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Klausurlerner
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 Klausurlerner Verfasst am: 24. Jan 2015 16:51 Titel: Poissongleichung |
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Hallo miteinander!
Wie mein Name vermuten lässt bereite ich mich momentan für eine Klausur in Elektrodynamik vor. Eine der Themen die wohl drankommen könnten ist die Poissongleichung. Dazu haben wir allerdings nicht großartig viel gemacht in den Vorlesungen und Tutorien und auch keine Übungsaufgabe gehabt. Ich fasse einfach mal zusammen:
Nachdem die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik aus einer Lagrangedichte hergeleitet wurden, folgt für die E-Feld-Gleichungen im statischen Fall:
Aus der 2. Gleichung folgt  . Eingesetzt in die 1. folgt die Poisson-Gleichung:
Verallgemeinert haben wir gesagt:
 = f(\vec{r})) (L sei ein Differentialoperator)_______________(1)
Diese Differentialgleichung habe die partielle Lösung (ich frag mich ob ich mich da verschrieben habe und das partikuläre Lösung sein sollte  ):
 f(\vec{r'}) \, \dd^3r') _______________(2)
mit  = 4 \pi \delta(\vec{r}-\vec{r'})) _______________(3)
Denn wenn man den Operator L in (2) anwendet mit der Gleichung (3) kommt man eben auf (1). Also macht die Lösung (2) Sinn mit der in (3) definierten Greenfunktion. Für den Laplaceoperator folgt für die Greenfunktion wegen
) explizit:
 = - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|})
Und wenn man  = \frac{\rho(\vec{r'})}{\epsilon_0}) setzt kommt man eben auf das Coulombpotential als Lösung:
 \, \dd^3r')
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Okay, jetzt die ganz bedepperte Frage.  Wie sieht denn eine typische "Poissongleichung-Aufgabe" aus? Ich verstehe nicht was man hier großartig machen kann. Eine Ladungsdichte angeben und daraus soll man das Potential und E-Feld berechnen? Die Ladungdichte müsste dann ja auch maximal Delta-Funktion-Form (also Punktladung) haben, andererseits wird es schwer das Integral mit dem Faktor  per Hand in einer Klausur zu berechnen. Im Netz finde ich zu Poissongleichung nur Randwertaufgaben (Dirichlet, Neumann), aber das haben wir nicht gemacht. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 24. Jan 2015 21:38 Titel: |
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Du hast eigentlich schon vieles selbst beantwortet. Ja, wenn die Ladungsdichte gegeben ist, so gewinnt man das Potenzial durch eine Volumsintegration über die Ladungsdichte.
In vielen Fällen ist aber die Ladungsdichte nicht explizit gegeben, sondern lediglich eine Randbedingung für die Potenziale. Für ganz simple Geometrien kann man dann analytisch vorgehen, indem man nach Eigenfunktionen der Laplacegleichung entwickelt (z.B. Besselfunktionen J(n) bei Zylindersymmetrie oder Kugelflächenfunktionen Y(m,n) bei sphärischer Symmetrie,). Aber auch das hast du ja schon erkannt...
Für beide Typen von Aufgaben gibt es unzählige konkrete Beispiele
in allen Schwierigkeitsklassen.
Wenn ihr nur die erste Art behandelt habt, denke ich aber nicht, dass ihr bei einer Klausur plötzlich Randwertaufgaben lösen sollt.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jan 2015 21:42 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
In vielen Fällen ist aber die Ladungsdichte nicht explizit gegeben, sondern lediglich eine Randbedingung für die Potenziale. |
Das ist etwas verwirrend formuliert, da die Ladungsdichte immer gegeben sein muss, um die Poisson-Gleichung zu lösen. Aber zusätzlich können noch Randbedingungen gegeben sein (sofern ein Rand vorhanden ist). Die Lösung ist dann immer noch gegeben durch Lösung aus Gleichung (2), aber die Greensfunktion sieht für unterschiedliche Randbedingungen unterschiedlich aus. Die in der Fragestellung gegebene Form G ~ 1/r ist z.B. die Greensfunktion, wenn gerade kein Rand vorhanden ist (bzw der Rand im Unendlichen ist). |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 24. Jan 2015 22:04 Titel: |
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Bei Randwertproblemen hat man die Ladungsdichte normalerweise gar nicht explizit gegeben. Z.B. kreisförmig geladene leitende Platte, wo man ja nicht von einer homogenen Flächenladungsdichte ausgehen kann.
Möglicherweise fällt die Lösung eines solchen Problems in strenger akademischer Notation aber nicht in die Kategorie "Lösung der Poissongleichung", da die sich ergebende Ladungsdichte ja selbst am Rand sitzt, und die rechte Seite der Poissongleichung sich auf fix vorgegebene Ladungen innerhalb der Umrandung bezieht, für die ein Randwertproblem definiert ist.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jan 2015 22:17 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Bei Randwertproblemen hat man die Ladungsdichte normalerweise gar nicht explizit gegeben. Z.B. kreisförmig geladene leitende Platte, wo man ja nicht von einer homogenen Flächenladungsdichte ausgehen kann.
Möglicherweise fällt die Lösung eines solchen Problems in strenger akademischer Notation aber nicht in die Kategorie "Lösung der Poissongleichung". |
Ich würde es normalerweise so formulieren:
Es gibt einen Rand, der gewisse Bedingungen erfüllt, und es gibt eine Ladungsverteilung im Volumen (nicht der Rand) und dann löst man die Poissongleichung in diesem Volumen mit der entsprechenden Ladungsverteilung und den entsprechenden Randbedingungen.
Die größten Verwirrungen entstehen da meist, wenn man versucht den Rand als Ladungsverteilung zu modellieren. Das ist nämlich in der Regel nicht so einfach möglich, wie z.B. auch in Deinem Beispiel zu sehen ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18193
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| TomS Verfasst am: 25. Jan 2015 11:08 Titel: |
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Der Punkt ist ja, dass die Poissongleichung
formal gelöst wird durch die Greensfunktion
Allerdings hat der Laplaceoperator einen nicht-verschwindenen Kern, denn es existieren harmonische Funktionen h
Und damit ist die Lösung mittels Greensfunktion nicht eindeutig; die allgemeine Lösung lautet
mit einer beliebigen harmonischen Funktion h.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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