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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
Beiträge: 18
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 Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 11:29 Titel: Hamilton/Langrange |
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Hallo zusammen,
ich habe leichte Verständnisprobleme bzgl. Hamilton und Lagrange.
Soweit ich das ganze verstanden habe:
L=T-V
für den nicht-linearen Fall muss man Energie und Koenergie unterscheiden, dann gilt T* = Legendre-Transformierte von T und
L=T*-V
Was mache ich jetzt mit dieser Gleichung? Soweit ich es verstanden habe, kann ich über die Euler-Lagrange Gleichung
d/dt (L/q')-L/q = 0
die Zwangsbedingungen ausrechnen, soweit Energien bekannt sind.
Alternativ kann ich den Langrange Term L (wird auch als äußere Energie bezeichnet????) Legendre transformieren und erhalte die Hamilton Gleichung
H=T + V
(Welcher Teil dieser Gleichung müsste im nicht-linearen Fall als Koenergie angesetzt werden?)
Und kann durch ableiten von H die größen p' und q' ausrechnen.
Ich habe einige Sachen gelesen, habe aber irgendwie noch leichte Probleme mich in das Thema einzudenken. 
Gruß und dank für die hoffentlich kommende Antwort,
Die obenen genannten Gleichungen gelten unter Berücksichtung der Koenergie-Terme immer, egal ob die zugrunde-liegenden Systeme konservativ sind oder nicht?
Sven |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 11:57 Titel: |
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Ich verstehe noch nicht ganz dein Problem.
Zunächst kennst du ein L;
L=T-V ist dabei nur eine Spezialform und muss keineswegs immer gelten
Aus L folgen mittels Variantion die Euler-Lagrange-Gleichungen als Bewegungsgleichungen
Gleichzeitig folgt aus dem kanonisch konjugierten Impuls p mittels Legendretransformation H, wobei wiederum nicht unbedingt H=T+V gelten muss. Die Legendretransformation ist dagegen universell gültig.
Bis dahin hat das auch noch nichts mit Lagrangemultiplikatoren und Zwangsbedingungen zu tun.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
Beiträge: 18
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 12:07 Titel: |
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Jemand der es verstanden hat, prima. Ich hoffe du kannst mir helfen meine Fragen zu formulieren, damit bin ich der Antwort einen Schritt näher.... 
| Zitat: | | L=T-V ist dabei nur eine Spezialform und muss keineswegs immer gelten |
Bei nicht-linearen Termen muss man mit der Konergie T* statt mit T (also Legendre transformierten) rechnen. Wann gilt diese Spezialform sonst noch nicht?
| Zitat: |
Aus L folgen mittels Variantion die Euler-Lagrange-Gleichungen als Bewegungsgleichungen |
Varantation?
Soweit ich das ganze verstanden habe, führt man eine virtuelle Verrückung durch, guckt das die Wirkung einen Extremalwert annimmt, und hat dann die Bewegungsgleichungen???
Haben H und L eine anschauchliche Bedeutung? Als Sinn in diesen Größen sehe ich bisher nur, dass man daraus direkt die Bewegungsgleichungen herleiten kann (und somit systematisch auf die Zwangsbedingungen kommt????) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 12:33 Titel: |
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1) Zunächst mal zur Definition von L, p und H
)
 - L)
Aus L wird p berechnet; im einfachsten Fall ist p linear in der Geschwindigkeit, in komplizierteren Fällen tritt dabei jedoch eine Funktion auf; ein Fall, wo einem sowas begegnet ist die speziell Relativitätstheorie, hier gilt ja
ohne dass wir dies jetzt aus einer Lagrangediochte abgeleitet hätten (was man aber tun kann).
Wenn nun eine Funktion f auftritt, die die Abhängigkeit des kanonischen Impulses von der Geschwindigkeit ausdrückt, dann muss im Folgenden diese Funktion invertiert werden, so dass in der Legendretransformation nicht mehr die Gescwindigkeit sondern der Impuls auftritt.
So, zuletzt wird alles schön in die Definition von H eingesetzt und man erhält die Hamiltonfunktion als Legendretransformierte der Lagrangefunktion in Abhängigkeit von Orten und Impulsen
2) Dann zu den Variationen (Variantion ist ein Schreibfehler :-)
Man erhält aus der Lagrangefunktion die Lösung der Bewegungsgleichung dergestalt, dass diese Lösung dadurch ausgezeichnet ist, dass sie L minimiert; d.h. man betrachtet zunächst alle erlaubten Bewegungen definiert durch die Orte und die Geschwindigkeiten und sucht das Minimum, so dass
, \dot{q}(t)] = \text{min.})
Anschaulich betrachtet funktioniert dies wie bei der Suche eines Minimums einer Funktion mittels der gewöhnlichen Ableitung, d.h. es gilt
Im Minimum einer Funktion verschwindet die erste Ableitung; diese ist im Falle der Variationsableitung gerade durch die Euler-Lagrange-Gleichungen definiert.
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
Beiträge: 18
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 13:22 Titel: |
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| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | | Zu 1): Wenn der Impuls von der Geschwindigkeit abhängt hätte man einen nicht-linearen Fall. |
Nein, das ist wohl ein kleines Missverständnis. Der Impuls hängt immer von der Geschwindigkeit ab, aber eben nur im einfachsten Fall p = mv linear, in komplizierteren Fällen nichtlinear.
| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | In dem Fall würde
nicht mehr stimmen |
Ja, das System wäre eben durch eine andere Lagrangefunkciton definiert.
man müsste mit
| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | 
rechnen |
Jein! Es gibt Fälle - und der relativistische gehört dazu - indem auch diese Gleichung zu speziell ist.
| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | Dann würde
aber immer noch klappen? |
Ja, das ist die Definitin von p.
Mir scheint, du hängst zu sehr an kinetischer und potentieller Energie. In der klassischen Mechanik ist das of richtig, aber i.A. ist L einfach eine (i.A. recht beliebige) Funktion von q und v und lässt sich nicht unbedingt in T + V aufspalten.
| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | | Zu 2) Die Euler-Lagrange Gleichung ergibt dann am Ende die physikalisch richtige Lösung? |
Das ist sozusagen ein Glaubenssatz (Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung): ein physikalisches System wird durch eine Lagrangefunktion L definiert, wobei die physikalischen Trajektorien eben gerade dem Extremum entsprechen, das mittels Variationsrechnung (d.h. unter Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen) ermittelt wird.
Wenn du ein System hast, in dem das nicht stimmt, dann ist entweder das Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung falsch (was mich sehr wundern würde :-) oder du hast noch nicht das korrekte L zu Beschreibung des Systems gefunden.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 13:25 Titel: |
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Eine Frage: in welchem Umfeld ist denn der Begriff "Koenergie" gebräuchlich?
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
Beiträge: 18
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 13:52 Titel: |
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| Zitat: | | Eine Frage: in welchem Umfeld ist denn der Begriff "Koenergie" gebräuchlich? |
Ich komme eigentlich aus der Elektrotechnik, da macht bei Berechnungen mit nicht-linearem Eisen (Hysterese) die Definition von Energie/Koenergie Sinn. Die Kurven von Feldstärke zu Flussstärke sehen bei Elektromagneten durch die Sättigung des Eisens aus wie das relativistische p-v Diagram von oben.
Auf dieses Themengebiet würde ich auch gerne die Antworten anwenden. Im Bereich von elektromechanischen Wandlern bräuchte ich das verständnis jedoch sowohl auf dem Bereich Mechanik als auch im Bereich Elektrotechnik.
Die Literatur die ich bisher zum Thema Lagrange/Hamilton gefunden habe ist in der Regel im Bereich Mechanik angesiedelt. Man kann jedoch auch Flussdichten, Ströme, etc. in Form von generalisierten Koordinaten angeben, daher kann ich deine Antworten auf meine Probleme übertragen.
 http://www.imgbox.de/show/img/OibaTszVTf.jpg
Womit ich in meinem Kontext noch meine Probleme habe: wenn die Eisen-Hysterese durchlaufen wird
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/b/b9/Hysteresekurve.gif
habe ich dann nicht-konvervative Systeme und in wie weit wirkt sich das auf die Lagrange/Hamilton Gleichungen aus?
Wenn ich nicht in die Hysterese gehe, sondern nur in den reversiblen (umkehrbaren) Bereich wo es keine Restmagnetisierung habe, habe ich nur nicht-lineares Verhalten (sonst wäre Energie/Koenergie nicht definiert) müssten die Gleichungen so zutreffen?[/img] |
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
Beiträge: 18
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 13:58 Titel: |
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| Zitat: | | Nein, das ist wohl ein kleines Missverständnis. Der Impuls hängt immer von der Geschwindigkeit ab, aber eben nur im einfachsten Fall p = mv linear, in komplizierteren Fällen nichtlinear. |
Entschuldigung, ich meine natürlich linear, nicht linear. also
)
oder
Wenn man den Bereich auf nicht-relativistische Geschwindigkeiten Eingrenzt. In meinem Fall also der lineare Teil der Hysteresekurve, er z.B. bei Elektromagneten benutzt wird.
| Zitat: |
Es gibt Fälle - und der relativistische gehört dazu - indem auch diese Gleichung zu speziell ist. |
Das wäre jetzt für mich der Knackpunkt.
| Zitat: | | Mir scheint, du hängst zu sehr an kinetischer und potentieller Energie. In der klassischen Mechanik ist das of richtig, aber i.A. ist L einfach eine (i.A. recht beliebige) Funktion von q und v und lässt sich nicht unbedingt in T + V aufspalten. |
Soweit ich gelesen habe, lässt sich dieser Teil in
-kinetische Energie
-kinetische Koenergie
-potentielle Energie
-potentielle Koenergie
aufspalten.
Hier:
http://www.ialb.uni-bremen.de/downloads/Euler-Lagrange-Verfahren.pdf
sind auf Seite 3 Beispiele für Energie/Koenergie gezeigt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 14:06 Titel: |
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Wenn diese Aufspaltung funktioniert, ist das natürlich OK.
Meine Herangehensweise ist recht allgemein. Ich betrachte ein beliebiges L, berechnen daraus p und daraus wiederum H. Falls der Zusammenhang zwischen p und v invertierbar ist (das ist die Funktion f) und falls es keine Zwangsbedingungen o.ä. gut, ist der o.g. Weg alles, was man wissen muss.
H und L sind insofern gleichrangig, als aus beiden die Bewegungsgleichungen abgeleitet werden können.
Außerden entspricht bei mechanischen Systemem H häufig der (erhaltenen) Gesamtenergie, aber das muss nicht immer so sein.
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 14:15 Titel: |
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| Zitat: |
H und L sind insofern gleichrangig, als aus beiden die Bewegungsgleichungen abgeleitet werden können. |
Ok... das geht dann also immer. Das ist schonmal ein Knackpunkt für mich gewesen.
Frage: gibt es bezüglich der allgemeinen Definition auch die Möglichkeit die Kräfte direkt zu berechnen?
| Zitat: | | Außerden entspricht bei mechanischen Systemem H häufig der (erhaltenen) Gesamtenergie, aber das muss nicht immer so sein. |
Für den linearen Fall würde ja gelten
das wäre dann natürlich die Gesamtenergie. Macht Sinn.[/latex] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18090
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 14:21 Titel: |
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| Quantengurke hat Folgendes geschrieben: | | Frage: gibt es bezüglich der allgemeinen Definition auch die Möglichkeit die Kräfte direkt zu berechnen? |
Na, die Kraft ist einfach der Term
in den Euler-Lagrange-Gleichungen
| Zitat: | Für den linearen Fall würde ja gelten
das wäre dann natürlich die Gesamtenergie. Macht Sinn.[/latex] |
Leider nein. In der relativistischen Mechanik gibt es z.B. eine aus einer Symmetrie folgenden Zwangsbedingung, die letztlich dafür verantwortlich ist, dass die kanonische Hamiltonfunktion (für eine Lösung der Bewegungsgleichung) exakt verschwindet, d.h. also H=0. Demnach entspricht sie auch nicht der Energie des Teilchens.
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Quantengurke
Anmeldungsdatum: 20.12.2009
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 14:33 Titel: |
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Ich versuche gerade parallel das von dir gesagte auf den mechanischen Teil des Motors zu übertragen, und auf den elektrischen Teil mit dem Eisen. Darauf basierend ist mein Denken gerade etwas verquer.
Im relativistischen Fall wären die generalisierten (mechanischen) Koordinaten nicht-linear voneinander abhängig, der Impuls würde bezüglich der Geschwindigkeit zu einer "Sättigung" führen, da etwas nicht schneller als 300.000km/s fliegen kann. Das wäre nicht-linear.
Im rein newtonschen (langsamen) Fall müsste
gelten?
| Zitat: |
Na, die Kraft ist einfach der Term
in den Euler-Lagrange-Gleichungen |
Also
ist einfach so? Immer? |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 14:52 Titel: |
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:-)
erwischt.
Nein, nur dann, wenn deine Aufspaltung funktioniert bzw. wenn T nicht ebenfalls q-abhängig ist; allgemein eben
Wobei diese Kraft dann evtl. geschwindigkeitsabhängig sein kann, wenn z.B. ein Term
nicht verschwindet.
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Quantengurke
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 11. Okt 2010 15:50 Titel: |
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Na, die Formel gilt unter der o.g. Bedingung, dass die Separation nach T und V sinnvoll ist.
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Quantengurke
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| Quantengurke Verfasst am: 11. Okt 2010 16:54 Titel: |
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Was für mich heißen würde, dass das Eisen nicht in die Hysterese geht.
Ok, ich glaub jetzt hab ich was ich brauche. Vielen Dank |
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