Nabla Operator und Levi-Cevita Symbol

Magnetar · Anmeldungsdatum: 29.11.2013 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hallo Leute!
Bin neu hier im Forum und freue mich hier mitglied zu sein:).

Nun aber zu meiner Frage und zwar habe ich hier eine aufgabe in Theoretischer Physik und komme nicht weiter. Wenn jemand mir helfen würde wäre ich Ihm sehr dankbar.

Und zwar habe ich hier eine Aufgabe:

Zeigen Sie unter Verwendung des Kronecker-Deltas und des Levi-Civita-Symbols folgende Relationen
für (zweimal stetig differenzierbare) dreidimensionale Vektorfelder

und

und
ein (differenzierbares) skalares Feld

Teilaufgabe a)

Meine Ideen:
Was ich jetzt gemacht habe ist zuerst das Kreuzprodukt für

ausgerechnet , d.h.

Wobei ich mir nicht ganz sicher bin ,ob ich die Komponenten

mit den richtigen Indizes versehen hab. Ich dachte mir halt, dass der Skalar

und der vektor

die gleichen komponenten

hat, könnte ich die mit gleichen indizes versehen. Falls das Falsch ist, bitte weißt mich drauf hin.

Nun weiß ich nicht jetzt eigentlich,was ich mit diesem Kreuzprodukt

machen soll? Ich habe geguckt und ja wir haben da doppelt auftretende Indizes(

die ich als Kronecker- Delta Symbol schreiben kann...
Und Nu ? Im Kreuzprodukt erkenne ich keine Permutation irgendwie die ich als Levi-Cevita Symbol schreiben könnte? Kann mir jemand weiter Helfen? Vielen Dank für die Antwort!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Sehr viel einfacher geht es in dieser Notation

wobei über gleiche Indizes summiert wird, also eigentlich

Dann ist die Relation in 1-2 Zeilen beweisbar.

Magnetar · Anmeldungsdatum: 29.11.2013 Beiträge: 6

Ok danke dir vielmals. Also ist es mir erlaubt

als

zu schreiben, weil der Skalar omega mit dem Nabla Operator Multipliziert wird und so den Gradienten ergibt?

Ok, cool das mach das ganze viel einfacher.
Also jetzt gilt es nur noch zu zeigen, dass

ist ?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Das a hab ich nur als Beispiel genommen, Du willst natürlich ausrechnen:

Magnetar · Anmeldungsdatum: 29.11.2013 Beiträge: 6

Ich habe das mal gemacht für

und habe erhalten

.

Ist das richtig so?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

omega hat keinen Index, daher hat partial einen. Und der Index der Ableitung ist erstmal j und nicht k, ich weiss nicht ob Du bewusst das richtige Ergebnis raushast, oder durch Zufall und weil Du wusstest dass Da ein relatives Minuszeichen auftaucht...

Magnetar · Anmeldungsdatum: 29.11.2013 Beiträge: 6

Nein, ich habe einfach die Kreuzprodukte von omega kreuz nabla a - a kreuz nabla omega ausgedacht, ist aber glaube ich der falsche weg ,weil ich ja die relation durch umformung etc. zeigen muss^^ Ich glaube aber ich weiß jetzt wie es geht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ach so, Du hattest das sonst nur umgeschrieben,ok. Dann musst Du nur noch zeigen, dass beide Seiten gleich sind, das ist nicht allzuschwer (Kettenregel + Antisymmetrie von Levi-Civita).