Jayk
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 Jayk Verfasst am: 24. März 2014 19:29 Titel: |
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In welchem Zusammenhang wurde denn die Formel eingeführt? So, wie sie da steht, ist sie richtig für homogene Felder, also zum Beispiel für das elektrische Feld zwischen den beiden Platten eines Plattenkondensators.
Mal etwas Allgemeines zur Idee des elektrischen Potentials, also "wozu ist es gut?". Wir starten mal mit einer Analogie aus der Mechanik. Da gibt es einige Kräfte, die konservativ sind, zum Beispiel die Gravitationskraft oder auch die Coulomb-Kraft. Nehmen wir mal die Gravitation. Da ist es sinnvoll, eine potentielle Energie festzulegen, denn die Arbeit, die von der Gravitationskraft zwischen zwei Punkten verrichtet wird, ist unabhängig vom genauen Weg, der gegangen wird. In einer Dimension ist dann die potentielle Energie (für einen Punkt x0, der unwichtig ist, da er bloß eine additive Konstante festlegt, die bekanntlich beim Ableiten nichts verändert)  = - \int_{x_0}^x F_\text{grav}(x') \dd x') . Dann kannst du aber mit dem Hauptsatz der Analysis leicht nachrechnen, dass gilt:  = - \dd U(x) / \dd x) . In einer Dimension ist das immer möglich. Homogene Felder sind ja effektiv nulldimensional in dem Sinne, dass du null Ortskomponenten angeben musst, um die Kraft zu kennen. In drei Dimensionen ist das nicht immer möglich, aber für konservative Kräfte eben schon. Jetzt könnte man auch einfach die Masse herauskürzen und so ein Gravitationspotential definieren:  . Dann gilt nämlich für jedes Testteilchen  = - m \cdot \frac{\dd \Phi_\text{grav} (x)}{\dd x}) , wobei in das Gravitationspotential keine Informationen über das Testteilchen einfließen. Diese Idee ist genau dann sinnvoll (und auch nur dann richtig, so wie ich es hier beschrieben habe), wenn man den Einfluss des Testteilchens auf die Umgebung vernachlässigt. Also zum Beispiel, wenn du einen Fußball beschreiben willst, dann kannst du annehmen, dass sich die Erde nicht großartig bewegt durch seinen Einfluss. Dann kannst du noch einen Schritt weiter gehen und eine Gravitationsfeldstärke definieren  = - \dd \Phi_\text{grav} (x) / \dd x) , sodass  = m C (x)) an jeder Stelle für jedes Testteilchen gilt. Und zufälligerweise fällt die Gravitationsfeldstärke mit der Beschleunigung zusammen, was an der Äquivalenz von schwerer und träger Masse liegt.
Für das elektrische Feld geht man ganz analog vor. Du hast dann eben nicht  , sondern stattdessen das Kraftgesetz  q Q / r^2) . Die potentielle Energie wird ganz analog definiert, das elektrische Potential einfach als  . Dann gilt für die elektrische Feldstärke  . Und so weiter. Man kann dann automatisch für jedes Teilchen die Kraft bestimmen, wenn man nur seinen Ort kennt:  . Man könnte auch das Feld angeben, wenn man von dem Teilchen selbst nichts wissen willst. Der Vorteil am Potential liegt erstens darin, dass es ein Skalarfeld und nicht wie das elektrische Feld ein Vektorfeld ist und Skalare nettere Transformationseigenschaften als Vektoren haben. Zweitens liefert dir das Potential den physikalischen Hintergrund, mit der du sicher schon gerechnet hast: der Spannung. Die Spannung ist eine Eigenschaft von zwei Punkten. Sie ist definiert als Potentialdifferenz. Mit der Idee, dass jedem Ort ein Potential zugeordnet wird, ergibt sich dann zum Beispiel ganz automatisch der kirchhoffsche Maschensatz.
Das Kraftfeld ist übrigens genau dann konservativ, wenn die magnetische Flussdichte sich nicht zeitlich ändert. Ansonsten gilt das Gesagte nicht so einfach. Wir hatten hier kürzlich erst eine Diskussion über das Induktionsgesetz und die induzierte Spannung, die auf einmal wegabhängig ist. Das wird dann aber dadurch gerechtfertigt, dass man nur am Feld in einem Leiter interessiert ist, also an einem eindimensionalen Problem (für das man solche Überlegungen, wie gesagt, immer durchführen kann).
Nun zu dem Fall eines Kondensators: Lege einen beliebigen Punkt x0 fest. Dann soll gelten  / \dd x) . Doch E ist konstant, damit ist klar, dass Phi(x) eine lineare Funktion ist. Die Konstante kannst du frei wählen, sodass einfach  = - E x) eine Möglichkeit ist (mit demselben Recht könnte man wählen  = - E (x - x_0)) , das spielt keine Rolle). Das Vorzeichen - ist eine Konvention (die einfach daher stammt, dass man die potentielle Gravitationsenergie so definiert haben wollte, dass sie für größere Höhen größer ist, was gleichbedeutend damit ist, dass man die Gesamtenergie durch Addition von kinetischer und potentieller Energie erhält und nicht durch Subtraktion). Für schulische Zwecke ist es sicher ausreichend, auf das Vorzeichen zu verzichten, aber das positive Vorzeichen ist definitiv nicht Standard.
Übrigens: Würde man das vektoriell formulieren wollen, würde man ein Skalarprodukt verwenden:  = - \vec E \cdot \vec x) . Dann hat man auf jeden Fall nicht mehr freie Hand bezüglich des Vorzeichens. Ohne Vektoren ist das tatsächlich eher Nebensache.
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 24. März 2014 19:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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