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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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 Hero123 Verfasst am: 23. Okt 2015 17:00 Titel: Potential in der Dirac-Gleichung |
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Hallo,
ich hätte ein paar kurze Fragen zur Dirac-Gleichung, insbesondere in Verbindung mit Potentialtermen.
1. Kann ich in der Diracgleichung überhaupt (wie bei der Schrödingergleichung) Potentialterme anhängen, ich habe solche Terme (bis auf die minimale Kopplung) leider nirgendwo finden können?
2. Was die minimale Kopplung betrifft, so findet man meist die Begründung, dass aufgrund lokaler Eichsymmetrien das elektromagnetische Viererpotential angefügt werden muss. Da stellen sich mir aber nun einige Fragen:
i, Was beschreibt dann die komplett freie Dirac-Gleichung bzw. ist diese dannfalsch, weil sie der Eichsymmetrie nicht mehr genügt?
ii, Wenn ich ein ungeladenes Teilchen mit der Dirac-Gleichung betrachte, dann verschwindet dieser Term aufgrund von q=0, aber dann ist die Eichsymmetrie wieder verletzt, was bedeutet das?
3. Wie verhält sich das ganze in Bezug auf die Lagrangedichte mit den Potentialen? Bzw. inwiefern würde es Sinn machen, Potentiale mit den Feldern der QFT zu mischen?
Vielen Dank für eure Hilfe
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 23. Okt 2015 17:07 Titel: |
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zu 1) Ja kann man. http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/advqm_5.pdf
zu 2) i) Die freie Dirac-Gleichung beschreibt ein freies (nicht-wechselwirkendes) Fermion.
zu 2) ii) Nein. Ein Fermion mit q=0 transformiert einfach nicht unter der Eichsymmetrie.
zu 3) Du kannst natürlich auch die Lagrangedichte mit Potentialen hinschreiben. |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 25. Okt 2015 12:26 Titel: |
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Vielen Dank für deine Antwort.
Eines ist mir aber noch nicht ganz klar, du sagst die freie Diracgleichung beschreibt ein Teilchen ohne Wechselwirkung, aber so wie ich das verstanden habe, muss das Feld in der Gleichung auftauchen, sodass die Eichsymmetrie erfüllt ist (besser gesagt das Feld ist eine direkte Folge aus der Symmetrie).
Also wenn ich ein Teilchen mit nicht verschwindender Ladung betrachte, kann dies niemals frei sein, weil es stets an das Feld koppelt?
Was hat das für Konsequenzen, dass ein Teilchen der Ladung nicht unter der Eichsymmetrie transformiert, bzw. was genau bedeutet dies für das Teilchen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Okt 2015 14:15 Titel: |
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Nein, so ist das nicht.
Du kannst (in der rel. QM) ein Dirac-Teilchen zunächst ohne Kopplung an ein el.-mag. Feld betrachten, z.B. ein Elektron im Vakuum. Dieses trägt natürlich eine Ladung, die jedoch in Abwesendheit el.-mag. Felder irrelevant ist. Wenn du jedoch die Koplung an ein el.-mag. Feld betrachten möchtest, dann musst dies entsprechend der U(1) Eichsymmetrie erfolgen (wobei dieses Gesetz nicht vom Himmel fällt, sondern letztlich nur dadurch motiviert ist, dass es funktioniert, d.h. korrekte theoretische Vorhesagen liefert). |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Okt 2015 14:55 Titel: |
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| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine Antwort.
Eines ist mir aber noch nicht ganz klar, du sagst die freie Diracgleichung beschreibt ein Teilchen ohne Wechselwirkung, aber so wie ich das verstanden habe, muss das Feld in der Gleichung auftauchen, sodass die Eichsymmetrie erfüllt ist (besser gesagt das Feld ist eine direkte Folge aus der Symmetrie).
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Ja, die Eichinvarianz erfordert im allgemeinen eine spezielle Kopplung der Materiefelder an die Eichpotentiale und damit das Auftreten der Eichpotentiale in der Lagrangefunktion überhaupt. Dadurch ist allerdings nicht ausgeschlossen, daß die Ladung verschwindet. Denn der Kopplungsterm kann null sein, wenn das Materiefeld unter der trivialen Darstellung der Symmetriegruppe G transformiert (das ist gemeint, wenn man sagt, daß es "nicht" transformiert). In diesem Fall ist Eichinvarianz gleichbedeutend mit (globaler) G-Invarianz.
| Zitat: |
Also wenn ich ein Teilchen mit nicht verschwindender Ladung betrachte, kann dies niemals frei sein, weil es stets an das Feld koppelt?
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Ja ich denke strenggenommen hast du schon recht. Die Bewegungsgleichungen der Materiefelder enthalten das Eichfeld. Das Materiefeld ist also nicht frei sofern das Eichfeld nicht zumindest verschwindende Feldstärke hat. Umgekehrt sind die Ströme des Materiefeldes auch die Quellen für das Eichfeld, also ist im allgemeinen ein solches vorhanden, wenn ein geladenes Teilchen anwesend ist.
Ich denke der Punkt ist folgender: Von einem freien Teilchen kann man dann sprechen, wenn die Rückwirkung des von dem Teilchen selbst erzeugten Eichfeldes auf dessen eigene Bewegung vernachlässigbar ist. Das bedeutet, daß in irgendeinem Sinne die Näherung
gelten muß, also die eichkovariante Ableitung links, die das Eichfeld A enthält, ungefähr gleich der gewöhnlichen Ableitung nach  ist. In diesem Fall gehen die Feldgleichungen für die Materiefelder in die freie Dirac-Gleichung über. Dies kann wahrscheinlich nur dann der Fall sein, wenn die Ströme irgendwie "schwach" genug sind. Wie man diese Bedingungen allerdings genau formuliert, ist mir im Augenblick auch nicht wirklich klar. Unter welchen Bedingungen solche freien Materiefelder existieren, hängt aber mit Sicherheit auch sehr stark von der betrachteten Eichtheorie ab (vergleiche z.b. Elektrodynamik und QCD). |
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