Poisson-Gleichung

OmegaPirat · Gast

Hallo ich habe eine Frage zur Poissionverteilung.
Mal angenommen ich betrachte einen Raumbereich mit bekannter Ladungsdichteverteilung. Prinzipiell könnte ich dann über die Poission-Gleichung das elektrische Potential bestimmen (evt. sind auch noch entsprechende Randbedingungen gegeben). In diesem Raumbereich existiere jetzt ein Würfelelement mit einer Ladungsdichte von null. Jetzt betrachte ich nur diesen Raumbereich und die Possiongleichung geht zur Laplacegleichung über. Für diesen würfelförmigen Raumbereich kenne ich jetzt (warum auch immer) das Potential an den Rändern. Diese Kenntnis stellt dann eine gewisse Ranbedingung dar. Würde ich in diesem Würfel dasselbe Feld erhalten, wenn ich a) den gesamten Raum samt Ladungsdichteverteilung betrachte und die Poissongleichung löse oder b) den ladungsdichtefreien würfel betrachte und nur die Laplacegleichung löse, sofern ich die durch die ladungsverteilung um den würfel hervorgerufene potential an den rändern kennen würde.

Wenn man nicht zum gleichen ergebnis kommt, habe ich die poissongleichung irgendwie nicht verstanden, weil das rho in der gleichung steht doch nur für die innere verteilung und in übungsaufgaben, betrachtet man dann irgendwelche raumbereiche mit ladungsdichte, nur würde eine punktladung außerhalb des raumbereichs das feld entsprechend beeinflussen, wenn ich recht behalte, verändert eine externe punktladung die randbedingung, sogesehen werden externe ladungen durch die randbedingungen mitberücksichtigt.

Ich hätte noch eine zweite Frage. Diese bezieht sich auf den physikalischen gaußschen Satz. Dort betrachtet man auch die ladung welche innerhalb eines raumbereichs sitzt. MIr ist klar wie man damit das feld einer kugelförmigen oder zylinderförmigen ladungsanordnung bestimmt. Mal angenommen man habe einen zylinderkondensator, der besteht aus einem vollzylinder und drumheraum ist ein hohlzylinder.
Wenn man jetzt um den vollzylinder einen gedachten zylinder legt, so klann man einfach das E-Feld, vom vollzylinder berechnen. Man berücksichtigt dabei aber nicht die ladung am hohlzylinder. mit ist klar, dass so ein hohlzylinder im inneren feldfrei ist, weil sich die Feldvektoren in jedem punkt kompensieren, nur deswegen ist das mit dem vollzylinder schon die lösung. Man könnte ja jetzt eine beliebige andere ladungsverteilung um den vollzylinder haben. diese ist dann aber im inneren nicht zwingend feldfrei. müsste man dann nicht das feld davon auch noch berechnen und beide felder überlagern? Danke im Voraus

OmegaPirat · Gast

Tschuldigung, dass ich nochmal schreibe, aber die antwort auf diese Frage ist für mich momentan immer noch von Relevanz. Ich würd mich freuen, wenn jemand antwortet.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Welche Frage?

OmegaPirat · Gast

Die Antwort darauf:

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Ich verstehe nicht ganz, worauf Du hinauswillst. Du hast zwei Fragen, die, so sehe ich das jedenfalls, dasselbe beinhalten. Die Poisson-/Laplace-Gleichung wird doch mit Hilfe des Gaußschen Flusssatzes hergeleitet, besagt also letztlich dasselbe.

Deine Einzelfragen lassen sich nur mit ein paar grundsätzlichen Bemerkungen beantworten, da viele Fragen bzgl. Symmetrie usw. offen bleiben. Eines ist jedenfalls sicher: Im Inneren eines raumladungsfreien Würfels existiert je nach Raumladungsverteilung in der Umgebung ein anderes Feld, als wenn der Würfel Raumladungen enthielte und die umgebende Raumladung dieselbe ist wie zuvor. In beiden Fällen muss allerdings gelten, dass ein beliebiges Linienintegral der Feldstärke von einer Würfelseite zu einer anderen (oder auch zu derselben) Null sein muss, sofern das Potential auf den Würfelflächen überall gleich ist (so hatte ich Dein Szenario jedenfalls verstanden). Dass so ein Integral immer denselben Wert Null haben kann, obwohl ganz unterschiedliche Feldverläufe existieren, ist doch klar.

Was Deinen Zylinderkondensator angeht, ist mir nicht ganz klar, was Du mit Vollzylinder meinst. Der Innenzylinder muss doch gar nicht "voll" sein, seine Wand kann hauchdünn, sie muss nur überhaupt vorhanden sein, damit man dort nämlich die eine Seite einer Spannungsquelle anschließen kann. Sonst kriegt man ja keine Ladung auf den Zylinder. Die Ladungen sitzen IMMER auf der äußeren Oberfläche des Innenzylinders, sofern zwischen Innen- und Außenzylinder eine Spannung anliegt. Wenn Du um den Innenzylinder das Hüllintegral der Verschiebungsdichte bildest, erhältst Du immer die eingeschlossene Ladung. Das gilt in jedem Fall unabhängig davon, was für einen Außenzylinder, wenn überhaupt, Du hast und ob der koaxial angeordnet ist oder nicht. Nur berechnen könntest Du das Feld dann nicht mehr, jedenfalls nicht mit einfachen Mitteln. Dass Du bei einer koaxialen Zylinderanpordnung bei beliebiger, aber koaxialer Integrationsfläche (das ist Dein gedachter Zylinder um den "Vollzylinder") den Betrag der Verschiebungsdichte als kostant annehmen kannst, was das Feld dann berechenbar macht, liegt doch nur daran, dass Dein Außenzylinder koaxial zum Innenzylinder liegt und damit die Oberflächenladung auf dem Innenzylinder gleichmäßig verteilt ist (Symmetrie). Sobald der Außenzylinder exzentrisch verschoben ist, kannst Du Deine Feldberechnung vergessen, da die Ladungsverteilung auf dem Innenzylinder nicht mehr konstant ist. Dasselbe gilt, wenn Du statt eines Außenzylinders einen zweiten Zylinder oder einen beliebig geformeten Metallkörper neben dem ersten Zylinder hast. Das ist wegen fehlender Symmetrie mit einfachen Mitteln dann nicht mehr zu berechnen.

Womit ich nicht klarkomme, ist Dein Vergleich des Zylinderkondensators mit und ohne Raumladung. Das sind doch zwei ganz verschiedene Paar Schuhe. Oder habe ich da was falsch verstanden? Immerhin sprichst Du plötzlich von einer beliebigen anderen Ladungsverteilung UM den Vollzylinder HERUM.

Also, irgendwie bin ich verwirrt.