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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 20:05 Titel: Aufgabe: Potential diskutieren |
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Hallo,
vorweg: Ich bin absolut Ahnungslos was Physik angeht, von daher bitte ich um Nachsicht.
Ich soll zu folgendem Potential zu allen Energiewerten angeben, wann die Bewegung finit oder infinit ist:
=\frac{-V_0}{cosh(a*x)^2} )
Um das festzustellen muss man doch prüfen wann
V(x)>E
V(x)=E
V(x)<E
gilt? Sehe ich das richtig, oder ist da mehr zu machen? Falls ja, wie macht man das für E beliebig? Einfach nach x auflösen und alle Parameter beliebig lassen?
Weiter soll ich die Näherung kleiner Schwinungen in der Nähe des Punktes des stabilen Gleichgewichts formulieren. Was bedeutet das? Spontan fällt mir hier die Taylor-Reihe ein. Ist das hier gemeint? Und falls ja - bis zu welchen Glied muss man das entwickeln?
PS. Da es häufig gewünscht ist: Ja ich habe diese Frage auch auf einer anderen Seite gestellt, allerdings noch keine Antwort erhalten.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Okt 2014 20:22 Titel: |
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Als fauler Mensch würde ich mir vorm Rechnen erstmal Funktionsbilder angucken: Welche Rolle spielen a und Vo, wie sieht es mit x -> unendlich aus, wo sind Potentialmulden un so. :-)
PS Heißt es cosh ((ax)²) oder cosh² (ax)?
Zuletzt bearbeitet von franz am 26. Okt 2014 20:35, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 20:31 Titel: |
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Also die Kurve habe ich mir schon mal angeschaut. Es sieht aus wie eine an der x-Achse gespiegelte Glockenkurve. Im Unendlichen geht die Funktion gegen Null und Vorzeichenänderung der Steigung gibt es nur einmal, nämlich in Null 
Die Funktion an und für sich vom mathematischen Stichpunkt aus zu charakterisieren fällt mir nicht besonders schwer (studiere Mathematik) mein Problem ist vor allem das ich nicht weiß was die ganzen physikalischen Begriffe bedeuten. 
Und es heißt cosh^2(a*x) 
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Okt 2014 20:38 Titel: |
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Ins unreine: Mit E = E_kin + V >= 0 Fluchtbewegung möglich, gebundene (endliche) mit E < 0, harmonische Schwingung x -> 0, Frequenz über Taylor bis x² ... V(x) = k/2 * x² -> Freq. ~ wurzel(k/m) ... :-)
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 20:59 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Ins unreine: Mit E = E_kin + V >= 0 Fluchtbewegung möglich, gebundene (endliche) mit E < 0, harmonische Schwingung x -> 0, Frequenz über Taylor bis x² ... V(x) = k/2 * x² -> Freq. ~ wurzel(k/m) ... :-) |
Ahhhh. Ein Physiker wüsste jetzt sicherlich was los ist, ich verstehe nur Bahnhof
Was ist eine Fluchtbewegung? Ich kenne nur finite und infinite Bewegungen.
Diese soll ich finden. Wie muss ich vorgehen um diese zu finden?
Für Taylor habe ich folgendes gemacht:
\approx -V_0 +a^2*x^2*V_0 ) -> wie hast du hieraus die Frequenz bestimmt?
Ich bin mir sicher dass dies alles sehr grundlegende Dinge wären, aber ich kenne diese leider nicht
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2014 21:13 Titel: Re: Aufgabe: Potential diskutieren |
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| toxy hat Folgendes geschrieben: | | Ich soll zu folgendem Potential zu allen Energiewerten angeben ... Weiter soll ich die Näherung kleiner Schwinungen in der Nähe des Punktes des stabilen Gleichgewichts formulieren. |
Ich vermute, du sollst eine Bewegungsgleichung mit diesem Potential lösen.
Kannst du diese Gleichung hinschreiben? Kennst du die Lagrange-Formulierung für derartige Probleme? Kennst du den Energieerhaltungssatz? Und weißt du, wie man damit die Ordnung der DGL reduziert? Kannst du für das Potential das Minimum berechnen und dafür dann eine Taylorreihe bis zur quadratischen Ordnung aufstellen?
Das sollte alles ohne physikalische Kenntnisse funktionieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Okt 2014 21:18 Titel: |
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Entschuldige den schnoddrigen Ton,
Fluchtbewegung und infinit meinen sicher das gleiche, die Möglichkeit für x -> unendlich bei entsprechender Gesamtenergie.
| Zitat: | |
Die Bezeichnung V(x) legt nahe, daß es sich um die potentielle Energie handelt, abhängig von x.
Du kennst ja sicher noch die pot. Energie im Schwerefeld der Erdoberfläche V(h) = m g h (h nach oben). Hier wie dort erhält man die Kraft auf das Teil: F = - V'(h) = - m g = - Gewicht (nach unten, wie's sich gehört).
Also F = - dV(x) / dx = - 2 Vo a² x eine "rücktreibene" Kraft proportional der Entfernung vom Ursprung; eine klassische "Feder", die dann zu Schwingungen neigt. :-)
Jetzt kommt Mister Newton in's Spiel (ganz ohne Physik geht's nicht): Kraft F = Masse m * Beschleunigung a (a = d²x/dt²) ... d²x/dt² + 2Voa² * x = 0 ist die Differentialgleichung / Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen x(t) mit Lösungen der Art  = A \cos (\omega t + \varphi), \ \omega^2=2V_0a^2)
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 21:41 Titel: Re: Aufgabe: Potential diskutieren |
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| Zitat: | Kannst du diese Gleichung hinschreiben? Kennst du die Lagrange-Formulierung für derartige Probleme? Kennst du den Energieerhaltungssatz? Und weißt du, wie man damit die Ordnung der DGL reduziert? Kannst du für das Potential das Minimum berechnen und dafür dann eine Taylorreihe bis zur quadratischen Ordnung aufstellen?
undefined
Das sollte alles ohne physikalische Kenntnisse funktionieren. |
Also in der Bewegungsgleichung sollte das ganze folgendermaßen aussehen: (*)
*\sqrt{\frac{2}{m} } =\int_{x_0}^x \! \frac{1}{(\sqrt{E-\frac{V_0}{cosh^2(a*x')} })} \, d x')
Also so sollte es schon "reduziert" sein, also eine DGL 1. Ordnung.
Das Minimum liegt offenkundig bei 0. Die Taylor-Entwicklung bis Glied zwei in der Null sollte so aussehen:
| franz hat Folgendes geschrieben: | Entschuldige den schnoddrigen Ton,
Fluchtbewegung und infinit meinen sicher das gleiche, die Möglichkeit für x -> unendlich bei entsprechender Gesamtenergie.
| Zitat: | |
Die Bezeichnung V(x) legt nahe, daß es sich um die potentielle Energie handelt, abhängig von x.
Du kennst ja sicher noch die pot. Energie im Schwerefeld der Erdoberfläche V(h) = m g h (h nach oben). Hier wie dort erhält man die Kraft auf das Teil: F = - V'(h) = - m g = - Gewicht (nach unten, wie's sich gehört).
Also F = - dV(x) / dx = - 2 Vo a² x eine "rücktreibene" Kraft proportional der Entfernung vom Ursprung; eine klassische "Feder", die dann zu Schwingungen neigt. :-)
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Kein Thema, ich bin wohl auch ein Sonderfall. Leider kenne ich die pot. Energie des Schwerefelds der Erde nicht (mehr). Physik ist bei mir sehr lange her, aber es klingt so wie es hier steht natürlich schlüssig.
| Zitat: | | Jetzt kommt Mister Newton in's Spiel (ganz ohne Physik geht's nicht): Kraft F = Masse m * Beschleunigung a (a = d²x/dt²) ... d²x/dt² + 2Voa² * x = 0 ist die Differentialgleichung / Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen x(t) mit Lösungen der Art |
Ok was ich hier überhaupt gar nicht verstehen kann. Wieso sollte man hier mit solch einer Näherung weiterarbeiten, wenn die Ausgagangsfunktion (*) elementar integrierbar ist? (Denn das muss ich später in der Aufgabe noch tun)
Da würde ich jetzt doppelt arbeiten und im Endeffekt ein wages Zwischenergebnis haben?
Ah und was ich immernoch nicht verstehe ist wie man nun finite/infinite Bewegungen bzw. Fluchtpunkte diskutiert? Wie muss ich da mathematisch gesehen ansetzen bzw. wie kann ich mir vorstellen was das beduetet?
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Okt 2014 22:07 Titel: Re: Aufgabe: Potential diskutieren |
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Hallo toxy,
was die möglichen Schwingungen angeht, da sind mir die Pferde durchgegangen. Denn die Frage war ja nur finit / infinit, und da ist Deine Lösung x(t) wahrscheinlich am zweckmäßigsten: Welche x - Werte sind möglich, abhängig vom E?
Apropos: Was ist x überhaupt (physikalisch)?
mfG
Zuletzt bearbeitet von franz am 26. Okt 2014 22:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2014 22:13 Titel: |
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Deine Gleichung ist keine Bewegungsgleichung (DGL 2. Ordnung) sondern bereits die mittels des Energiesatzes reduzierte sowie integrierte (!) Form (einer DGL 1. Ordnung).
Die Taylorentwicklung ist für kleine Schwingungen sehr interessant, da sie eine näherungsweise Lösung von i.A. nicht integrierbaren Gleichungen in Form harmonischer Schwingungen erlaubt.
Ob dein o.g. Integral elementar lösbar ist, kann ich so auf Anhieb nicht sehen.
Wenn du das Potential V(x) sowie die erlaubten Energien E skizzierst, kannst du die Bedingungen für finite sowie infinite Bewegungen ablesen. Welche Energien E sind denn zulässig? Und welche beschreiben finite, welche infinite Bewegungen?
Hinweis: die erhaltene Energie lautet
)
Betrachtet man die Bahn x(t) für einen festen Wert von E, so ist E > V(x) für alle x.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Okt 2014 22:32, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Okt 2014 22:28 Titel: |
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gelöscht
Zuletzt bearbeitet von franz am 26. Okt 2014 22:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 22:29 Titel: Re: Aufgabe: Potential diskutieren |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Hallo toxy,
was die möglichen Schwingungen angeht, da sind mir die Pferde durchgegangen. Denn die Frage war ja nur finit / infinit, und da ist Deine Lösung x(t) wahrscheinlich am zweckmäßigsten: Welche x - Werte sind möglich, abhängig vom E?
Apropos: Was ist x überhaupt??
mfG |
Mit x meinst du die Lösung meiner Bewegungsgleichung? Falls ich mich nicht verrechnet habe:
*\sqrt{\frac{2}{m} } ) * \frac{1}{a} =x(t))
Wobei ich hier jetzt eine Konstante vernachlässigt habe, ist schon spät. Ich schreib es morgen noch mit der fehlenden Konstante.
Aber um zu entscheiden wann die Bewegung finit und wann infinit ist, ist das doch noch nicht notwendig, oder doch? (Dies war nämlich der erste Teil. die Lösung der BGL wurde erst in der zweiten Teilaufgabe gefordert)
Und wie kann man die Periode der Schwingung berechnen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 26. Okt 2014 22:38 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Deine Gleichung ist keine Bewegungsgleichung (DGL 2. Ordnung) sondern bereits die mittels des Energiesatzes reduzierte sowie integrierte (!) Form (einer DGL 1. Ordnung).
Die Taylorentwicklung ist für kleine Schwingungen sehr interessant, da sie eine näherungsweise Lösung von i.A. nicht integrierbaren Gleichungen in Form harmonischer Schwingungen erlaubt.
Ob dein o.g. Integral elementar lösbar ist, kann ich so auf Anhieb nicht sehen.
Wenn du das Potential V(x) sowie die erlaubten Energien E skizzierst, kannst du die Bedingungen für finite sowie infinite Bewegungen ablesen. Welche Energien E sind denn zulässig? Und welche beschreiben finite, welche infinite Bewegungen?
Hinweis: die erhaltene Energie lautet
Betrachtet man die Bahn x(t) für einen festen Wert von E, so ist E > V(x) für alle x. |
Ja, mit der von dir angegebenen Gleichung bin ich losgegangen, und auf die oben gepostete Gleichung gekommen.
Ist es zulässig finite/infinite Bewegungen so zu charakterisieren, also über das Bild? .. Was sind zulässige Energien. Ja das ist eine sehr gute Frage. Ich muss zugeben da bin ich absolut überfragt...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Okt 2014 08:14 Titel: |
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| toxy hat Folgendes geschrieben: | | Ist es zulässig finite/infinite Bewegungen so zu charakterisieren, also über das Bild? .. Was sind zulässige Energien. Ja das ist eine sehr gute Frage. Ich muss zugeben da bin ich absolut überfragt... |
Wir betrachten die (erhaltene) Gesamtenergie E = T + V. Die kinetische Energie T ist quadratisch in der Geschwindigkeit v, und somit ist E > V, mit Ausnahme der Punkte, an denen die Geschwindigkeit v verschwindet; das sind die sogenannten Umkehrpunkte.
Wählst du ein E, so sind nur Bereiche für x zulässig, für die E > V gilt. Umgekehrt darf nie gelten E < V. Die letzte Bedingung schließt alle Werte für E aus, für die E kleiner als das Minimum von V ist.
Betrachten wir nun im Folgenden Werte von E, die größer als das Minimum sind. Nun suchen wir eine Lösung für die Umkehrpunkte, d.h. wir untersuchen E = V(x). Die Lösungen dieser Gleichung sind gerade die Punkte, in denen T = 0 gelten muss.
Speziell in unserem Fall haben wir ein Minimum bei x=0 vorliegen sowie ein in x symmetrisches Potential V(x). D.h. wir finden entweder keinen oder zwei Umkehrpunkte. Wir finden keinen Umkehrpunkt für E > 0, denn da hat die Gleichung E = V(x) bzw. T = 0 keine Lösung; die Bewegung ist also infinit. Wir finden zwei Umkehrpunkte für E < 0, denn da hat die Gleichung E = V(x) zwei Lösungen x = -a und x = +a; die Bewegung ist also finite im entsprechenden x-Intervall [-a,+a].
Diese Betrachtung ist wichtig für dein o.g. Integral, denn da taucht genau diese Differenz E - V(x) unter der Wurzel auf. Da E - V(x) = T > 0, darf dieser Term nie kleiner Null werden (das gilt rein mathematisch und hat noch gar nichts mit der physikalischen Interpretation zu tun).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 27. Okt 2014 08:20 Titel: |
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[quote="TomS"] | toxy hat Folgendes geschrieben: |
Speziell in unserem Fall haben wir ein Minimum bei x=0 vorliegen sowie ein in x symmetrisches Potential V(x). D.h. wir finden entweder keinen oder zwei Umkehrpunkte. Wir finden keinen Umkehrpunkt für E > 0, denn da hat die Gleichung E = V(x) bzw. T = 0 keine Lösung; die Bewegung ist also infinit. Wir finden zwei Umkehrpunkte für E < 0, denn da hat die Gleichung E = V(x) zwei Lösungen x = -a und x = +a; die Bewegung ist also finite im entsprechenden x-Intervall [-a,+a].
Diese Betrachtung ist wichtig für dein o.g. Integral, denn da taucht genau diese Differenz E - V(x) unter der Wurzel auf. Da E - V(x) = T > 0, darf dieser Term nie kleiner Null werden (das gilt rein mathematisch und hat noch gar nichts mit der physikalischen Interpretation zu tun). |
Ok, das nur E-V(x) sinnvoll sein kann hätte man ahnen können (ich hätte dann an ein komplexes Integral gedacht).
Wie die Diskussion des Potentials funktioniert ist mir jetzt denke ich auch klar. Es geht nicht darum irgendwelche exakten Punkte zu finden, sondern lediglich um eine generelle Charakterisierung.
Das ist in diesem Fall wgn. der von dir genannten Symmetrie auch nicht soo schwer.
Ein Problem habe ich aber noch. Das Potential ist leider unglücklich festgelegt:
U(x)=-U_0 /(cosh...)
Das Aussehen der Kurve ist natürlich nun auch stark durch das Vorzeichen von U_0 bestimmt. Muss man beide Fälle größer und kleiner Null beachten? Oder kann man auch hier mit Symmetrie argumentieren?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Okt 2014 08:27 Titel: |
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Nun, im vorliegenden Fall mit negativem Vorzeichen liegt ein Minimum vor, d.h. es existieren finite und infinite Bahnen.
Für positiven Vorzeichen liegt ein Maximum vor, und es existieren offensichtlich keine finiten Bahnen. Stattdessen kommen wieder (beidseitig) infinite Bahnen vor, sowie halb-finite Bahnen mit einem Umkehrpunkt. Bildlich gesprochen rollt die Kugel aus dem Unendlichen kommend den Potentialwall hinauf, schafft es aber nicht bis obenhin, sondern rollt wieder zurück ins Unendliche.
Eine interessante Darstellung für diese Arten von Bewegung sind Orbits im Phasenraum, d.h. hier (x(t),p(t)) = (x(t),mv(t))
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Phase_portrait
_________________
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 27. Okt 2014 08:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nun, im vorliegenden Fall mit negativem Vorzeichen liegt ein Minimum vor, d.h. es existieren finite und infinite Bahnen.
Für positiven Vorzeichen liegt ein Maximum vor, und es existieren offensichtlich keine finiten Bahnen. Stattdessen kommen wieder (beidseitig) infinite Bahnen vor, sowie halb-finite Bahnen mit einem Umkehrpunkt. Bildlich gesprochen rollt die Kugel aus dem Unendlichen kommend den Potentialwall hinauf, schafft es aber nicht bis obenhin, sondern rollt wieder zurück ins Unendliche.
Eine interessante Darstellung für diese Arten von Bewegung sind Orbits im Phasenraum, d.h. hier (x(t),p(t)) = (x(t),mv(t))
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Phase_portrait |
Ok, also muss man auch den Fall U_0 > oder <0
Ich hatte die verwegene Hoffung diese wäre immer größer Null. Ok dann werde ich das auch mit diskutieren.
Was meinst du mit halbfiniten UND infiniten Bahnen? Es gibt doch für U_0<0
nur zwei mögliche Bahnen und beide nunja, würde ich als infinit Bezeichnen, oder als Halbfinit, da die Kugel zurückrollt, ja.
Ich habe mir mal so ein Phasenporträt angeschaut. (das einfache Pendel auf Wikipedia)
Wie kommen dabei mehrere Werte für dPhi/dt zustande? (für ein festes phi)
Wie kann man so ein Porträt interpretieren? Es repräsentiert ja lediglich den Impuls in einem bestimmten Punkt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Okt 2014 10:56 Titel: |
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| toxy hat Folgendes geschrieben: | Ok, also muss man auch den Fall U_0 > oder <0
Ich hatte die verwegene Hoffung diese wäre immer größer Null. Ok dann werde ich das auch mit diskutieren. |
Aus der Aufgabenstellung
| toxy hat Folgendes geschrieben: | | Weiter soll ich die Näherung kleiner Schwingungen in der Nähe des Punktes des stabilen Gleichgewichts formulieren |
würde ich mich trauen, schlusszufogern, dass nur "> 0" gefragt ist. Jedenfalls reicht die von mir gegebene Antwort letztlich auch aus.
| toxy hat Folgendes geschrieben: | Was meinst du mit halbfiniten UND infiniten Bahnen? Es gibt doch für U_0<0
nur zwei mögliche Bahnen und beide nunja, würde ich als infinit Bezeichnen, oder als Halbfinit, da die Kugel zurückrollt, ja. |
Nochmal:
Für V_0 > 0 ist V(x) < 0 und es liegt ein Minimum vor. Daher existieren finite Bahnen mit zwei Umkehrpunkten sowie beidseitig infinite Bahnen ohne Umkehrpunkte.
Für V_0 < 0 ist V(x) > 0 und es liegt ein Maximum vor. Daher existieren auschließlich halb-finite Bahnen mit genau einem Umkehrpunkt.
Hast du dir die beiden Fälle für V(x) sowie die graphischen Lösungen für V(x) = E mal mittels einer Skizze veranschaulicht?
| toxy hat Folgendes geschrieben: | Ich habe mir mal so ein Phasenporträt angeschaut. (das einfache Pendel auf Wikipedia)
Wie kommen dabei mehrere Werte für dPhi/dt zustande? (für ein festes phi)
Wie kann man so ein Porträt interpretieren? Es repräsentiert ja lediglich den Impuls in einem bestimmten Punkt. |
Wenn es dir nicht hilft sondenr nur verwirrt, dann lass' es erst mal weg. Für die gegebene Aufgabe benötigst du das nicht. Nur so viel: es repräsentiert sicher nicht nur einen Punkt; es handelt sich um eine Kurve (x(t), p(t)) in Parameterdarstellung; die Zeit t spielt die Rolle eines Parameters.
Tipp:
1) skizziere die Kurve V(x) und bestimme die Umkehrpunkte für verschiedene Wert von E graphisch
2) Berechne die quadratische Näherung, d.h. entwickle V(x) bis zu zweiten Ordnung in x
3) skizziere wiederum die Kurve V(x) = a + bx² und bestimme die Umkehrpunkte für verschiedene Wert von E graphisch
4) Löse die aus (2) resultierende Bewegungsgleichung = die DGL zweiter Ordnung direkt und ohne Verwendung des Energiesatzes ("Lösen durch hinschauen")
5) Löse die aus (2) resultierende DGL unter Verwendung des Energiesatzes, in dem du wie oben die Ordnung der DGL reduzierst und mittels Trennung der Variablen integrierst
6) vergleiche (4) und (5)
7) Löse dann das Problem für das ursprüngliche Potential V(x); mach' dir wieder anhand einer Skizze klar, wo der qualitative Unterschied zwischen der quadratischen Näherung und dem usprünglichen Potential liegt.
Veranschauliche dir alle Aufgaben mittels Skizze, wobei du annimmst, dass eine Kugel in einem Gebirge der Form V(x) reibungsfrei rollt. Damit verstehst du leicht, was das alles physikalisch bedeutet.
Die Skizzen kannst du hier als Anhang hochladen.
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 27. Okt 2014 20:00 Titel: |
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So, im Anhang meine Gedanken zu deinen Punkten.
Was mir gar nicht klar war, wie kann man ab 4. durch "hinschauen" eine Lösung finden?
Zu 5) Habe ich nicht mehr weiter aufgelöst, da ich ohnehin keinen Vergleich anstellen kann solange mir 4) nicht klar ist.
Ich habe jeweils nur einen Energiewert genommen, da sich nichts ändert, egal welchen Wert man nimmt. (Außer bei dem unzulässigen Wert E<V(x))
Was der Spezialfall a=0 bedeutet ist mir nicht ganz klar? Ich vermute mal das der Massepunkt ruht. (also einfach auf einer unendlichen Ebene liegt)
Das ursprüngliche Integral löse ich später.
Eine weitere Frage hätte ich noch: Wie berechnet man die Periode der Schwingung?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 27. Okt 2014 23:14 Titel: |
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Du hast noch keine Werte für E eingezeichnet.
Den "Spezialfall a=0" verstehe ich nicht. a=0 bedeutet cosh(ax) = 1, also V(x) = const. Du hast aber den Spezialfall E=V(0) gezeichnet; ja, in diesem Fall ist x(t) = 0 = const.
Lösen wir mal die DGL zweite Ordnung für die quadratische Näherung:
Diese DGL hat zwei unabhängige Lösungen
 = A\,\cos(\omega t))
 = B\,\sin(\omega t))
wie man sofort durch zweifache Differentation verifiziert
 = -A\omega^2 \,\cos(\omega t) = -\omega^2\,x_1(t))
(x_2 analog)
Daraus folgt auch die Frequenz
Für kleine E nahe dem Minimum ist dies eine recht gute Näherung, d.h. auch im ursprünglichen Potential wirst du eine (näherungsweise) harmonische Schwingung haben. Für E nahe Null wird die Näherung zunehmen schlechter, für E > 0 ist sie ungültig.
Die Periode der Schwingung findest du auf zwei Weisen:
1) Wenn du eine elementare Lösung wir den sin oder cos kennst, kannst du sie (wie oben) einfach ablesen.
2) Ansonsten musst du dir überlegen, wie das Teilchen in der Potentialmulde schwingt. Eine volle Schwingung wäre, dass das Teilchen bei x=0 nach rechts bis zum rechten Umkehrpunkt rollt, anschließend zurück zum linken, und zuletzt wieder von von links zu x=0. Da das Potential um x=0 symmetrisch ist, genügt es, die Bewegung von x=0 bis zum ersten Umkehrpunkt zu betrachten, dafür das T-Integral zu berechnen (hast du oben schon erledigt) und die so erhaltene Zeit mit vier zu multipizieren.
Mal 'ne Frage: das ist die allererste Bewegungsgleichung die du integrierst, oder? Hattet ihr dazu kein Skript? Vorlesung? Buch?
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 28. Okt 2014 17:25 Titel: |
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Aaalso,
erstmal Danke für deine ganzen Tipps und Hinweise, ich denke und hoffe ich krige das ganze soweit hin.
Was meinst du genau mit T-Integral? Bzw. innerhalb welcher Grenzen muss ich es berechnen? Einfach "quasiunbestimmt" von x_0 nach x_1? (wegen der Periode)
Ach und du hast gesagt ich habe keine Werte für E eingezeichnet. Wie meinst du das? Ich denke doch allgemein E> und <0 genügt? Spezielle Werte anzutragen wäre doch utopisch, oder gibt es da einige "typische" Werte die man für gewöhnlich verwendet/verwenden muss?
Und ja das ist meine erste BGL. Wir haben das in der Vorlesung angesprochen, aber für Nichtphysiker war das (zumindest für mich) nicht sehr nachvollziehbar.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2014 17:55 Titel: |
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| toxy hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst du genau mit T-Integral? Bzw. innerhalb welcher Grenzen muss ich es berechnen? Einfach "quasiunbestimmt" von x_0 nach x_1? (wegen der Periode) |
Ich meine dein Integral, das du oben hingeschrieben hast:
Wenn du für x_0 = 0 und x_1 = "Umkehrpunkt" einsetzt, dann ist T gleich 1/4 der Periodendauer.
| toxy hat Folgendes geschrieben: | | Ach und du hast gesagt ich habe keine Werte für E eingezeichnet. Wie meinst du das? Ich denke doch allgemein E> und <0 genügt? Spezielle Werte anzutragen wäre doch utopisch, oder gibt es da einige "typische" Werte die man für gewöhnlich verwendet/verwenden muss? |
Mit zwei Werten für E meine ich die zwei Fälle
V(0) < E < 0 und
0 < E;
Im ersten Fall hast du Umkehrpunkte, im zweiten keinen
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321tox123
Anmeldungsdatum: 26.10.2014
Beiträge: 13
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| 321tox123 Verfasst am: 28. Okt 2014 18:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | toxy hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst du genau mit T-Integral? Bzw. innerhalb welcher Grenzen muss ich es berechnen? Einfach "quasiunbestimmt" von x_0 nach x_1? (wegen der Periode) |
Ich meine dein Integral, das du oben hingeschrieben hast:
Wenn du für x_0 = 0 und x_1 = "Umkehrpunkt" einsetzt, dann ist T gleich 1/4 der Periodendauer.
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Aber an den Umkehrpunkten x_0, x_1 gilt doch: U(x_0)=U(x1)=E
Dann steht aber im Zähler vom arctan Term der Stammfunktion eine Null (in meiner Lösung ist ein kleiner Fehler, aber es muss dort im Nenner wieder der Term E-U(x) auftauchen.
Dann wäre das ja ein uneigentliches Integral. Ist das so gedacht?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2014 20:21 Titel: |
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Im Punkt x_1 = "Umkehrpunkt" gilt E = V(x_1), das ist richtig.
Aber im Punkt x_0 = 0 ist E = T + V(0), und T ist hier maximal.
(schau' dir bitte deine eingezeichnete Linie für E an; und stell' dir eine rollende Kugel vor, die im Potentialminimum maximale Geschwindigkeit hat)
Und ja, der Nenner wird natürlich Null, denn es gilt ja
})
d.h. v(x) veschwindet am Umkehrpunkt. Und ja, die Geschwindigkeit v(x) folgt aus E - V(x).
Im vorliegenden Fall hat das Integral dennoch einen endlichen Wert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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