Hamilton Bewegungsgleichung

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Massepunkt m bewegt sich in einem zylindersymmetrischen Potential V(rho,z). Bestimme die Hamilton-Funktion und die hamiltonschen BGl's bezüglich eines Koordinatensystems, das mit konstanter Winkelgeschw. omega um die Symmetrieachse rotiert in:
a) kartesischen Koordinaten
b) Zylinderkoordinaten

Meine Ideen:
Ich bräuchte eigentlich nur Hilfe, um die Lagrange-Gleichung aufzustellen. Diese Rotation des Koordinatensystems verwirrt mich etwas. Heißt es, dass sich der Massepunkt einfach in einem sich rotierenden Zylinder bewegt und benötigt man hier vllt. noch das Trägheitsmoment für die Lagrange-Gleichung?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Zunächst mal musst du einfach die Lagrangefunktion

in zwei verschiedenen Koordinatensystemen formulieren.

Bisher hast du das Problem in einem Inertialsystem S formuliert. Nun führst du ein neues Koordinatensystem S' ein, das ggü. dem alten mit der Winkelgeschwindigkeit Omega um die z-Achse rotiert.

D.h. die kartesischen Koordinaten transformieren sich wie

mit der Rotationsmatrix

und die Zylinderkoordinaten transformieren sich wie

Siehe diverse Skripte zum starren Körper und rotierenden Bezugsystemen.

Weizen598 · Anmeldungsdatum: 29.01.2022 Beiträge: 23

Okay, danke. Heißt das dann, dass nur rho und z zeitabhängig sind, also diese dann praktisch die generalisierten Koordinaten sind?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Nein, natürlich ist auch phi bzw. phi-quer zeitabhängig. Du hast in drei Dimensionen immer drei generalisierte Koordinaten.

Du kannst auch nicht von vorneherein die Zeitabhängigkeit von phi "wegrotieren"; du kennst sie ja noch nicht mal. Schau dir als Lösung einen kreisförmigen Keplerorbit mit Radius R an; dann hast du in

eine R-abhängige Winkelgeschwindigkeit, jedoch

d.h. du kannst nur die Rotation für einen speziellen Keplerorbit wegrotieren, nicht für beliebige kreisförmigen, und schon gar nicht für elliptische, bei denen die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist.