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Enco
Anmeldungsdatum: 30.05.2015
Beiträge: 4
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 Enco Verfasst am: 30. Mai 2015 08:05 Titel: Expansion Universum: DGL Hubblekonstante |
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Meine Frage:
Wir sollen an einem vereinfachten Modell die Expansion des Universums beschreiben. In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die Dichte über die Zeit konstant sein soll  ) . Die Geschwindigkeit ist dabei durch =H(t)*\vec{r} ) (H(t) ist die Hubblekosntante) gegeben.
Im ersten Aufgabenteil müssen wir das Geschwindigkeitsfeld skizzieren, was ich auch ohne Probleme geschafft habe.
Im zweiten Aufgabenteil soll nun mit Hilfe der Eulergleichung der Strömungsmeschanik eine DGL für H(t) aufgestellt und gelöst werden und anschließend mit der Kontinuitätsgleichung die Dichte bestimmt werden. Zur Vereinfachung soll der Druckgradient und die externe Kraft als 0 angesehen werden.
Meine Ideen:
Wenn wir nun zuerst die Eulergleichung betrachten erhalten wir:
}{\partial t}+(\frac{\partial \vec{v}(\vec{r}, t)}{\partial t}*\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix})*\frac{\partial \vec{v}(\vec{r}, t)}{\partial t}=0 )
*\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{pmatrix})+(H(t) * \begin{pmatrix} \dot{x} \frac{\partial}{\partial x} \\ \dot{y} \frac{\partial}{\partial y} \\ \dot{z} \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{pmatrix} )
Nun folgen meine ersten fragen. Wenn ich jetzt den ersten Teil nach t differenziere, muss ich da die Produktregel verwenden?
Als zweites stellt sich mir die Frage, ob die Ableitung der Geschwindigkeit nach dem Weg im zweiten Teil 0 wird, da der Weg meines erachtens nach nicht in der Geschwindigkeit enthalten ist.
Wenn ich nun mit meinen annahmen weiter rechne erhalte ich:
*\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{pmatrix}+p*H(t)*\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{pmatrix}=0 )
Mein nächstes Problem besteht jetzt darin, wie ich diese DGL löse. Ich denke mal, dass man sie komponentenweise lösen soll. Dann würde sich ja die Dichte wegkürzen und ich hätte nur noch die beiden Terme der Produktregel. Ich habe mir gedacht, dass man die DGL dann am besten über Trennung der Variablen lösen könnte, aber wie muss ich jetzt die Komponenten der Beschleunigung bzw. der Geschwindigkeit behandeln, weil ich ja eine DGL in einer DGL habe? Kann man die Komponenten einfach als normalen Vorfaktor behandeln oder gehe ich die Sache Grundlegend falsch an?
Ich bedanke mich schonmal vorab für eure Hilfe! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Mai 2015 09:57 Titel: Re: Expansion Universum: DGL Hubblekonstante |
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| Enco hat Folgendes geschrieben: |
Nun folgen meine ersten fragen. Wenn ich jetzt den ersten Teil nach t differenziere, muss ich da die Produktregel verwenden?
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Ja natürlich.
| Zitat: |
Als zweites stellt sich mir die Frage, ob die Ableitung der Geschwindigkeit nach dem Weg im zweiten Teil 0 wird, da der Weg meines erachtens nach nicht in der Geschwindigkeit enthalten ist.
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Doch ist er. Laut Deinen Annahmen von weiter oben soll doch gelten  \vec r) .
(das ist übrigens ein weiterer Fehler in Deinen Gleichungen, Du hast  \dot{\vec r}) eingesetzt)
In Deiner Schreibweise bin ich mir auch nicht sicher, ob Du den zweiten Term der Euler Gleichung verstanden hast. Wie sieht  \vec v) in Komponentenschreibweise aus? |
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Enco
Anmeldungsdatum: 30.05.2015
Beiträge: 4
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| Enco Verfasst am: 30. Mai 2015 10:26 Titel: Re: Expansion Universum: DGL Hubblekonstante |
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| Zitat: |
Doch ist er. Laut Deinen Annahmen von weiter oben soll doch gelten .
(das ist übrigens ein weiterer Fehler in Deinen Gleichungen, Du hast eingesetzt)
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Stimmt. Immer diese Flüchtigkeitsfehler. 
| Zitat: | | In Deiner Schreibweise bin ich mir auch nicht sicher, ob Du den zweiten Term der Euler Gleichung verstanden hast. Wie sieht in Komponentenschreibweise aus? |
Der zweite Term müsste doch lauten:
\vec{v}=(H(t)*x*\frac{\partial}{\partial x}+H(t)*y*\frac{\partial}{\partial y}+H(t)*z*\frac{\partial}{\partial z})*\vec{v}=H(t)*\begin{pmatrix} x(\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}x+\frac{\partial}{\partial z}x) \\ y(\frac{\partial}{\partial x}y+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}y) \\ z(\frac{\partial}{\partial x}z+\frac{\partial}{\partial y}z+\frac{\partial}{\partial z}z) \end{pmatrix}=H(t)*\begin{pmatrix} x*\dot{x} \\ y*\dot{y} \\ z*\dot{z} \end{pmatrix} )
Dann hätte ich ja erstmal:
*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + p*H(t)*\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{pmatrix} + H(t)*\begin{pmatrix} x*\dot{x} \\ y*\dot{y} \\ z*\dot{z} \end{pmatrix} = 0)
Das H(t) könnte man ja jetzt ausklammern. Nur mein Problem ist momentan noch, dass ich nicht verstehe in welcher Weise ich mit dem Weg und der Geschwindigkeit hantieren muss, wenn ich die DGL lösen will, da die Terme an sich doch wieder eine eigene DGL sind oder ist das in diesem Fall irrelevant?  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Mai 2015 11:07 Titel: |
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1. Sorry, meine erste Antwort auf die Produktregel war verwirrend: Ja, Du musst prinzipiell die Produktregel anwenden, wenn da ein Produkt steht. Aber in diesem Fall ist x nicht x(t), sondern einfach eine Koordinate x, die nicht von t abhängt.
2. Ausserdem:  |
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Enco
Anmeldungsdatum: 30.05.2015
Beiträge: 4
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| Enco Verfasst am: 30. Mai 2015 11:58 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | 1. Sorry, meine erste Antwort auf die Produktregel war verwirrend: Ja, Du musst prinzipiell die Produktregel anwenden, wenn da ein Produkt steht. Aber in diesem Fall ist x nicht x(t), sondern einfach eine Koordinate x, die nicht von t abhängt.
2. Ausserdem: |
Also, wenn ich den Ortsvektor als konstant ansehe bekomme ich folgendes:
*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+ H(t)*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =0 )
Diese Differentialgleichung kann ich dann ja komponentenweise lösen und da sich die Ortsabhängigkeiten rauskürzen, hat jede der 3 Komponenten die selbe DGL, die gelöst werden muss:
+ \dot{H}(t)=0 )
Über Trennung der Variablen erhalte ich dann:
} \, \dd H(t)=-\int \! \frac {1}{p}\, \, \dd t )
 = e^{-\frac {1}{p}\, t} +c )
Habe ich so jetzt alles richtig gemacht? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Mai 2015 12:22 Titel: |
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Abgesehen von der fehlenden Integrationskonstanten, siehts gut aus. |
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Enco
Anmeldungsdatum: 30.05.2015
Beiträge: 4
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| Enco Verfasst am: 30. Mai 2015 12:37 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Abgesehen von der fehlenden Integrationskonstanten, siehts gut aus. |
Okay. Danke für die Hilfe! |
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