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Nachricht |
Ikaruss
Gast
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 Ikaruss Verfasst am: 21. Jul 2014 12:24 Titel: Lagrange Funktion fuer zweidimensionale Schwingung (Viereck) |
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Meine Frage:
Hallo Community,
ich moechte die Lagrange Funktion und Bewegungsgleichung fuer die zweidimensionale Bewegung eines schwingenden Vierecks mit 4 Massen m auf den Ecken und jeweiliger Federkonstante k bestimmen. Nun habe ich bisher immer nur eindimensionale Schwingungen behandelt und frage mich gerade, wie ich am besten an das Problem rangehen kann.
Meine Ideen:
Ich habe mal etwas nachgeschaut und bin auf anisotrope Oszillatoren gestossen, bei denen jedoch immer die Masse m von jeder Seite ueber eine Feder verbunden ist. Hier ist jedoch ein geschlossenes Viereck mit jeweils nur zwei Federn verbunden.
Skizze:
m----m
|xxxx|
|xxxx|
m----m
-Masse m
-Federkonstante k
-x sind Platzhalter...
Ueber Tipps waere ich sehr erfreut, loesen moechte ich die Aufgabe aber selber :)
Gruesse,
Cama |
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alex2007
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76
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| alex2007 Verfasst am: 21. Jul 2014 14:47 Titel: |
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Welche 2 Dimensionen hat denn die Bewegung? Ansonsten eben wie sonst auch vorgehen, nur eben über Index i summieren, der dann eben zwei Werte (für jede Dimension einen) annehmen kann. Hast dann entsprechen 2 generalisierte Koordinaten und 2 zugehörige Geschwindigkeiten. |
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cama
Anmeldungsdatum: 21.07.2014
Beiträge: 5
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| cama Verfasst am: 21. Jul 2014 18:56 Titel: |
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Das sollten doch so aussehen:
1---2
|xxx|
3---4
Dann ist es moeglich fuer Teilchen 1 zu Teilchen 2 oder Teilchen 3 zu schwingen.
Bei einem Linearen Modell sagen wir mal mit 3 Teilchen ist das fuer mich sehr anschaulich.
1---2---3 (Massen m, 2m, m)
Koordinaten:
1 --> x1
2 --> x2
3 --> x3
Gleichgewichtsabstaende: b = x_02 - x_01 = x_03 - x_02
V = k/2 * (x_2 - x_1 - b)^2 + k/2 * (x_3 - x_2 - b)^2
Und Koordinaten relativ zu den Gleichgewichtsabstaenden:
q_i = x_i - x_0i
Ergibt sich fuer das Potential:
V = k/2 * (q_2 - q_1)^2 + k/2 * (q_3 - q_2)^2
Und die kin. Energie zu:
T = m/2 * (q(dot)_1^2 + q(dot)_2^2) + m * (q(dot)_3^2)
Leider komme ich bei Auslenkungen sowohl in x- als auch in y-Richtung gerade auf keinen gruenen Zweig...  |
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cama
Anmeldungsdatum: 21.07.2014
Beiträge: 5
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| cama Verfasst am: 22. Jul 2014 00:33 Titel: |
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Ich hab das jetzt mal soweit durchgerechnet, dabei generalisierte Koordinaten der Auslenkung um den Gleichgewichtszustand genommen. Ich weiss jedoch nicht, ob das alles so seine Richtigkeit hat.
mit
<br />
)
und
 \right)
<br />
)
Mit Euler-Lagrange komme ich dann auf:
<br />
<br />
\ddot \eta_2 + \frac{k}{m}\eta_2 = \frac{k}{m} \cdot (\eta_1 + \eta_3)
<br />
<br />
\ddot \eta_3 + \frac{k}{m}\eta_3 = \frac{k}{m} \cdot (\eta_2 + \eta_4)
<br />
<br />
\ddot \eta_4 + \frac{k}{m}\eta_4 = \frac{k}{m} \cdot (\eta_1 + \eta_3)
<br />
<br />
)
Sowie bei den Eigenfrequenzen:
mit
Aus der Sekulaergleichung erhalte ich die triviale Loesung
und
Ist das so ein richtiger Ansatz?
Eig. muesste ich zwei weitere Eigenschwingungen finden, nicht wahr?
Fuer Tipps waere ich sehr dankbar
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bern3457
Gast
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| bern3457 Verfasst am: 22. Jul 2014 06:10 Titel: |
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Nimm doch einfach mal als generalisierte Koordinate r. Wir haben eine Bewegung in der x-y-Ebene, also muss gelten:
Deine kinetische Energie eines jeden Massenpunktes i sieht dann so aus:
)
In Worten gesagt, bedeutet es, dass die kinetische Energie T_i eines Massenpunktes der m_i aus der Änderung seines Ortsvektors nach der Zeit hervorgeht. Da es sich um eine 2-d-Bewegung handelt, ergibt sich die Änderung aus der Änderung beider Koordinaten.
Um zur Lösung für die letztendliche Lagrangefunktion zukommen müsste man wohl noch überlegen, was mit dem jeweils am anderen Ende der Feder befindlichen Schwingpartner passiert, wenn sich der Massenpunkt entsprechend bewegt. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 22. Jul 2014 12:05 Titel: |
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cama, mit deiner Lösung bin ich nicht einverstanden.
Die Schwingung ist doch ein zweidimensionales Problem, du kannst nicht die eindimensionale Auslenkung als generalisierte Koordinate verwenden. Die kinetische Energie z.B. kann einen nicht verschwindenden Wert haben, wenn  ist.
Ist dieses Problem überhaupt analytisch lösbar? Ich meine, das Drei-Körper-Problem ist es nicht, wieso erwarten wir bei vier Körpern eine Lösung? Es wäre nicht mal einfach zu nähern, denn man muss ja beachten, dass die Federn eine Ruhelage haben (sonst wird das ganze einfach kollabieren). Je nach Lage der Auslenkung würde dann der quadratische oder der lineare Term des Potentials überwiegen.
Könnte mir vorstellen, ein lösbares Problem wäre das selbe mit Transversalschwingungen, eine Membran also. |
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karlkauz
Gast
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| karlkauz Verfasst am: 22. Jul 2014 12:16 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | cama, mit deiner Lösung bin ich nicht einverstanden.
Die Schwingung ist doch ein zweidimensionales Problem, du kannst nicht die eindimensionale Auslenkung als generalisierte Koordinate verwenden. Die kinetische Energie z.B. kann einen nicht verschwindenden Wert haben, wenn ist.
Ist dieses Problem überhaupt analytisch lösbar? Ich meine, das Drei-Körper-Problem ist es nicht, wieso erwarten wir bei vier Körpern eine Lösung? Es wäre nicht mal einfach zu nähern, denn man muss ja beachten, dass die Federn eine Ruhelage haben (sonst wird das ganze einfach kollabieren). Je nach Lage der Auslenkung würde dann der quadratische oder der lineare Term des Potentials überwiegen.
Könnte mir vorstellen, ein lösbares Problem wäre das selbe mit Transversalschwingungen, eine Membran also. |
Stimme ich absolut zu. Das Problem ist doch, dass sonst beim Federschwinger irgendeine feste Randbedingung herrscht, sprich eine Ende der Feder fest oder ähnliches ist. Du hättest so halt 8 Koordinaten, jeweils x und y pro Körper. Was vielleicht denkbar wäre, dass man sich das ganze als "Verschiebung eine Vierecks" vorstellt. Also als Randbedingung hat, dass sich die Abstände zwischen zwei miteinander direkt verbunden Punkt nicht ändern. Hat dan aber nichts mehr mit der eigentliche Aufgabe zu tun. Ne andere Idee, wäre wie von Jayk angedeutet nur eine Schwingung in x-Richtung. Und die Massen sind in y-Richtung über feste Stäbe mit einander verbunden. Dann hast du als RB einen festen y-Abstand zwischen gegenüberliegenden Massen. |
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cama
Anmeldungsdatum: 21.07.2014
Beiträge: 5
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| cama Verfasst am: 22. Jul 2014 12:22 Titel: |
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Hallo Jayk,
ich dachte ich haette die zweidimensionalitaet gerade ueber die Auslenkung der Gleichgewichtslagen abgehandelt? Dabei hatte ich mir gedacht, dass im Gleichgewicht alle Federn die gleiche Laenge b besitzten.
mit
ergaebe sich dann
 - (q_1 - q_{01}) = \eta_2 - \eta_1
<br />
)
 - (q_4 - q_{04}) = \eta_1 - \eta_4
<br />
)
Ich dachte das ergaebe die zweidimensionale Bewegung als eine Art Ueberlagerung, aber ich kann auch ganz daneben liegen, daher frage ich ja  .
Ich hoffe, dass dieses Problem loesbar ist, denn es handelt sich dabei um eine Aufgabe zur Klausurvorbereitung. |
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