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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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 Widderchen Verfasst am: 28. Nov 2015 18:54 Titel: Hamilton-Formalismus- Symmetrien - Kleine Schwingungen |
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Meine Frage:
Hallo,
die Aufgaben befinden sich auf dem folgenden Link:
http://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-I/Uebungen/Blatt_8.pdf
Meine Ideen:
Ich befinde mich momentan bei Aufgabe 26 i) b) und betrachte System Nr. 2. Hier sollen zu den oben genannten Systemen die Hamilton-Funktionen aufgestellt werden.
Mir ist klar, wie man die Hamilton-Funktion aufstellt, das Problem ist nur, dass die Hamiltonfunktion als Funktion der kanonischen Impulse und der generalisierten Koordinaten dargestellt werden soll. Die kanonischen Impulse sind jedoch jeweils von beiden zeitlichen Ableitungen der verallgem. Koord.  abhängig.
Ich habe die kanonischen Impulse für das zweite System berechnet:
l_1 ^2 \dot{\theta_1} + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta_2} \cos(\theta_1 - \theta_2) \,\,\,\,
<br />
<br />
p_{\theta_2} = m_2 l_2 ^2 \dot{\theta_2} + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta_1} \cos(\theta_1 - \theta_2) )
Anschließend habe ich die kanonischen Impulse jeweils nach umgestellt und so in die Hamilton-Funktion eingesetzt. Das weitere Umformen dieses großen Ausdrucks fällt mir jedoch schwer. Kann mir hier jemand behilflich sein?
Viele Grüße
Widderchen
Ich habe zunächst nicht die Ausdrücke für in Abhängigkeit ihrer kanon. Impulse eingesetzt und erhalte als Hamilton-Funktion genau die Lagrange-Funktion nur mit einem negativen Potentialanteil.
Doch irgendwie ist es sinnlos, nun durch die kanon. Impulse zu ersetzen, da die kanon. Impulse stets von beiden Zeitableitungen abhängig sind.
Dasselbe Problem besteht auch beim Aufstellen der Hamilton-Fkt. für das dritte System.  |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 28. Nov 2015 19:45 Titel: |
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Na ja, sieht furchtbar aus, ist aber eigentlich nur ein lineares Gleichungssystem, das Du zu lösen hast. Wenn es Dir leichter fällt, schreibe erstmal eben nur
und bestimme dann die Inverse von  (Cramer-Regel oder mit Gauß-Algorithmus) |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 28. Nov 2015 23:11 Titel: |
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe! Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann erhalte ich über die Cramer-Regel für  :
 p_{\theta_2}}{(m_1 + m_2) l_1 ^2 l_2 ^2 m_2 - (m_2 l_1 l_2 \cos(\theta_1 - \theta_2))^2 } )
Kann das stimmen?
Viele Grüße
Widderchen
Bemerkung: Müsste die Matrix nicht die Form  haben? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 28. Nov 2015 23:26 Titel: |
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Uppsi... Ja, Du hast natürlich recht, meine Matrix war falsch! |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 29. Nov 2015 13:56 Titel: |
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Hallo,
ich befinde mich nun bei Teilaufgabe c). Die Hamiltonschen Bewegungsgl. sollen hier aufgestellt. Diese sind mir auch bekannt. Die zu System 2 aufgestellte Hamiltonfkt. lautet:
^2 } - \frac{A}{l_1} g \cos(\theta_1) - \frac{C}{l_2} g \cos(\theta_2) )
Wenn ich nun die Hamiltonsche Beweg.gl. berechnen will, also:
 , müssen dann auch die kanonischen Impulse in der oben genannten Hamiltonfunktion nach  abgeleitet werden?? Die Konstanten A und C hängen nicht von ab, B allerdings schon.
Viele Grüße
Widderchen
Also ich habe die Hamiltonfkt. nach Theta 1 abgeleleitet und erhalte:
 ( p_{\theta_1} C \dot{\theta_2} - p_{\theta_2} B(AC - B^2) \dot{\theta_2} - p_{\theta_1}p_{\theta_2}(AC - B^2) + p_{\theta_1} A \dot{\theta_1} - p_{\theta_1} B(AC - B^2) \dot{\theta_1} + p_{\theta_1}^2 BC + p_{\theta_2}^2 AB - 2 p_{\theta_1}p_{\theta_2} B^2) }{(AC - B^2)^2} - \frac{A}{l_1}g \sin(\theta_1) )
Für die partielle Ableitung nach Theta_2 sollte ein ähnlicher Ausdruck entstehen. Kann das soweit stimmen oder habe ich mich komplett verrechnet??? Da die kanon. Impulse jeweils von Theta 1 und Theta 2 abhängen, mussten diese auch entsprechend differenziert werden. Die Ableitung von B wurde auch berücksichtigt.
Kann man den oben genannten Ausdruck noch irgendwie geschickt zusammenfassen?
Die oben ermittelte Ableitung ist falsch, ich hatte mich also doch verrechnet! Ich erhalte nach langem Kürzen und Zusammenfassen:
 ( \dot{\theta_1}^2 + \dot{\theta_2}^2) + m_2 l_1 l_2 sin(\theta_1 - \theta_2) \frac{p_{\theta_1}^2 CB + p_{\theta_2}^2 AB - 2 p_{\theta_1}p_{\theta_2}B^2)}{(AC - B^2)^2} )
Lässt sich der zweite Summand weiter umformen?? |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 30. Nov 2015 12:59 Titel: |
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Hallo,
ich denke, ich habe Teilaufgabe c) soweit gelöst. Ich bin nun dabei, die Symmetrien und Erhaltungsgrößen zu bestimmen.
Ich habe in Teilaufgabe c) festgestellt, dass die Hamiltonsche Bewegungsgleichung bzgl. x Null ergibt, also dass der Impuls  eine Erhaltungsgröße ist.
Ist dies also die einzige Erhaltungsgröße in allen drei zu betrachtenden Systemen?
Wie bestimme ich die Symmetrien eines Systems?
Ich weiß auch nicht, wie ich die Eigenfrequenzen in iii) für kleine Ausklenkungen des Doppelpendels ermitteln soll. Womöglich soll ich die Lagrange-Funktion für infinitesimale Auslenkungen  betrachten, aber wie stelle ich das genau an?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele grüße
Widderchen |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 30. Nov 2015 19:02 Titel: |
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Hallo,
ich habe die erste Aufgabe fast vollständig gelöst. Ich muss noch Aufgabe 19 iii) lösen.
Ich vermute, dazu muss ich über die Euler-Lagrange-Gleichung die Bewegungsgleichung des Doppelpendels bestimmen und anschließend für infinitesimale Winkelverschiebungen näher untersuchen.
Ist dieser Ansatz soweit korrekt oder muss an dieser Stelle noch etwas berücksichtigt werden??
Über Hilfe wäre ich dankbar.
Viele Grüße
Widderchen
Ich habe die Bewegungsgleichungen für das ebene Doppelpendel über die Euler-Lagrange-Gleichungen bestimmt. Diese lauten:
 l_1} (\ddot{\theta_2} \cos(\theta_1 - \theta_2) + \dot{\theta_2}^2 \sin(\theta_1 - \theta_2)) = 0 \,\,\,
<br />
<br />
\ddot{\theta_2} + \frac{g}{l_2} \sin{\theta_2} + \frac{l_1}{l_2} (\ddot{\theta_1} \cos(\theta_1 - \theta_2) - \dot{\theta_1}^2 \sin(\theta_1 - \theta_2)) = 0 )
Nun definiere ich infinitesimale Verschiebungen
 := \theta_1 (t) + d\theta_1 (t) \,\,\, \theta_2 ' (t) := \theta_2 (t) + d\theta_2 (t) ) .
In den ersten Ableitungen verschwinden die Ableitungen der stationären Lösungen, oder nicht?
Ich komme an dieser Stelle nicht weiter! |
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