Krümmung des Raumes - Seite 2

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

Licht wird abgelenkt und Massen können der Bahn nicht kräftefrei folgen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Ich würde eine andere Definition vorschlagen:

Man nimmt zunächst eine lichtartige Geodäte; diese projiziert man in den 3-dim. Raum; im Falle der Minkowski-Geometrie erhält man eine Gerade im Raum (d.h. konkret die Kurve, der man beim Landen folgt).

Nun kann man dies auf eine gekrümmte Raumzeit übertragen: man führt genau die selbe Konstruktion wieder für eine lichtartige Geodäte durch.

Warum sollte man eine raumartige Kurve benutzen?

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

Stimmt, so hatte ich es fälschlich aufgefasst, danke.

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Waagerecht ist nicht gerade. Ist senkrecht gerade?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Das ist doch alles viel zu kompliziert gedacht.

Das landende (und dabei zunächst kräftefreie) Objekt beschreibt eine Geodäte

Die Landebahn ist dann gegeben durch

Die Darstellung als raumartige Kurve ist m.E. völlig irrelevant, weil ein Objekt konkret darauf landen soll, d.h. bei der Landung liegt tatsächlich eine zeitartige Geodäte vor, keine raumartige.

Wenn du sie als raumartig einführst, dann musst du auch noch einen Beobachter einführen, bzgl. dessen sie gleichzeitig ist; der ist nicht eindeutig; ich verstehe nicht, was du dadurch gewinnst.

Komplizierter wird es dann, wenn die Landung nicht mehr kräftefrei ist, die Landebahn aber trotzdem gerade sein soll. Du könntest z.B. eine reale Landebahn auf der Erde als "gerade" bezeichnen, wenn dazu eine zeitartige Geodäte existiert, für die die Kurve im 3-Raum mit konstanter Radialkoordinate verläuft. Diese Kurve entspricht genau einem kreisförmigen Orbit. Die Landung eines langsameren Objektes auf dieser Bahn ist natürlich nicht kräftefrei (wie wir beim Landen merken), aber die Bahn ist in einem wohldefinierten und messbaren (!) Sinne "gerade".

Auch da sehe ich nicht, wozu eine raumartige Geodäte gut sein soll.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Ich denke, wir beschreiben beide nicht das, was Tueffel meint, sondern wir versuchen, es zu interpretieren und zu präzisieren.

Tueffel schreibt von einer gerade Linie im Raum; d.h. sie soll ganz anschaulich "im Raum" gerade sein.

Du schreibst von einer Geodäten in einer raumartigen Hyperfläche; d.h. sie ist "gerade" in der Raumzeit, nicht jedoch zwingend im Raum; denn was das ist, hast du nicht definiert.

Ich schreibe von einer zeitartigen Geodäten; d.h. diese ist wieder nicht zwingend "gerade" im Raum.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

@Tueffel

kannst du bitte mal eine Skizze hochladen

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Aus rein praktischen Überlegungen wäre eine lichtartige Geodäte das geradeste, was ich mir vorstellen, vermessen und markieren kann.

Lichtstrahlen sowie der Mittelwert deren Sende- und Empfangszeitpunkt liefert für nicht-stationäre Raumzeiten offensichtlich Unsinn.

Ich gebe dir ja recht, dass Geodäten in raumartigen Untermannigfannigfaltigkeitem funktionieren.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

In der Tat: Es ist alles stationär, die Landebahn ist gerade und die Kugel rollt wie auf einer abschüssigen gekrümmten Bahn in die Mitte.

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

Da sie nicht in Richtung des Massenzentrums fallen kann, rollt sie auf einer schiefen Ebene.

Zur Konstruktion der geraden Bahn: Man orientiert sich an einem am Beginn der Bahn parallel zu dieser und dann tangential an der Erde vorbei geschickten Lichtstrahl. Die Bahn verläuft dann mit zunehmendem Abstand zu diesem oberhalb des Lichtstrahls, so, als gäbe es die Erde nicht.

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Ja, auf einer schiefen Ebene, die gekrümmt und nach oben geöffnet ist.

Günther · Anmeldungsdatum: 23.11.2010 Beiträge: 305

Wobei die schiefe Ebene keine Passante sein muß. Im einfachsten Fall ist sie eine Tangente, die mit dem Berührungsradius einen rechten Winkel bildet. Aber einerlei, das Rollen der Kugel zeigt nicht mehr als ein Massezentrum an, wie der vom Baum fallende Apfel auch. Der Unterschied ist rein technisch.

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Ja, es ist so. Die Mitte der Landebahn ist "unten" und die Enden sind "oben".

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Trotzdem ist die Landebahn gerade.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Nanu? Ich meine, ich hätte signalisiert, dass ich es so unkompliziet sehe wie index rasor - es geht doch nur um die Landebahn in der Nähe der Erde wo sowieso alles stationär ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Ja, klar. Ich bin nur nach wie vor der Meinung, dass in der ART diese unterschiedlichen Definitionen sauber getrennt werden müssen, da sie ganz unterschiedliche geometrische Objekte beschreiben. Und ich bin einfach nicht damit einverstanden, dass raumartige Geodäten, so wie index_razor sie vorschlägt, hier sinnvoll sind.

Ich versuch's nochmal:
1) "Gerade" in der ART bedeutet, dass eine Geodäte vorliegt.
2) "Landebahn" bedeutet, dass ein Objekt sich entlang dieser Gerade bewegen soll

(1) ist die Verallgemeinerung der herkömmlichen Begriffe "möglichst gerade" und "möglichst kurz"; beide führen i.A. nicht zum selben geometrischen Objekt, d.h. die kürzeste sowie die geradeste Verbindung zweier Punkte müssen nicht übereinstimmen; in der Euklidschen sowie der in der ART verwendeten Riemannschen Geometrie stimmen sie aber überein.

In der ART bewegen sich Objekte frei fallend = kräftefrei entlang von zeitartigen oder lichtartigen Geodäten. Dabei hängt die Geodäte anders als im flachen, euklidschen Raum auch von der Geschwindigkeit des Objektes ab, d.h. die Bahn, die für ein schnelles Objekt eine Geodäte ist, ist für ein langsameres Objekt keine Geodäte (die reale Landebahn für ein Flugzeug beschreibt keine Geodäte in der RZ, dann das Flugzeug bewegt sich nicht kräftefrei; es würde ohne den Boden ja nach unten in die Erde hineinfallen; eine Satellitenbahn ist dagegen für den auf ihr entlang bewegten Satelliten tatsächlich eine Geodäte)

(1) muss man präzisieren; eine Geodäte kann zeitartig, lichtartig oder raumartig sein:
1a) Entlang einer zeitartigen Geodäten kann sich ein massebehaftetes Objekt tatsächlich real bewegen (s.o. der Satellit).
1b) Entlang einer lichtartigen Geodäten gilt das selbe, jedoch für masselose Objekte, also Lichtstrahlen (siehe z.B. Laservermessung).
1c) Entlang raumartiger Geodäten kann sich kein Objekt bewegen; dies würde Überlichtgeschwindigkeit bedeuten, und aufgrund von (2) halte ich diese hier für irrelevant.

Die reale Landebahn eines Flugzeuges wird m.E. als lichtartige Geodäte konstruiert, z.B. tatsächlich mittels Lasermessung während des Baus. Wie gesagt, ein Lichtstrahl bewegt sich kräftefrei, das landende Flugzeug nicht (theoretisch kann sich kein massebehafteter Körper überhaupt entlang einer lichtartigen Geodäten bewegen, denn das erfordert ja v = c).

Wegen (2) ist die raumartige Geodäte irrelevant; sie entspricht einer theoretisch gedachten Linie der Gleichzeitigkeit, keiner real möglichen Bewegung. Ein stationärer Beobachter am Boden kann sie natürlich definieren, aber kein Objekt kann ihr folgen.

3) Bisher haben wir von Geodäten in der Raumzeit gesprochen. Aber evtl. möchtest du Geodäten, also Geraden im Raum diskutieren. Dies führt zu einer neuen Definition, nämlich zu einer raumartigen, 3-dim. Untermannigfaltigkeit der 4-dim. Raumzeit sowie zu einer Linie, die bzgl. der 3-dim. Geometrie definiert ist. Hier sehe ich zwei verschiedene Methoden, diese zu definieren, aber sehe nicht, dass diese i.A. übereinstimmen:
3a) Man definiert eine Geodäte in der 4-dim. RZ und"projiziert" diese in den Raum; man betrachtet im Raum sozusagen den "Schatten, den die Geodäte in den Raum wirft".
3b) Man konstruiert direkt eine Geodäte bzgl. des Raumes

(3a) entspricht genau dem Fall, dass z.B. ein Satellit entlang seiner Bahn eine farbige Linie in den Weltraum zeichnet; die Linie wäre der Schatten seiner Geodäte in der RZ. Wichtig: das, was in der RZ "gerade ist", erscheint in der Projektion gekrümmt; es liegt eine Ellipse im Raum vor! Auch die Projektion eines Lichtstrahls ist gekrümmt, jedoch im kleinen Maßstab praktisch nicht sichtbar (jedoch vermessen in der Krümmung von Lichtstrahlen nahe der Sonne)
3b) ist wohl das, was du dir als "gerade Landebahn" vorstellst, jetzt in einem planetaren Maßstab (eine "Gerade, die nicht der Erdkrümmung folgt")

Offensichtlich sind (3a) und (3b) verschiedene Konstrukte. Ich denke, dass die Projektion einer lichtartigen Geodäten dem Fall (3b) in näherungsweise flachen Raumzeiten sehr nahe kommt, i.A. jedoch nicht identisch ist (siehe Lichtablenkung, gemessen für die Sonne). Bei zeitartigen Geodäten ist die Abweichung rein anschaulich um so größer, je langsamer sich das Objekt bewegt.

Anschaulich führen alle o.g. Definitionen rein praktisch zur selben Landebahn. Rein theoretisch handelt es sich um unterschiedliche Konzepte und Objekte. Im kleinen Maßstab auf der Erde wirst du keine Abweichungen feststellen. In großen (kosmologischen) Maßstäben, in starken Gravitationsfeldern (schwarze Löcher) oder gar in nicht-stationären Raumzeiten sind Unterschiede wesentlich.

Wenn du also eine Landebahn bauen willst, kannst du diese Diskussion vergessen, wenn du etwas über die ART lernen willst, musst du sie führen.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Mein Einwand ist folgender:

A) Tueffel meint Geraden im Raum, also wohl Geodäten bzgl. der 3-Metrik; das wäre z.B. eine gedachte gerade Landebahn aus Beton als etliche 1000 Kilometer lange Tangente an die Erdoberfläche (die induzierte Metrik sollte winzige Abweichungen verursachen)
B) Eine reale Landebahn muss beim Landen durch eine zeit- oder lichtartige Weltlinie (i.A. ist dies keine Geodäte) durchlaufen werden können; dies trifft auf (A) in dem Sinn zu, dass es sich um eine Projektion der Geodäte in den 3-Raum handelt; da die RZ statisch ist (und ein zeitartiger Killingvektor existiert), ist diese Projektion ebenfalls zeitunabhängig, d.h. Flugzeuge können zu unterschiedliche Zeiten gleich gut auf der selben Landebahn landen
C) Diese reale Landebahn aus (A) ist näherungsweise eine zeitinvariante Projektion einer lichtartigen Geodäten sowie zeitartiger Weltlinien aus (B)
D) Beliebige zeitartige Geodäten sind i.A. ungeeignet: langsame Satelliten bewegen sich auf engen Ellipsenbahnen im Raum, nicht auf Geraden im Raum; die Näherung wird aber umso besser, je schneller sich der Satellit bewegt (das ist anschaulich klar); deswegen schlage ich Projektionen von lichtartigen Geodäten als Konstruktionsprinzip vor (das lässt sich mittels Laser in statischen Raumzeiten praktisch durchführen
E) Ich kann nicht nachvollziehen, wie dies allgemein mittels raumartiger Geodäten besser funktionieren soll:
ja, die Projektion der lichtartigen Geodäten in den 3-Raum liefert eine raumartige Linie
nein, diese Linie ist i.A. keine Geodäte im 3-Raum, genauso wie die in (D) genannte Projektion der zeitartigen Geodäten keine Geodäte m 3-Raum liefert

Wir haben also Konstruktionsvorschriften
Tueffel: "Geodäte bzgl. induzierter 3-Metrik"
TomS: "Projektion einer lichtartige Geodäten in den 3-Raum"
index_razor: "Raumartige Geodäte"

Ich habe argumentiert, dass meine Konstruktion praktisch durchführbar ist und zumindest näherungsweise zu Tueffels Idee passt. Ich habe argumentiert, dass zeitartige Geodäten i.A. nicht zu Tueffels Idee passen, und ich behaupte analog, dass deine Idee i.A. nicht passt (natürlich im Grenzfall fast lichtartiger Geodäten schon)

Wenn du also eine raumartige Geodäte vorschlägst, dann musst du sagen welche, und wie du diese praktisch konstruierst (unter nicht-rel. Bedingungen weiß ich das, da schau' ich mir an, wie eine Straßenbaustelle funktioniert).

Ich denke, es läuft auch bei dir letztlich auf eine (näherungsweise) lichtartige Geodäte raus.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ich glaube du möchtest einfach über etwas anderes diskutieren, als die Voraussetzungen des Gedankenexperiments. Ich hatte lediglich folgende Aussage kritisiert,

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Sag mal TomS, worüber redest du hier eigentlich? Natürlich kann man so keine Landebahn bauen, wie in dem Gedankenexperiment. Sie funktioniert nicht. Der Konstrukteur hat Mist gebaut und einfach gerade mit waagerecht verwechselt. Und nun vertragt euch mal wieder.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Tueffel · Anmeldungsdatum: 26.12.2014 Beiträge: 143

Also gut, noch eine Gedankenexperiment zum Gedankenexperiment.
Der Konstrukteur baut seine Landebahn zunächst über die gesamte Länge senkrecht stehend. Sie ist biegesteif. Dann klappt er sie um 90° um und verschiebt sie soweit bis die Mitte der Bahn der Erdoberfläche (Kugelgestalt vorausgesetzt) am nächsten ist. Dann kontrolliert er noch einmal (ist für "gerade" eigentlich nicht nötig; aber wegen der Symmetrie) ob sie in der Mitte eine rechten Winkel zur Senkrechten bildet. Nun hat er eine Landebahn die gerade ist; aber nicht richtig funktioniert, weil Landebahnen besser waagerecht sein sollten, also der Erdkrümmung folgend. Ob nun so gerade oder so gerade, wenn die Landebahn nicht der Krümmung der Erdoberfläche folgt rollt die Kugel, so oder so.