Lagrange- und Hamilton-Mechanik - Unterschiede

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo,

mir ist nicht ganz klar, welche Vor-, Nachteile und Unterschiede es zwischen
der Lagrange- und Hamilton-Mechanik gibt. Könnte die mir bitte jemand kurz und knapp erklären? Die Lagrange-Beweungsgleichung

hängt von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten

und von den verallgemeinerten Ortskoordinaten

ab. Sie spielt sich also im n-dimensionalen Konfigurationsraum ab, sofern

ist und k die Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen ist.
Die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen lassen sich über eine Legendre-Transformation aus der Lagrange-Gleichung ableiten

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

In der Lagrangeschen Formulierung kannst du i.A. Symmetrien (mittels Noether-Theorem) besser d.h. einfacher identifizieren.

In der Hamiltonschen Formulierung ersetzt du N DGLs zweiter Ordnung durch 2N DGLs erster Ordnung, was teilweise eine einfachere Behandlung gestattet.

In der QM ist die Hamiltonsche Formulierung gebräuchlicher (es sei denn du betrachtest Pfadintegrale), in der Elektrodynamik aufgrund der manifesten Lorentz-Kovarianz die Lagrangesche.

Es hängt i.A: stark von der Aufagbenstellung ab.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Perfekt ... das reicht mir als Überblick. Die Mathematik ist nicht allzu schwer
nachzuvollziehen, manchmal hapert es bei mir aber bei der physikalischen
Interpretation. Bezüglich der Identifikation der Symmetrien in der Lagrange-
Mechanik ist ja 'das Ausschauen' nach zyklischen Koordinaten wichtig: wenn
z. B. q eine zyklische Koordinate ist, d.h., dass die Lagrange-Funktion L nicht
von dieser abhängt, dann ist der zu q konjugierte Impuls

erhalten, denn es gilt nach der Lagrange-Gleichung:

Und, klar, ich habe bei der Lagrange-Mechanik mit q_1, ..., q_n verallgemeinerten Koordinaten n Koordinaten und nach der Lagrange-Gleichung n DGs zweiter Ordnung.
Bei der Hamilton-Mechanik hat man hingegen mit q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n 2n
Variablen und mit den Hamilton-Gleichungen 2n DGs erster Ordnung, aber leider
keine so schöne zentrale Formel wie die Lagrange-Gleichung :/

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

Na, die Formeln sind schon recht kompakt:

Für eine Funktion A(q,p) auf dem Phasenraum mit Koordinaten (q,p) unter Verwendung der Poissonklammer {.,.} gilt

Speziell für kanonisch konjugierte Orte q und Impulse p

gilt

Eine (beliebige) Größe Q(q,p) ist demnach erhalten, wenn

gilt.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Die Definition der Poisson.Klammern ist nun aber auch kein kleiner Happen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

na ja, auch nicht komplizierter als die Ableitungen in den Euler-Lagrange-Gleichungen

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Die Euer-Gleichung ähnelt der Lagrange-Gleichung aber doch sehr ^^
Schließlich kann man aus ihr durch Entsprechungen die Lagrange-
Gleichung direkt 'ableiten'. Aber du hast Recht, die Poisson-Klammern
sind jetzt, wo ich sie gerade angeschaut habe, nicht sehr schwer.

Ich verstehe nur deine gemachten Aussagen nicht ganz bzw. den
Zusammenhang zu der Sache nicht so recht. Kann man

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087