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Nachricht |
Sumsi
Gast
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 Sumsi Verfasst am: 08. Jan 2014 20:22 Titel: Fragen zum Gradienten, Gradientenfeld, Divergenz, Rotation |
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Hallo Forum
Ich habe hier einige Aufgaben, bei denen ich schon angefangen habe, sie zu lösen. Habe aber ein paar Verständnisfragen, die ich hier gerne stellen möchte:
Ich habe ein Potential  = f(r)) . Dieses Potential ist nur vom Abstand  zum Ursprung abhängig. Es ist noch angegeben, dass f(r) eine beliebige, zweifach differenzierbare Funktion ist.
Nun soll ich als erster das Gradientenfeld ) berechnen.
Das habe ich so gemacht:
 = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{pmatrix}
<br />
<br />
<br />
)
Ist das richtig?
Dann sollte ich dessen Divergenz berechnen. Da habe ich einfach die x / y / und z - Komponente des Gradientenfeldes genommen, und sie nochmal partiell nach x / y und z abgeleitet. Ist das auch richtig?
Meine x / y und z - Komponenten des Gradientenfeldes und dessen Divergenz enthalten jetzt halt die x, y und z - Variablen.
Jetzt kommt etwas, das verstehe ich nicht so ganz:
Ich soll die Ergebnisse in Abhängigkeit des Vektors  , der Funktion f(r) sowie deren Ableitung f'(r) und f''(r) ausdrücken.
Was heißt das jetzt genau? Ich verstehe nicht ganz, was ich da machen soll.
Dann habe ich noch eine Frage, da weiß ich auch nicht so wirklich weiter.
Jetzt ist  = r^n ) mit  .
Als Hinweis steht hier, ich soll die Symmetrie des Potentials nutzen, also das es bei Vertauschung von x, y und z unverändert bleibt. Kennt man die partielle Ableitung nach x, kann man die partielle Ableitung nach y durch vertauschen von x und y erhalten.
Dort bräuchte ich auch noch Hilfe.
Vielen Dank |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 08. Jan 2014 21:17 Titel: Re: Fragen zum Gradienten, Gradientenfeld, Divergenz, Rotati |
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| Sumsi hat Folgendes geschrieben: | ...
Nun soll ich als erster das Gradientenfeld berechnen.
Das habe ich so gemacht:
 = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{pmatrix} )
Ist das richtig? |
Im Ansatz richtig, aber nicht zu Ende geführt.
Wie lautet das Ergebnis der Ableitungen ?
| Zitat: | ...
Jetzt kommt etwas, das verstehe ich nicht so ganz:
Ich soll die Ergebnisse in Abhängigkeit des Vektors , der Funktion f(r) sowie deren Ableitung f'(r) und f''(r) ausdrücken.
Was heißt das jetzt genau? Ich verstehe nicht ganz, was ich da machen soll. |
Das Potenzial hängt nur von der Variablen r ab !
| Zitat: | Als Hinweis steht hier, ich soll die Symmetrie des Potentials nutzen, also das es bei Vertauschung von x, y und z unverändert bleibt. Kennt man die partielle Ableitung nach x, kann man die partielle Ableitung nach y durch vertauschen von x und y erhalten.
... |
Die Symmetrie des Potentials besteht in der alleinigen Abängigkeit von r.
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 08. Jan 2014 21:24 Titel: |
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Hallo,
ich glaube nicht so recht, dass das stimmt:
Rechne einfach mal die partielle Ableitung von U() nach x. Wie sieht denn E (etwas ausführlicher geschrieben) aus:
 =U\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right) = f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right))
Für die partielle Ableitung nach x musst Du jetzt also die Kettenregel anwenden:
)
Für die Divergenz: Das ist ja quasi ein Skalarprodukt. Bei einem Skalarprodukt kommt aber kein Vektor sondern ein Skalar raus. Die Divergenz ist ein Skalar(-feld)!
Gruß
Marco |
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Sumsi
Gast
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| Sumsi Verfasst am: 08. Jan 2014 23:16 Titel: |
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Danke für die Antworten.
Habe für die Divergenz da irgendwas komplett falsches geschrieben. Weiß gar nicht mehr, wo ich das her habe. Muss als Summe der 3 Komponenten natürlich ein Skalar ergeben.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Für die partielle Ableitung nach x musst Du jetzt also die Kettenregel anwenden:
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Kannst du mir bitte erklären, wie man hier auf die "2" kommt?
Wie sehen die Differentialquotienten für dieses verkettete Differential denn aus?
Ich verstehe es noch nicht ganz.
Das muss ja irgendwas sein wie:
Danke für Eure Hilfe
Das mit dem Differenzieren müsste ich eigentlich dann hinkriegen. Habe hier Probleme damit, zu verstehen, was ich genau berechnen muss.
[/quote] |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 09. Jan 2014 09:12 Titel: |
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| Sumsi hat Folgendes geschrieben: | Das muss ja irgendwas sein wie:
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Hallo!
Nee, eher das hier:
mit 
wobei f(r) ja eine stink normale Funktion ist, die nur von einer Variablen r abhängt, so dass das mit der "partiellen" Ableitung nix Besonderes macht...
U() ist ja "eigentlich" gerade f(r), nur dass U halt eine Funktion von 3 Variablen ist und f nur von einer, die aber durch die drei Variablen von denen U abhängt ausgedrückt werden kann.
Und wenn Du r nach x ableitest, dann bekommst Du für die wieder innere Ableitung (also das unter der Wurzel) eben die 2x. Für die Wurzel dann das 1/Wurzel.
Gruß
Marco |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 09. Jan 2014 15:39 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | ...
Und wenn Du r nach x ableitest, dann bekommst Du für die wieder innere Ableitung (also das unter der Wurzel) eben die 2x. Für die Wurzel dann das 1/Wurzel.
... |
^{1/2})
^{-1/2}\cdot 2x)
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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