Gravitative Zeitdilatation

Higgs · Gast

Meine Frage:
Es existiert doch eine Formel für die gravitative Zeitdilatation.
Auf dieser Seite gezeigt en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation#Outside_a_non-rotating_sphere

Wie lautet die Herleitung dieser Gleichung? Warum gilt sie nur für den Spezialfall, dass sich der Beobachter im "Unendlichen" befindet?

Meine Ideen:
??

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Ganz allgemein berechnest du die Eigenzeit eines beliebigen Beobachters wie folgt:

Dabei bedeutet g eine beliebige Raumzeit-Metrik und C eine beliebige Weltlinie, die ein Beobachter zurücklegt.

Als nächstes nutzt du aus, dass die Schwarzschildmetrik diagonal ist und dass x° = t gilt. Damit folgt

mit

Du siehst zwei Beiträge unter der Wurzel, einmal den rein gravitativen Effekt aus der 00-Komponente der Metrik, sowie den aus der SRT bekannten Effekt in v², allerdings noch verziert mit den ii-Komponenten der Metrik.

Du verwendest, dass die Koordinatenzeit t (in Schwarzschildkoordinaten) mit der Eigenzeit des unendlich weit entfernten, statischen Beobachters übereinstimmt.

Dies folgt aus der Form Schwarzschildmetrik

die für r gegen Unendlich die Form

annimmt.

Für statische Beobachter ist außerdem

Die Eigenzeit eines anderen, ebenfalls statischen Beobachters bei Radius r findest du, in dem du wieder die v² - Terme (bzw. die Radial- und die Winkelterme) gleich Null setzt und nur die 00-Komponente behältst

Daraus folgt die Zeitdilatation ausgedrückt mittels der Eigenzeiten zweier statischer Beobachter

Natürlich kannst du auch zwei Beobachter i=1,2 bei Radien r1 und r2 betrachten:

Im Quotienten der beiden Eigenzeiten für i=1,2 kürzt sich dann die Eigenzeit des Beobachters im Unendlichen heraus.