Folgt die Zeitdilatation aus den Lorentz-Transformationen?

Physicsboard · Gast

Meine Frage:
Hallo. Folgt die Zeitdilatation aus den Lorentz-Transformationen? Nach meinem Verständnis sollte die Zeitdilatation nach folgender Formel berechnenbar sein t'=sqrt{1-(v/c)^2}*t. Ist das soweit richtig?
Nach weiteren Überlegungen sollte ich mit der Formel t'=gamma*(t-v/c^2*x)zu dem gleichen Ergebnis kommen, wenn gamma der Lorentzfaktor und x=v*t ist.
Ist das richtig?

Meine Ideen:
Mein Ansatz steht oben.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Physicsboard · Gast

Der Link ist gut. Ich habe es gerade mal versucht und bin mit der Lorentz-Transformationesgleichung t'=gamma*(t-v/c^2*x) zu dem gleichen Ergebnis gekommen wie mit t'=sqrt{1-(v/c)^2}*t. Was ist die Begründung dafür?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

1) Ja, man kann das natürlich exakt herleiten …
2) … aber man sollte besser zu einem anderen Verständnis der Zeitdilatation kommen!

Zu 1)

Man betrachtet ein System S (z.B. einen Beobachter auf der Erde) und ein System S‘ (z.B. das Ruhesystem eines schnell bewegten Myons durch die Erdatmosphäre. Aus Sicht von S betrachten wir ein Ereignis E1 in der oberen Erdatmosphäre (z.B. die Erzeugung des Myons) und ordnen ihm die Koordinaten

zu. S und S‘ fallen für (0,0) zusammen, d.h. wir haben für E1 in S‘

Dann betrachten wir den Weg des Myons durch die Erdatmosphäre bis zur seiner Detektion auf der Erdoberflächen Die zurückgelegte Strecke sei L, die Geschwindigkeit v, die dabei verstrichene Zeit logischerweise L = vT. D.h. wir haben ein zweites Ereignis E2 (die Detektion) mit Koordinaten

Nun betrachten wir das ganze aus dem System S‘, d.h. dem Ruhesystem des Myons. Anwendung der Lorentztransformation für das Ereignis E2 liefert

Also

D.h. wir landen unmittelbar bei der Formel für die Zeitdilatation

Zu 2)

Diese Betrachtungsweise verschleiert, dass die Zeitdilatation eine wesentlich allgemeinere Eigenschaft ist als die Lorentztransformation. Letztere ist eine Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Erstere macht eine Aussage bzgl. der Eigenzeiten von beliebig bewegten Objekten.

Insbs. kann in der SRT kein beschleunigtes Bezugssystem verwendet werden, da dieses kein Inertialsystem darstellt. Allerdings kann sehr wohl die Eigenzeit eines beliebig bewegten, d.h. auch beschleunigten Objektes berechnet und gemessen werden. Nehmen wir dazu an, das Myon wird auf seinem Weg durch die Atmosphäre sowohl abgebremst als auch von seiner geradlinigen Bahn abgelenkt. Damit stellt das Myon kein Inertialsystem mehr dar und die Formeln für die Lorentztransformation gelten nicht mehr.

Allerdings kann die Eigenzeit tau des Myons entlang einer beliebigen Bahnkurve C berechnet werden:

Diese Formel verwendet letztlich nur die infinitesimale Zeitdilatation

und integriert diese auf. Dabei wird die Koordinatenzeit t mit der Eigenzeit eines im Inertialsystem S ruhenden Beobachters gleichgesetzt. Letztlich ist diese Koordinatenzeit jedoch nur eine Hilfsgröße. Man könnte ebenso gut zwei Beobachter B1 und B2 entlang zweier beliebiger Bahnkurven C1 und C2 mit jeweils nicht-konstanten Geschwindigkeiten v1 und v2 betrachten und deren Eigenzeiten tau1 und tau2 berechnen (zur Berechnung verwendet man praktischerweise wieder ein Inertialsystem mit Koordinatenzeit t). Dann können beide Beobachter ihre beiden Eigenzeiten messen und vergleichen. Die zur Berechnung benutzte Koordinatenzeit spielt dabei jedoch keine Rolle mehr (insbs. ist sie den beiden Beobachtern ja gar nicht bekannt).

Der Vorteil in dieser Denkweise liegt darin, dass sie physikalisch messbare Eigenzeiten in den Vordergrund stellt, dass sie statt mit Koordinaten mit invarianten Größen (Eigenzeit) argumentiert, dass sie sofort auf die ART verallgemeinerbar ist und dass damit einfache Experimente (Hafele-Keating-Experiment) leichter verständlich werden.

Physicsboard · Gast

TomS, danke für deine ausführliche Antwort. Ich habe deine Herleitung bei Punkt 1 soweit gut verstanden. Die Herleitung in dem Link von jh8979 war jedoch eine Andere. Woher kommen die Unterschiede?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Der Unterschied besteht m.E. nur darin, dass in dem Link zunächst von zwei verschiedenen Ereignisse mit zwei verschiedenen Zeiten jedoch am selben Ort ausgegangen wird.

Ich betrachte dagegen zwei verschiedene Ereignisse an verschiedenen Orten. Erst wenn ich ins Ruhesystem des Myons transformiere, fallen die Ereignisse örtlich (genauer: bzgl. der Koordinate x') zusammen.

Physicsboard · Gast

Für das Ereignis E1 fallen die Koordinaten von t1 und x1 sowie t1' und x1' zusammen. Für das Ereignis E2 werden t2 und x2 die Koordinaten T und vT zugeordnet. Das entspricht dann für t2'=Wurzel{1-v^2}T und für x2'=0. Daraus ergibt sich die Formel für die Zeitdilatation. Habe ich das richtig verstanden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Physicsboard · Gast

Gibt es einen Grund, warum dem Ereignis E1 die Koordinaten 0,0 zugeordnet werden? Ich schätze mal das dient dazu, damit t1 und x1 sowie t1' und x1' zusammen fallen.
Und für t2 und x2 müssen T und vT zugeordnet werden, da T die Zeit des Myons ist und vt der Weg für x.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Die Koordinaten für E1 kann ich in beiden Systemen S und S' beliebig festlegen; meine Festlegung ist halt praktisch.

Die Koordinaten für E2 ergeben sich aus der Kinematik, d.h. konkret aus der Geschwindigkeit v und der Zeit T gemessen in S. Eine weitere Wahlfreiheit besteht dann nicht, denn v=L/T legt bei zwei gegebenen Größen die dritte eindeutig fest.

Physicsboard · Gast

Und wie leitet man die Lorentzkontraktion (Längenkontraktion) aus den Lorentz-Transformationen her?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18086

Das solltest du dir doch jetzt anhand des Beispiels der Myonen selbst herleiten können.

Physicsboard · Gast

Ich versuche es mal. Ich komme allerdings mit LaTex nicht klar.

Ich definiere ein Ereignis E1. Ich ordne x1 und t1 die Koordinaten (0,0) zu.

S und S' fallen für (0,0) zusammen. Also gilt für x1' und t1' die auch (0,0)

Dann definiere ich ein Ereignis E2.

Im System S definiere ich die Koordinaten für x2 und t2 (L0,v*L0)

Im System S' betrachtet ergibt sich dann x2'=L-v²*L/Wurzel{1-v²}

Für t2' ergibt sich gleich 0.

Physicsboard · Gast

Bist du mit meiner Herleitung einverstanden? Oder habe ich einen Fehler gemacht?