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Hamilton Operator
 
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Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 18. Jun 2022 22:36    Titel: Hamilton Operator Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen

Der Hamilton Operator lautet
Wenn man das mittlere Schwankungsquadrat berechen will braucht man
Aber wie sieht dieser Operator aus?

Danke für Hinweise



Meine Ideen:

Geht das so?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jun 2022 23:27    Titel: Re: Hamilton Operator Antworten mit Zitat

Optimus hat Folgendes geschrieben:


Geht das so?

Ja.

(Auch wenn ich das für H tatsächlich noch nie gesehen oder benutzt habe... aber das ist mein Problem, nicht Deins Augenzwinkern )
Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 19. Jun 2022 10:49    Titel: Antworten mit Zitat

Danke schonmal

Ich weiß aber noch nicht wie genau ich rechnen soll
Wenn ich ausmultipliziere bekomme ich



und hier ist ein Problem

Da ist doch die Reihenfolge wichtig


Oder rechnet man so
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jun 2022 21:30    Titel: Antworten mit Zitat

@Optimus - wie lautet denn die Aufgabenstellung? Rechnet ihr mit Wellenfunktionen?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 20. Jun 2022 12:18    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
@Optimus - wie lautet denn die Aufgabenstellung? Rechnet ihr mit Wellenfunktionen?

beim zeitunabhängigen Potential gibt es diese Bedingung


ich wollte das beim 1S Orbital überprüfen


aber ich komme nicht richtig voran unter anderem ist dieser Ausdruck divergent

Stimmt das überhaupt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2022 12:52    Titel: Antworten mit Zitat

Optimus hat Folgendes geschrieben:
beim zeitunabhängigen Potential gibt es diese Bedingung

Das ist keine Bedingung sondern folgt speziell für quadratintegrable Eigenfunktion, d.h. für das diskrete Spektrum. Es gilt nicht allgemein, z.B. nicht für das kontinuierliche „Spektrum“ - hier ist es bereits für die freie ebene Welle falsch - und es gilt nicht für die Superposition von Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Energien wie



Für eine beliebige Eigenfunktion gilt in deinem Fall für Potenzen von H übrigens



wobei streng genommen untersucht werden muss, für welche Exponenten a der Ausdruck selbstadjungiert usw. ist.

Anwendung von V auf die Wellenfunktion liefert nur eine Multiplikation mit V.

Höhere Potenzen können zu Problemen führen, denn der Integrand liefert für kleine r



was in Abhängigkeit von n,l,m tatsächlich zu Problemen führt.


Statt die Ableitung in T zu berechnen, kann man außerdem wie folgt argumentieren:


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Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 20. Jun 2022 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es gilt nicht allgemein, z.B. nicht für das kontinuierliche „Spektrum“

Aber beim Wasserstoff hat man kein kontinuierliches Spektrum. Deshalb müsste die Rechnung hier funktionieren
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2022 16:46    Titel: Antworten mit Zitat

Doch, das Wasserstoffatom hat ein kontinuierliches Spektrum:

https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb_wave_function
https://arxiv.org/abs/1804.10976

Und das muss auch so sein, diese Wellenfunktionen beschreiben gerade ein ungebundenes Elektron für E ≥ 0 im Potential des Protons.

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Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 20. Jun 2022 16:57    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Doch, das Wasserstoffatom hat ein kontinuierliches Spektrum:

Bedeutet das?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 20. Jun 2022 17:21    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, es bedeutet, dass diese Definition für das kontinuierliche Spektrum nicht anwendbar ist.

Schau dir das freie Teilchen in einer Dimension an:



mit ebenen Wellen





Dann gilt jedoch



und damit ist



nicht definiert, da das Integral divergiert.


Das ist jedoch für gebundenen Zustände und somit das diskrete Spektrum nicht das Problem. Mir ging es lediglich darum, dass



keine allgemeingültige Bedingung ist, sondern nur für spezielle Zustände gilt, nämlich für gebundene Eigenzustände mit E < 0, nicht für E ≥ 0 und nicht für Superpositionszustände.


Wenn du Energie-Eigenzustände betrachtest und diese normierbar sind, dann ist selbstverständlich die Unschärfe der Energie gleich Null.

_________________
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Optimus
Gast





Beitrag Optimus Verfasst am: 20. Jun 2022 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Mir ging es lediglich darum, dass

keine allgemeingültige Bedingung ist, sondern nur für spezielle Zustände gilt, nämlich für gebundene Eigenzustände mit E < 0

Das hat man doch beim Wasserstoffatom (E<0)
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