Geschwindigkeit noch explizit herleiten müsst oder nicht. Wenn nicht, kannst du diese auch aus deinen Unterlagen übernehmen.
Falls du diese noch herleiten musst, dann geht das für gewöhnlich über den Ansatz

Bei dem Potential verfährst du wie as_string bereits vorgeschlagen hat.

Idlefix · Gast

Du hast recht die Geschwindigkeit brauch ich gar nicht, die schüssel bewegt sich ja nicht

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Es geht hier auch um die Geschwindigkeit des Teilchens und nicht um die Geschwindigkeit der Schüssel. Ich habe jetzt genug Infos gegeben. Damit solltest du jetzt zurecht kommen.

Viele Grüße

Idlefix · Gast

Wenn ich nun das Potential V in Zylinder und Kugelkoord. umschreibe erhalte ich:
Zylinder

Kugel

Idlefix · Gast

Daraus hätte ich dann für Zylinder Koord.

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Das stimmt erstmal soweit. Du musst jetzt nur noch explizit

angeben. Wie lautet die Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten?

Idlefix · Gast

Idlefix · Gast

Wo das n herkommt weis ich nicht das gehört da nicht hin ^^

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Ja, sieht richtig aus. Jetzt musst du nur noch beachten was mit dem Radius r passiert. Ändert sich dieser mit der Zeit? Falls nein, fällt dieser weg und du erhälst einen etwas einfacheren Ausdruck für die Geschwindigkeit. Dies setzt du anschließend alles ein und hast damit deine Lagrangefunktion aufgestellt. Das selbe machst du im nächsten Aufgabenteil für Kugelkoordinaten.

Idlefix · Gast

Ja stimmt jeder Punkt einer halben Kugel ist gleich weit weg vom Zentrum somit kann sich der Radius r nicht ändern

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280

Ja dann mal los, du musst die zyklischen Koordinaten und die Erhaltungsgrößen auch noch bestimmen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Das mit dem konstanten r bei den Zylinderkoordinaten würde ich anders seh e n.

Gruß
Marco

Idlefix · Gast

Wieso anders? Ist der Radius r nicht auf allen Punkten der Schale gleichgroß?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Idlefix · Gast

Stimmt R zeigt ja nicht zum Koordinatenursprung sondern zur Z-Achse und wenn man in der Schale nach unten geht, dann ändert sich auch der abstand zur Z-Achse, also kann ich r nur in den Kugelkoordinaten als Konstant ansehen?

Idlefix · Gast

Ich muss mich erstmal 1 bis 2 Stunden um meine Frau kümmern, dannach wird weiter gerechnet. Ich stelle immer wieder fest, dass die Ehe die Freiheitsgrade reduziert und durch Zwangskräfte ersetzt!

Max Cohen · Anmeldungsdatum: 13.04.2014 Beiträge: 280