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Nachricht |
hepimi
Gast
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 hepimi Verfasst am: 13. Aug 2015 09:07 Titel: Ausdruck für Länge als Funktion der Zeit |
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Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ziemlich Mühe bei einer Aufgabe..Und zwar geht es um folgendes:
Ich habe einen zylindrischen Stab mit einer hängenden Masse M. Länge des Stabes sei L.
Ab einem bestimmten Zeitpunkt t=0 wird die Masse plötzlich zu 2M verdoppelt. Es gibt keine Reibung oder Luftwidertstand. Ich soll jetzt einen Ausdruck für die für die Länge L(t) als Funktion der Zeit herleiten.
Geben sind: Entspannte Länge Lo, entspannter Radius Ro, Elaszitätsmodul E, Poissonzahl mü, und Schubmodul G.
WIe gehe ich so etwas an? Ich bin leider ziemlich überfordert!
Meine Ideen:
Leider weiss ich gar nicht, wie ich so eine Funktion aufstelle! =( |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 13. Aug 2015 11:17 Titel: |
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Hallo,
wenn ich das richtig deute, wird das System anfangen zu schwingen, sobald die Masse "plötzlich" aud 2M verdoppelt wird.
Du müsstest dann die Bewegungsgleichung des Systems aufstellen und lösen. Die "Federkonstante" bekommst Du aus der Dehnsteifigkeit des Stabes.
Die Anfangsbedingung wäre die Differenz der statischen Auslenkungen wenn nur 1M oder 2M am Stab hängen.
Deute ich die Aufgabe richtig?
Gruß |
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hepimi
Gast
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| hepimi Verfasst am: 13. Aug 2015 11:42 Titel: |
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Ja genau. Also es steht tatsächlich, dass die Masse plötzlich auf 2M verdoppelt wird.
In den Teilaufgaben vorher, musste ich bereits einen Ausdruck für die gespannte Länge des Stabes herleiten.
Das ergab:
Bei der nächsten Teilaufgabe musste ich einen Ausdruck für den gespannten Radius finden.
Das ergab:
Nächste Teilaufgabe: Die Zugfestigkeit des Materials des Stabes sei Fy. Was ist die maximale Masse Mmax, die getragen werden kann?
Meine Lösung:
Und jetzt soll ich eben einen Ausdruck für die Länge L(t) als Funktion der Zeit herleiten. Und ich darf annehmen, dass 2M << Mmax ist. Und eben keine Reibung etc.
Aber wie stelle ich diese Bewegungsgleichung auf? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 13. Aug 2015 12:22 Titel: |
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| hepimi hat Folgendes geschrieben: |
Aber wie stelle ich diese Bewegungsgleichung auf? |
Während der Schwingung wird die Masse ja nur eine Bewegung in vertikaler Richtung ausführen. Sie wird also um die statische Ruhelage herum jeweils nach oben und unten eine gewisse Auslenkung erfahren. In den Maximalpunkten kehrt die Bewegung dann um, und die Masse bewegt sich in umgekehrter Richtung zurück.
Stellt man sich die Masse nun um ein kleines Stückchen nach unten aus der Ruhelage ausgelenkt vor, so wird ja der Stab gedehnt. Die Kraft, die zur Dehnung des Stabes notwendig ist, versucht, die Masse zum Nullpunkt zurückzuziehen, sie wirkt also in entgegengesetzter Richtung zur Auslenkung.
Ist die Masse nach oben aus der Ruhelage ausgelenkt, so wird der Stab gestaucht, und die Kraft versucht, die Masse wieder Richtung Nullpunkt zu drücken.
Die Rückstellkraft des Stabes wirkt also immer entgegen der Auslenkung der Masse.
Andererseits ist die Stabkraft proportional zur Verlängerung des Stabes. Es gilt F = k*x
Zusammen mit Newtons Bewegungsgleichung F = m*a ergibt das die folgende Bewegungsgleichung:
-k * x = m * a (das Minuszeichen drückt aus, dass die Rückstellkraft immer entgegen der Auslenkung wirkt)
Berücksichtigt man jetzt noch, dass die Beschleunigung a die zweite Zeitableitung des Ortes ist ergibt sich:
oder in Kurzschreibweise:
Das ist die Bewegungsgleichung, die Du nun lösen musst.
Die Proportionalitätskonstante für die Rückstellkraft hast Du ja bereits berechnet.
Gruß |
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hepimi
Gast
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| hepimi Verfasst am: 13. Aug 2015 12:53 Titel: |
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Danke hansguckindieluft!
Hm ok, ein bisschen klarer wird es jetzt.. Aber was genau ist mein k? Wo habe ich dies bereits berechnet?
Und wäre das x jetzt in meinem Fall einfach ein L?
Und die Gewichtskraft muss ich auch noch berücktichtigen?
Also wären dann auf der einen Seite die Rückstellkraft plus die Gewichtskraft und auf der anderen Seite der Gleichung mein  ? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 13. Aug 2015 13:07 Titel: |
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k ist die Proportionalitätskonstante der Stabkraft.
Die Stablängung hast Du doch bereits ausgerechnet:
L = L0 + Mg * 1/k
Die Stablänge ist also die unbelastete Länge plus die angreifende Kraft geteilt durch die "Federsteifigkeit" des Stabes. Das k hängt von L0, der Querschnittsfläche A und dem E- Modul ab.
Die Gewichtskraft brauchst Du glücklicherweise nicht berücksichtigen, wenn Du den Koordinatenursprung in die statische Ruheposition legst (statisches L bei Belastung mit 2M).
Um diese Ruhelage herum findet die Schwingung statt. Und die Gewichtskraft bewirkt ja lediglich, dass sich der Stab auf diese statische Länge dehnt. In der Bewegungsgleichung würde sich die Gewichtskraft dann rausheben.
Das x ist die Auslenkung der Masse. L wäre dann L0 (Länge in statischer Ruhelage, nicht Länge des unbelasteten Stabes) plus die Auslenkung x.
x ist natürlich ein Funktion der Zeit t. Du suchst also eine Funktion x(t), welche die Bewegungsgleichung erfüllt.
Gruß |
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hepimi
Gast
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| hepimi Verfasst am: 13. Aug 2015 14:22 Titel: |
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Ok, danke!
Leider schaffe ich es nicht, diese Differentialgleichung zu lösen. Vorallem ist in der Lösung auch noch ein +2Mg dabei.
Und irgendeine seltsame Partikuläre Lösung.
Wie würdest du diese Gleichung lösen? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 13. Aug 2015 14:48 Titel: |
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partikuläre Lösung?
Die DGL ist doch homogen!
Ich würde die DGL erstmal so umformen:
Bei Schwingungen ist es üblich, für  die Abkürzung  einzuführen.
Die Bewegung x(t) ist ja irgendetwas periodisches.
Bei der Lösung würde ich daher mal etwas mit Sinus oder Cosinus versuchen, mit Konstanten, um später die Anfangsbedingungen unterzubringen.
Gruß |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 14. Aug 2015 09:35 Titel: |
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Lösungsansatz für die homogene DGL 2. Ordnung:
x(t) = Lambda x e hoch c x t. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 14. Aug 2015 09:55 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Lösungsansatz für die homogene DGL 2. Ordnung:
x(t) = Lambda x e hoch c x t. |
Üblicherweise kommt das Lambda in den Exponenten, nicht das C.
Bei einer ungedämpften Schwingung würde ich keine e- Funktion ansetzen, sondern etwas wie:
=A\cdot cos(\omega t) + B\cdot sin(\omega t) )
oder vielleicht auch:
=C\cdot cos(\omega t-\varphi ) )
Gruß |
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