gekoppelte schwingung

schawing · Anmeldungsdatum: 13.01.2006 Beiträge: 3

Habe folgende Aufgabe:
Zwei Scheiben mit unterschiedlicher Masse aber gleichen Durchmesser führen reine Rollbewegung aus und sind durch eine Feder miteinander gekoppelt (die Zentren). Zur Zeit t=0 wird der Scheibe 2 die Anfangsgeschwindigkeit v0 erteilt.
Gegeben: r, J1,m1, J2, m2, r, c, v0
Gesucht : Bewegungsgleichungen, Eigenfrequenzen, Translationsbewegungen der Massen

mein Vorgehen: Auslenken, Freischneiden, Differentialgleichungen unsicher hinschreiben...merken das beide miteinder gekoppelt sind...Krise kriegen Klo

...

Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Wie genau sind die denn gekoppelt mit der Feder? Heißt das, dass nur eine Kraft vom Mittelpunkt der einen Scheibe auf den Mittelpunkt der anderen übertragen wird, oder auch ein Drehmoment?

Gruß
Marco

PS: Die Aufgabe ist wirklich nicht so ganz einfach. Ist das eine Uni Aufgabe? Welches Semester? Theoretische Physik?

schawing · Anmeldungsdatum: 13.01.2006 Beiträge: 3

Ja...die Kopplung besteht nur in der Kraftübertragung der Feder zwischen den beiden Mittelpunkten, also keine Drehmomentübertragung...

P.S.: Aufgabe von TU...Physik für Ingenieure

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

rollen die scheiben hintereinander oder nebeneinander ?
kann es mir nicht vorstellen...

Unter feder meinst eine Spiralfelder oder sowas ?

schawing · Anmeldungsdatum: 13.01.2006 Beiträge: 3

hintereinander...also ungefähr so:

O-O

wobei - irgendeine feder darstellt, wahrscheinlich eine spiralfeder

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, ich denke die Aufgabe habe ich jetzt verstanden. Allerdings bin ich etwas knapp mit der Zeit gerade, weshalb ich das jetzt nicht wirklich zu Ende überlegen kann.
Was ich mir bis jetzt überlegt habe:
Eigentlich ist das das selbe, wie ohne Rotation, nur dass die Trägheit der Körper größer ist. Man nimmt dann ganz gerne einfach eine andere Masse an als die wirkliche (sogen. Rollersatzmasse wohl) und hat dann

und kann dann diese DGs aufstellen:

und entsprechend umgekehrt.
Vielleicht kann man sich auch in eine Art Schwerpunktsystem setzen und das ganze wird dann einfacher? Mathematisch wäre das dann wie zwei Massen, die gekoppelt gegeneinander schwingen, so dass dann jede einzelne Masse eine harmonische Schwingung um den Mittelpunkt macht...

Für was genaueres muß ich mir auch erstmal längere Gedanken machen... tut mir leid. Vielleicht komme ich später noch dazu!

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Man kann ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen und wie von @as_string bereits "stark vermutet" das Schwerpunktsystem betrachten, welches den Schwerpunkt der beiden Massen im Nullpunkt hat. Der Schwerpunkt selbst bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit, da von aussen keine Gesamtkräfte auf das System einwirken.

Im Schwerpunktsystem gilt:

Eingesetzt in:

liefert dies:

Das ist eine Schwingungsgleichung für die Rolle1, welche gelöst werden kann. Die Bewegung der Rolle2 muss dann entsprechend der Schwerpunktsgleichung spiegelbildlich, aber skaliert mit dem Massenverhätnis m2/m1 erfolgen.

Die beiden Differentialgleichungen sind also eigentlich gar nicht gekoppelt ! Die Lösung ist dann:

und entsprechend skaliert für die andere Rolle.

Die gemeinsame Phase und A sind natürlich noch nicht bestimmt.

Aus der Anfangsbedingung ergibt sich die Schwerpunktsgeschwindigkeit:

Zum Zeitpunkt 0 (Abstand der Walzen sei gegeben) sieht die Lage im Schwerpunktsystem dann so aus:

Masse 1 hat Geschwindigkeit (Vorzeichen ??)

und (obwohl man das dann nicht braucht, da im Schwerpunktsystem redundant)

Daraus ergeben sich auch eindeutige Werte für die Schwingungsphase.

Was ich nicht verstanden habe, ist wie man der ersten Masse eine Anfangsgeschwindigkeit versetzen kann ohne die zweite zu beeinflussen. Das müsste dann sehr schnell ablaufen, so dass innerhalb der Beschleunigungszeit die Feder als "weich" angenommen werden kann. Ich hoffe es ist so gemeint, da man ansonsten das System nicht kräftefrei betrachten darf und alles bisher hier geschriebene somit für die Katz wäre...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

@schnudl: Sind Deine m eigentlich dann wirklich die Masse oder diese "Roll-Trägheitsmasse"? So weit ich mir das überlegt hatte, muß man eigentlich einfach für beide Körper nur diese Superspezialmasse nehmen und kann dann damit genau so rechnen, wie wenn man diese Massen und ganz normale Translation hat, oder? Oder habe ich da jetzt einen gewaltigen Denkfehler?
Ich frage nur, weil Du einmal m* geschrieben hast und dann immer nur m.

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Für die Schwerpunktsbedingung sind die echten Massen zuständig

für die Diffgleichung aber die Rollersatzmassen (würde daher sagen Du hast Recht !). Daher verwende ich beide Massen.

Oder mach ich da was falsch ?

Für den Schwerpunkt sind innere Rotationen doch unerheblich - oder ?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ah, ja, danke! War gestern wirklich nicht ganz fit!
Also man nochmal genau überlegen:
1. Schritt: Ich setze mich in den Schwerpunkt. Dort ist die Bewegung so wie von zwei nicht rotierenden Massen, nur eben, dass die Masse eben die Rollersatzmasse ist. So weit klar!
2. Schritt: Wie sieht diese Bewegung in meinem Laborsystem aus?
Also: Wenn keine Rotation da ist, ist es klar, genau so wie schnudl sagt, keine Frage!
Für den "normalen" Schwerpunkt ist natürlich die Rotation auch unerheblich, weil ich ja nur ein Integral über die Massen und Vektor x habe, das ist auch klar.
Aber: Woher kommt das mit dem Schwerpunkt überhaupt? Eigentlich ja von der Impulserhaltung und das Schwerpunktsystem ist jetzt einfach das, wo der Gesamtimpuls = 0 ist. In diesem Bsp. muß aber der Impuls der beiden Scheiben zusammen gar nicht erhalten sein, weil sie ja auf einer Unterlage sind, die Impuls aufnehmen kann...
Angenommen: Die Scheiben haben gleich Massen, aber die Scheibe mit der Anfangsgeschwindigkeit hat ein viel größeres Trägheitsmoment als die andere, dann wäre der Schwerpunkt zwar immer genau in der Mitte der Scheiben, aber trotzdem würde die Scheibe mit dem riesigen Trägheitsmoment fast ungestört ihren Weg fortsetzen, weil sie durch die andere gar nicht groß beeindruckt wird. Die hat ja auch keine so großse Trägheit. Das hätte dann zur Folge, dass der Schwerpunkt selber immer um die S. mit großem J herumschwingen würde!
Stimmt es dann aber, wenn man komplett die Rollersatzmassen nimmt und so einen neuen "Rollschwerpunkt" definiert? Meines Erachtens schon, aber sicher bin ich mir da auch nicht mehr wirklich.
Das war zumindest mein erster Gedanke bei meinem ersten Post. Deshalb hatte ich auch "eine Art Schwerpunktsystem" geschrieben. Aber stimmt das wirklich? Oder doch das von schnudl?
Jetzt weiß ich gar nicht mehr Bescheid...

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich bin gestern schon mit so einem befremdenden Gefühl ins Bett gegangen...Irgendwie muss für den Rollvorgang Reibung vorhanden sein, diese wird aber wiederum in keiner Weise berücksichtigt... Wäre sie Null, so könnte es mit dem Rollen aber auch nicht klappen. Daher hab ich irgendwo noch einen "Patschen" im Gedankengang.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Eigentlich stehts ja eh' schon da:

Wenn M die Rollmassen bedeuten und man den Rollschwerpunkt definiert als

Dann folgt

und weiter

Wie gesagt, das folgt aus:

Daher bewegt sich der Rollschwerpunkt gleichförmig mit

und dieser entspricht in allen hier relevanten Belangen dem "normalen" Schwerpunkt bei Massepunkten.

Danke für den Tip @as_string, ich hab jetzt wieder was dazugelernt !
Wink

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Wahrscheinlich würde die Schiene dann auch sinusförmig hin und her schwingen.
Ist das jetzt eigentlich richtig, dass man den Pseudo-Roll-Schwerpunkt mit den m* bestimmen kann und damit dann ganz normal rechnen, wie ohne Rotation?
Ich hatte mir ganz am Anfang mal überlegt: Man unterscheidet ja (klassisch, also ohne ART) nach "Schweremasse" und "Trägemasse". Da in der Aufgabe die Schwerkraft ja keine Rolle spielt (außer für die Kopplung an die Schiene natürlich, aber die nehmen wir ja einfach an), muß man eigentlich nur die Trägemasse betrachten, die aber durch die "Rotationsträgheit" vergrößert wird. Wenn man also sich zwei gekoppelte Körper ohne Rotation anschaut und deren Masse in der Rechnung einfach durch die Rollersatzmasse ersetzt, dann sollte das dann auch die Lösung unserer Aufgabe sein.

Ist die Aufgabe dann eigentlich damit jetzt gelöst? Oder ist immer noch ein Denkfehler drin? Rotationen führen doch recht schnell zu Schwindel!!!

Gruß
Marco

Edit: Ah, hab' Deinen Post noch nicht gesehen gehabt... Ok, dann ist wieder alles so wie's sein soll!
Immer wieder gerne schnudl! Prost