Integral über Betragsquadrat der Wellenfunktion

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

Hallo zusammen!
Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe fest. Ich soll zeigen, dass eine gegebene Wellenfunktion normiert ist. Das heißt ja, dass das Integral über das Betragsquadrat der Wellenfunktion = 1 ergeben muss.
Nun habe ich folgendes Integral vor mir:

Wobei A ein konstanter Vorfaktor ist. Meine Frage ist nun, ob ihr eine geeignete Substitution oder Ähnliches kennt, mit der sich das Integral lösen lässt.

Ich habe bereits versucht den Exponenten zu Substituieren, das klappt leider nicht, da dann im Integral sowas steht wie:

Und das vereinfacht die Sache nicht wirklich für mich...

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

integrieren und dann das Ergebnis nach b ableiten.

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

Hm, also wie soll ich da substituieren?
Habe einmal versucht u = bx^2 , aber das hat nicht funktioniert, genauso wie:
u = e^(-bx^2)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral#Computation

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

ok danke für den Link. Dann sollte bei deinem Integral pi/b herauskommen und das nach b abgeleitet ergibt - pi/b^2
Leider verstehe ich noch nicht so recht wie mir das Ergebnis bei meinem Integral weiterhelfen kann. grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

Ok, also ich habe jetzt mal versucht mein Integral analog zu deinem Beispiel zu lösen, also mit dem Ansatz, dass ich in Polarkoordinaten rechne.
Das funktioniert aber nicht, weil ich in meinem Beispiel noch das x^2 vor dem e stehen habe. :/

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Dazu hat dir jh8979 einen Tipp gegeben. Nochmal ausführlich:

Lardos · Anmeldungsdatum: 09.11.2015 Beiträge: 13

Oh man, also manchmal steh ich echt auf dem Schlauch... Ok, also nun habe ich es folgendermaßen gemacht (ich schreibe jetzt mal alles ausführlich auf):

Die geg. Wellenfunktion:

soll auf Normiertheit überprüft werden. Also muss das Integral üder das Betragsquadrat 1 sein:

Ich betrachte jetzt mal nur das Integral:

Jetzt substituiere ich:

b = 1/a

Das letzte Problem ist nun, dass sich das Ergebnis nicht mit dem Vorfaktor oben rauskürzt. Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler liegt?

Liebe Grüße

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

https://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals