Zeit auf der Oberfläche eines Neutronenste

Rotverschiebung · Gast

Meine Frage:
Guten Tag hier zusammen. Ich sitze an folgender Aufgabe und weiß nicht, wie ich sie lösen soll. Es ist gegeben ein Neutronenstern, der sich für uns (aus Sicht der Erde) 30 mal in der Sekunde dreht, d.h. mit einer Periode von 0,033 s. Die Masse des Neutronensterns beträgt 1,5*Sonnenmasse und der Radius R beträgt 10 km.
Jetzt lautet die Frage: Wie schnell dreht sich der Neutronenstern für einen (hypothetischen) Beobachter auf der Oberfläche des Neutronensterns.
Wie berechnet man das?

Meine Ideen:
In der Aufgabe wird angenommen, dass wir als Beobachter unendlich weit entfernt sind. Von der Erde aus gesehen (von unendlicher Entfernung) sieht man die Umdrehung bzw. periode des Nuetronensterns verlangsamt. Der Beobachter auf der Oberfläche des NS müsste sehen, dass sich der NS schneller dreht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation

Rotverschiebung · Gast

@jh8979
Ich komme mit dem Wikipedia Eintrag nicht klar. Welche Formel soll ich nehmen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Ich gehe davon aus, du sollst die Zeitdilatation bzgl.
a) des unendlich weit entfernt Beobachters und
b) des Beobachters auf der Oberfläche des Neutronensterns
berechnen.

Das solltest du zunächst mal in einem Buch oder Skript zur ART nachlesen.

Anmerkung: Du wirst wohl davon ausgehen, dass die Rotation des Neutronensterns selbst die Lösung nicht beeinflusst, d.h. du wirst von exakt gültiger Schwarzschildgeometrie ausgehen, oder? (ich wüsste nicht, wie die Lösung für eine rotierende Massenverteilung aussieht).

Wichtig: Rotiert der Beobachter auf der Oberfläche des Neutronensterns mit? Wenn ja, dann liegt keine rein gravitative Zeitdilatation vor, sondern die Geschwindigkeit bewirkt einen zusätzlichen Effekt wie in der SRT; beide Effekte sind aber i.A. nicht additiv, erst in einer gewissen Näherung.

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Ganz allgemein berechnest du die Zeitdilatation wie folgt:

Du verwendest, dass die Koordinatenzeit t (in Schwarzschildkoordinaten) mit der Eigenzeit des unendlich weit entfernten, statischen Beobachters übereinstimmt. D.h. du setzt die Periode T an, die dieser beobachtet. Die Eigenzeit des Beobachters auf der Oberfläche des Neutronensterns findest du gemäß

Dabei bedeutet C eine beliebige Weltlinie, hier speziell die Weltlinie, die der Beobacher auf der Oberfläche des Neutronensterns während einer Rotationsperiode zurücklegt. Als nächstes nutzt du aus, dass die Schwarzschildmetrik diagonal ist und dass x° = t gilt. Damit folgt

Nun siehst du direkt zwei Beiträge unter der Wurzel, einmal den rein gravitativen Effekt aus der 00-Komponente der Metrik, sowie den aus der SRT bekannten Effekt in v², allerdings noch verziert mit den ii-Komponenten der Metrik.

Nun solltest du die Schwarzschildmetrik verwenden, und die Größenordnung der 00-Komponente abschätzen; außerdem solltest du die Geschwindigkeit v bestimmen und zusammen mit der ii-Komponente die Größenordnung des zweiten Terms abschätzen. Evtl. genügt es, den ersten Term zu betrachten.

Wenn der erste Term dominiert (ich vermute es, aber ich weiß es nicht sicher), dann folgt daraus die einfache Formel

wobei U(r) das Newtonsche Gravitationspotential darstellt; dies folgt aus der expliziten Form des 00-Terms.

Die allgemeine Form der Schwarzschildmetrik lautet

In deinem Fall liegt keine radiale Bewegung vor, d.h. dr = 0. Außerdem erfolgt die Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit omega. Zuletzt gehst du davon aus, dass der Beobachter an einem festen Punkt des Äquators mitrotiert; damit folgt

Damit sollte alles klar sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Noch ein Hinweis; ich habe in den Formeln c=1 gesetzt; du musst aber natürlich die entsprechenden Terme ergänzen, d.h. du verwendest 2GM/rc² und v²/c² statt meiner Konvention 2GM/r und v².

Rotverschiebung · Gast

Zunächst vielen Dank. Doch ich habe es etwas falsch ausgedrückt. Der ruhende Beobachter befindet sich knapp über der Oberfläche des Neutronensterns. D.H., dass er sich nicht mit bewegt.
Ich denke auch, dass wir eine einfachere Formel nehmen sollen, denn soweit sind wir noch nicht im Unterricht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Rotverschiebung · Gast

Es gibt doch eine relativ einfache Formel für die gravitative Zeitdilatation. Sie gilt für einen Beobachter im Unendlichen. Man kann sie aus der Fallgeschwindigkeit einer Uhr aus dem Unendlichen in Richtung des Gravitationszentrums herleiten. Kannst du mir zu dieser Formel etwas sagen?
Ich glaube sie gilt für nicht rotierende Körper.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Wie sieht diese Formel aus?

Rotverschiebung · Gast

Die Formel sieht man hier ganz gut
w w w .awitness.org/unifiedm/introgrtd.html

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18193

Die Formel steht hier