Trajektorie von Masse auf Kurve y(x)

Physiculus · Gast

Hallo,
Ich habe versucht mir die Trajektorie "(x(t), y(t))" die eine Masse auf einer Kurve, y(x), im Gravitationspotential (U=mgy) beschreiben würde, zu berechnen.
Ich habs testweise mit y=1/x, oder auch y=x^2 versucht, aber bin nicht weit gekommen...

Mit Energieerhaltung, T+U=0, erhalte ich wenigstens etwas, das wie eine lösbare Dgl aussieht.
Aber mit Lagrange II, L=T-U etc, kommt eine andere Dgl dabei heraus, die nicht schön aussieht..

Hat jemand hier zufällig eine Lösung für die gesuchte Trajektorie einer Kurve?! Dann könnte ich weinigstens mal sehen, ob die Dgl stimmt..
Oder irgendeine andere für eine bestimmte Kurve??

Oder gibts irgendwelche Gründe, warum das alles so nicht funktioniert??

Gruß
Physiculus

asdads · Gast

Physiculus · Gast

Hallo,
also zur Funktion y=x^2 hätte ich als L im Angebot:

Und nu?!

asdadasds · Gast

Die Gleichung stimmt schon und ist vermutlich analytisch nicht lösbar. Du kannst jetzt eine Näherung machen und sagen, dass für kleine Auslenkungen die Terme mit x in 3. Potenz klein sind und daher vernachlässigt sein können.
Damit erhälst du dann:

Das ist leicht lösbar, eventuell kannst du es mit einer numerischen Lösung vergleichen.

Physiculus · Gast

...PS: Ich meine natürlich nicht "als L", sondern "als Dg-L"... Augenzwinkern

Ja gut, Näherungen snd immerhin besser als nichts. Aber hast du dir mal die Dgl, die man aus der Energie-Erhaltung erhält, angeschaut?

Ich hätte da sowas wie:

Und ich habe noch nicht herausgefunden, ob die Dgln äquivalent sind..

Jetzt habe ich es schon mit so einfachen Funktionen versucht, in der Hoffnung, dass man die Dgl dann auch lösen kann. Kann doch nicht sein, dass man bei sowas wie y=x^2 schon nicht mehr analytisch weiter kommt...
Hast du, oder natürlich sonst irgendwer hier, eventuell eine Idee mit welcher Funktion es geht? Außer einer linearen, das wäre dann doch zu einfach - Ich sag nur "schiefe Ebene"..