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kathi02
Anmeldungsdatum: 13.05.2020
Beiträge: 13
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 kathi02 Verfasst am: 01. Okt 2020 08:09 Titel: Unabhängige Variablen in der Hamilton Mechanik |
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Meine Frage:
Guten Morgen zusammen,
ich bin eben über einen Satz in einem Buch gestolpert, der mich ein wenig verwirrt hat.
"Der Hamiltonformalismus beschreibt die Bewegung mechanischer Systeme im 2n-dimensionalen Phasenraum, dessen Variablen q und p unabhängig und völlig gleichberechtigt sind."
Meine Ideen:
Dieser Satz irritert mich. Eigentlich würde ich es so verstehen, dass ich den Impuls nach der generalisierten Koordinate ableiten kann und null erhalte (und umgekehrt). Allerdings habe ich keine zwei Seiten später das folgendes Beispiel gefunden:
Die Lagrange-Funktion sei gegeben als
 )
mit der Hamiltonfunktion
wobei
und
gilt.
Es irritiert mich wirklich sehr, dass erst gesagt wird, das Koordinanten und Impulse unabhängig sind und es in diesem Beispiel so aussieht, als würden sie doch voneinander abhängen.
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann
LG
kathi |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Okt 2020 08:27 Titel: |
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Die einfache Erklärung ist, dass die generalisierten Impulse zunächst durch die generalisierten Koordinaten und die generalisierten Geschwindigkeiten ausgedrückt werden. Generalisierte Koordinaten und generalisierte Geschwindigkeiten sind im Lagrangeformalismus voneinander unabhängig.
)
Nun eliminiert man die generalisierten Geschwindigkeiten und drückt die Hamiltonfunktion durch die generalisierten Koordinaten sowie die generalisierten Impulse aus. Dabei überträgt sich diese Unabhängigkeit, d.h. wenn man den Hamiltonformalismus verwendet, vergisst man, woher die neuen unabhängigen Variablen stammen.
)
Die vollständige Erklärung solltest du hier finden: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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kathi02
Anmeldungsdatum: 13.05.2020
Beiträge: 13
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| kathi02 Verfasst am: 01. Okt 2020 09:21 Titel: |
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Ich wollte eigentlich erst schreiben, dass ich es nicht wirklich verstanden habe. Beim Schreiben meiner ursprünglich geplanten Antwort bin ich dann doch darauf gekommen, wie ich es verstehen soll.
Vielen Dank für deine Antwort. Du hast mich schon ein paar Mal gerettet :^) |
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kathi02
Anmeldungsdatum: 13.05.2020
Beiträge: 13
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| kathi02 Verfasst am: 01. Okt 2020 11:50 Titel: |
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Tut mir leid, ich habe es doch nicht verstanden. Ich habe mal von beiden Funktionen (L und H) die totale Ableitung nach r gebildet. Prinzipiell muss man ja beide Male auf dasselbe Ergebnis kommen. Das würde aber nur funktionieren, wenn man die Abhängigkeit des Impulses  von r beachtet. Könntest du vielleicht nochmal versuchen mir es auf eine andere Weise zu erklären?
Edit: Ich komme nicht mit dem Teil klar, wo du sagst, dass man die Abhängigkeit "vergisst". |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Okt 2020 12:25 Titel: |
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| kathi02 hat Folgendes geschrieben: | | Tut mir leid, ich habe es doch nicht verstanden. Ich habe mal von beiden Funktionen (L und H) die totale Ableitung nach r gebildet. Prinzipiell muss man ja beide Male auf dasselbe Ergebnis kommen. |
Warum sollte das so sein? H und L sind verschiedene Objekte.
Was tatsächlich zutrifft ist, dass du aus den Hamiltonschen die Euler-Lagrangeschen Bewegungsgleichungen rekonstruieren kann u.u.
Das kannst du machen, z.B.
und
Jetzt kannst du wieder ineinander umrechnen, jedoch (*)
| kathi02 hat Folgendes geschrieben: | | Edit: Ich komme nicht mit dem Teil klar, wo du sagst, dass man die Abhängigkeit "vergisst". |
Wenn du H(q,p) berechnet hast und im Hamiltonformalismus arbeitest, dann verwendest du nie mehr die Zusammenhänge für die verallgemeinerten Geschwindigkeiten und Impulse, die aus den Lagrangeschen Gleichungen folgen; wenn du es doch tust, wechselst du letztlich wieder in den Lagrangeschen Formalismus. Das ist das, was du bei (*) zur Übung bzw. zur Kontrolle durchführen kannst, aber in der Praxis macht das niemand.
Und was du nie tun darfst ist, z.B. die ursprüngliche Funktion
in dein H(q,p) einzusetzen, d.h. so etwas wie ein
)
hinzuschreiben.
Das liefert zwar für eine konkrete Lösung den richtigen Zahlenwert für die Energie E, es ist jedoch keine Hamiltonfunktion, aus der du Begegungsgleichungen ableiten kannst - und das ist die eigentliche Aufgabe der Hamiltonfunktion.
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