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Nachricht |
aurelia
Gast
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 aurelia Verfasst am: 04. Sep 2014 14:28 Titel: Radiuszunahme als Funktion der Zeit beim Ballonaufblasen |
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Meine Frage:
Wenn zu Beginn der Radius r_0 Beträgt und dann innerhalb der Zeit T auf den Radius 2*r_0 aufgeblasen wird, verstehe ich nicht genau, wie man auf die folgende Formel für die Funktion r(t) der Zunahme des Radius kommt:
r(t)= r_0 + (dr/dt)*t = r_0 + (r_0/T)*t.
Ich würde es gerne 'intuitiv' verstehen, was der Term (dr/dt)*t in der Formel bewirkt, weil ich selbst nicht darauf gekommen bin
Meine Ideen:
ich hatte folgenden Ansatz gemacht: r(t) = r_0 + r*t
Vielen Dank für die Hilfe |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7249
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| Steffen Bühler Verfasst am: 04. Sep 2014 14:48 Titel: Re: Radiuszunahme als Funktion der Zeit beim Aufblasen eines |
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| aurelia hat Folgendes geschrieben: | | Ich würde es gerne 'intuitiv' verstehen, was der Term (dr/dt)*t in der Formel bewirkt |
Das ist die "momentane Änderung des Radius", also sozusagen die "Aufblasgeschwindigkeit", die sich ja während des Aufblasens durchaus ändern kann.
Es ist ähnlich wie wenn Du mit dem Fahrrad s0=1km von daheim weg stehst und dann mit v=15km/h weiter wegfährst. Dann ist die entsprechende Formel s(t)=s0+v*t. Du musst also Geschwindigkeit mit Zeit multiplizieren und zum ursprünglichen Ort addieren, um den aktuellen Ort des Fahrrads zu erhalten.
Genauso multipliziert man hier die Aufblasgeschwindigkeit mit der Zeit und addiert dies zum Ursprungsradius, um den aktuellen Radius zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bekommen.
| aurelia hat Folgendes geschrieben: | | ich hatte folgenden Ansatz gemacht: r(t) = r_0 + r*t |
Da multiplizierst Du Radius mit Zeit, was von den Einheiten her keinen Sinn ergibt.
Viele Grüße
Steffen |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 04. Sep 2014 15:38 Titel: Re: Radiuszunahme als Funktion der Zeit beim Ballonaufblasen |
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| aurelia hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
r(t)= r_0 + (dr/dt)*t = r_0 + (r_0/T)*t.
Ich würde es gerne 'intuitiv' verstehen, was der Term (dr/dt)*t in der Formel bewirkt, weil ich selbst nicht darauf gekommen bin
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Diese Formulierung ist meines Erachtens unglücklich, weil sie suggeriert, dass vor der Zeit eine veränderliche Größe steht. Jedoch ist dr/dt = konstant.
Eine anschauliche Erklärung hat dir Steffen bereits geliefert. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7249
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| Steffen Bühler Verfasst am: 04. Sep 2014 15:53 Titel: Re: Radiuszunahme als Funktion der Zeit beim Ballonaufblasen |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Jedoch ist dr/dt = konstant. |
Nicht unbedingt, wie geschrieben. Es kann einem beim Aufblasen durchaus die Puste ausgehen, dann ist dr/dt am Anfang größer als am Ende. Mit dem Differentialquotienten ist der Aufblasvorgang erst einmal grundsätzlich und ganz allgemein beschrieben. Er umfasst damit alle Fälle, sogar wenn man zwischendurch wieder Luft raussaugt oder mal eine Minute nicht weiter aufbläst, weil man Kaffee trinken geht.
Erst die anschließende Vereinfachung mit r0/T zeigt, dass man all diese Sonderfälle zu ebendieser Durchschnittsgeschwindigkeit zusammenfasst und somit (aber erst als zweiten Schritt!) dr/dt=const. definiert.
Diese Vorgehensweise wird in der Physik (noch lieber bei uns Ingenieuren) gerne angewendet: erst einmal wird eine etwas kompliziertere Formel verwendet, die alle denkbaren Fälle erschlägt. Dann nimmt man das sogenannte Ockhamsche Rasiermesser und schneidet alles weg, was nicht wichtig ist (bzw. die Sache unnötig erschwert). So wurde das auch hier getan.
Viele Grüße
Steffen |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 04. Sep 2014 16:03 Titel: |
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Also allgemein wäre die Formel doch
 = \dot r (t))
In diesem konkreten Fall wurde geschrieben:
 = r_0 + \dot r (t) \cdot t)
Einmaliges Differenzieren liefert:
 = \ddot r (t) \cdot t + \dot r (t) \quad \Rightarrow \quad \ddot r (t) = 0)
Demnach ist die Geschwindigkeit konstant. Natürlich kann man zum Schluss mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit rechnen, aber dann erschließt sich mir der funktionale Zusammenhang nicht, weil sie lediglich für Anfangs- und Endpunkt gilt.
Beste Grüße
tino
edit:
Würde ein konstanter Volumenstrom die Situation nicht besser beschreiben? Das Modell sollte doch besser passen, als eine lineare Zunahme des Radius. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7249
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| Steffen Bühler Verfasst am: 04. Sep 2014 16:22 Titel: |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Demnach ist die Geschwindigkeit konstant. |
Hast recht. Es ist ja letztlich eine DGL. I stand corrected.
| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Würde ein konstanter Volumenstrom die Situation nicht besser beschreiben? |
Vielleicht ist das dann der nächste, schwierigere Teil der Aufgabe.
Viele Grüße
Steffen |
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aurelia
Gast
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| aurelia Verfasst am: 04. Sep 2014 17:44 Titel: |
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Vielen Dank für die Antworten. Ihr habt mich weiter gebracht. Ich liebe euch :-)
liebe Grüsse |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2014 08:38 Titel: |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Würde ein konstanter Volumenstrom die Situation nicht besser beschreiben? |
Bei gleichmäßigem Aufpusten ergibt sich eine abnehmende Radius"geschwindigkeit", meiner Rechnung nach
-V(r_0)}{T}=const\Rightarrow \dot r (t)=\frac{7r_0}{3T\cdot\left(\frac{7t}{T}+1\right)^{2/3}}\neq const ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2014 09:11 Titel: |
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Wie lautet denn die originale Aufgabe?
Bei beliebiger "radialer Geschwindigkeit"
liefert Integration
 = r_0 + \int_0^t d\tau \, \dot{r}(\tau))
Bei bekannter Geschwindigkeit kann man einsetzen und das Integral explizit berechnen.
Bei Kugelform
und konstantem Volumenzuwachs gilt
Das kann man wiederum direkt integrieren
Die Abhängigkeit für r(t) folgt durch elementare Umformung.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Sep 2014 14:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2014 09:24 Titel: |
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Ich denke, das Stichwort "Aufblasen" und die gegebene Zeit T zum Verdoppeln des Radius sprechen vorläufig (als erste Näherung gewissermaßen) für diesen Ansatz zu Ermittlung von  ; Trennung der Variablen r und t usw. |
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