Lagrange Funktion: Zylinder rollt in Paraboloid

Schmuse · Anmeldungsdatum: 10.01.2006 Beiträge: 16

hallo
ich muss eine Aufgabe lösen,bei der mir der Ansatz fehlt.Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.

Ein homogener Zylinder (Radius R,Masse M) mit Achse parallel zur z-Richtung rollt, ohne zu gleiten, in einem Paraboloid unter dem Einfluß des Schwerpotentials V=M*g*n. (e,n) sind die Koordinaten des Zylindermittelpunkts in der x-y-Ebene.
a) Geben sie die Lagrange Funktion L(X,X(mit Punkt oben drauf)) an, wobei (X,Y) die Koordinaten des Berührpunktes sind.
b) Berechnen sie böse

t) und die Eigenfrequenz Omega0 in harmonischer Näherung für kleine Schwingungen.

Alles ich würde erstmal die potentielle und kinetische Energie berechnen, aber den richtigen Ansatz habe ich noch nicht gefunden.
Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.DAnke
Liebe Grüße

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das riecht wieder nach Anwendung der Rollersatzmasse:
http://www.physikerboard.de/ptopic,25654.html#25654

Verwendest Du diese, so kannst Du rechnen als wäre der Zylinder ein Punkt. Für diesen brauchst du dann nur irgendeine Koordinate zu finden (ich würde x verwenden) und L=T-V bestimmen.

V ist trivial, da man aus x leicht die Höhe ausrechnet, für T müsstest du

bestimmen, was aber nicht schwer fallen sollte.

Hinweis dafür: bedenke dass ein Streckenelement ds entlang der Bahn y = y(x)

ist.

Frage an @as_string: Stimmt das, oder hab ich mich wieder zu schnell verspekuliert ?
Big Laugh

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also, als "Wächter der Rollersatzmasse" muß ich leider sagen, dass ich noch zwei Schritte weiter vorne hänge:

Schmuse · Anmeldungsdatum: 10.01.2006 Beiträge: 16

Danke schon mal für eure Hilfe.
Was ist denn die Rollersatzmasse? Die Lagrange Funktion hätte ich auch mit L=T-V aber der Ansatz für T war mir nicht klar.

Liebe Grüße

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Also hier stehe ich echt auf dem Schlauch muß ich mal sagen! Ich kann mir das gar nicht richtig vorstellen, wie das funktioniert (zuerst dachte ich, dass es recht einfach ist, so mit harmonischem Potential und so...)
Da steht: Achse des Zylinders in z-Richtung. Ist das nicht nach oben dann??? In welche Richtung wirkt denn die Schwerkraft und wie ist denn der Paraboloid ausgerichtet?
Ich habe mal auf Wikipedia jetzt nach Paraboloid geschaut und ich hatte recht: In der einen ebene eine Parabel und in einer dazu senkrechten auch. Wobei die Parabeln eigentlich nicht unbedingt gleich sein müssen und sogar die eine nach unten und die andere nach oben geöffnet sein kann. Auch das bezeichnet man dann wohl noch als Paraboloid (also so ein Sattelpunkt dann in der Mitte).
Gibt es vielleicht bei der Aufgabe noch eine Zeichnung? Sonst weiß ich auch nicht weiter...

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Also ich bekomme geometrisch für die Höhe n des Zylindermittelpunkts

wobei ich

angenommen habe.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Achso, jetzt versteh ich deine probleme...

Ich habe eine simple "Halfpipe" (wie beim Skaten) angenommen. D.h. y-Richtung ist die Höhe, und der Stab rollt horizontal in der x-z Ebene darin. Die Pipe ist entlang der z-Richtung, und die Höhe variert nur mit x.

Ist das denn nicht so verstanden ?

Bei einem 2-dim Parabelkörper würde ich jetzt gar nicht anfangen - das wäre mir geometrisch zu aufwendig.
Andererseits wäre meine Variante zu simpel (eindimensional !) - da ich vom Urheber nichts einfaches mehr erwarte Big Laugh

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ja, so hatte ich Dich auch dann verstanden, aber ich vermute eigentlich fast, dass es anders ist... Erstens ist das von Dir ja kein Paraboloid. Zweitens ist der Spezialfall, dass zb am untersten Punkt der Krümmungsradius der Halfpipe kleiner ist als der des Zylinders da doch auch nicht dabei, oder?
Also, ich habe im Augenblick eine Vorstellung im Kopf, die so kompliziert ist, dass ich mich nicht wage, das hier zu schreiben. Außerdem ist die sicher falsch, weil bei mir die Achse des Zylinders nicht immer in eine Richtung zeigen würde...
Aber schnudl, eigentlich hatte ich nicht Dich mit der Zeichnung gemeint... trotzdem Danke! Big Laugh

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Also ich denke es ist mit der Halfpipe gemeint (sorry das ich das schon wieder doppelt geschrieben habe - hab die Änderung von @as_string nicht bemerkt).

Warum ? Weil die Lagrangefunktion sonst 2 Freiheitsgrade hätte, hier ist aber nur die Abhängigkeit von X (x-Koordinate des Berührpunkts) gefragt.

Kann mich aber in der Interpretation irren ... wäre ja heute nicht das erste mal smile

Wäre es wirklich mit einer Salatschüssel gemeint könnte es ziemlich kompliziert werden. Ich habe gerade mal einen Bleistift in eine solche reingehalten und überlegt => grausam !

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

LOL!!! Viel Spaß dabei! Hast Du Dir auch verdient!

Gruß
Marco

Schmuse · Anmeldungsdatum: 10.01.2006 Beiträge: 16

hab mir auch schon viele Gedanken über diese Aufgabe gemacht, doch leider selbst nicht viel weitergekommen. Ich denke, dass mit dem Paraboloid eine Parabelform gemeint ist. Leider habe ich keine Zeichnung zu dieser Aufgabe. Ich habe auch schon überall gesucht,um einen Ansatz oder eine Zeichnung zu finden, doch leider habe ich in allen Büchern oder Internet nichts ähnliches zu dieser Aufgabe gefunden.
Trotzdem vielen Danke für die Mühe, ich werde mich mal weiter auf die Suche machen.

Schmuse · Anmeldungsdatum: 10.01.2006 Beiträge: 16

Ich komme immer noch nicht weiter.Bin nur so weit, dass ich irgendeine Rotationsenergie beachten muss, doch leider fehlt mir immer noch der genaue Term für T.Vielleicht kann mir jemand von euch ja weiterhelfen.
Danke

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Bevor nicht 100% Klarheit darüber besteht, wie die Aufgabe nun gemeint ist hat dies wenig Sinn.

Oder ist es mittlerweile klar ?

Schmuse · Anmeldungsdatum: 10.01.2006 Beiträge: 16

Habe nach einer Nachtschicht mit einem Bekannten das Problem gelöst, bzw. muss mich selbst erst noch durchblicken. trotzdem danke