Perle aud Rotierender Drahtschlaufe (Lagrange/Hamilton)

DanBan · Gast

Meine Frage:
Hallo,

normalerweise stell ich eigentlich keine Fragen in Foren, aber bei dieser Aufgabe, habe ich solche Verständnisprobleme. Ich komme einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen, wo ich mein Denkfehler hab.

Die Aufgabe:
Ein kreisförmiger Draht mit Radius R befindet sich im homogenen Schwerefeld der Erde und rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ? um die z-Achse. Eine Perle der Masse m kann reibungslos auf dem Draht gleiten.
Die Schwerkraft wirkt in negativer Z Richtung

a) Wählen Sie eine geeignete generalisierte Koordinate und bestimmen Sie die Lagrange- Funktion und die Hamilton-Funktion.
?b) Ist die Hamilton-Funktion gleich der Gesamtenergie? Sind diese jeweils zeitlich erhalten?
c) Gibt es in diesem Problem zyklische Koordinaten? Falls ja, wie lauten die dazugehörigen konjugierten Impulse?
d) Berechnen Sie die kanonischen Gleichungen.
e) Bestimmen Sie alle stationären Lösungen. Linearisieren Sie dann die Bewegungsgleichung um die stationären Lösungen.
f) Welche der stationären Lösungen sind stabil, das heißt, bei welchen dieser Lösungen oszilliert die Perle bei einer kleinen Störung um die Ruhelage?

Meine Ideen:
a) Dort hab ich einfach den Auslenkwinkel bezüglich der positiven Z-Ache gewählt.
Das aufstellen von L und H war dann kein Problem
b) So hier dreh ich mich grad irgendwie im Kreis.
H ist nicht der Gesamtenergie, da es eine rheonome Zwangsbedinungung gibt richtig?
L ist nicht explizit von t abhängig, sprich H ist erhalten.
E=T+V, was eben auch ungleich H ist (wenn ich nun aber dE/dt berechne ist das nicht 0, also keine
Energieerhaltung?
Jetzt habe ich auf dieser pdf (Seite 11) eine Lösung für da Problem gefunden.
http://pauli.uni-muenster.de/Lehre/Skripten/Eckelt/thmech.pdf
Dort wird das effektive Potenzial aufgestellt und E wird dann zu E=T+V(eff)
Wenn ich dies dann ableite kommt eben die Bewegungsgleichung (die ich durch die d) habe) raus, muss
also 0 sein? Also doch Energieerhaltung?
Wenn ich aber mit dem effektiven Potential rechne ist bei mir dann aber auch H=E?
Was ist den jetzt richtig? So wie ich zuerst gedacht hab, oder so wie es bei der pdf ist?
Das Problem ist man kommt auf die gleiche Bewegungsgleichung am Schluss?
c) gibt es keine? Da es ja nur den Auslenkwinkel als generalisierte Koordinate gibt, und der kommt in der
Lagrange-Funktion vor.
d) ist halt ausrechen
e) Hier müsste ich einfach schauen das das Potential 0 wird. Würde es auch gehen wenn ich bei
del(H)/del(theta)=-p´ einfach p´=0 setzte?
f) Hier muss ich doch einfach schauen, welche stationären Lösung ein max bzw. ein min sind?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe

Liebe Grüße Dan

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Okay, so kann ich mir nichts darunter vorstellen. Um welche Achse erfolgt die Rotation? Welche Achsen spannen am Anfang die Kreisfläche auf?

Beim Lesen habe ich gedacht: bspw. x-z-Ebene beschreibt anfangs die Kreisfläche, Rotation um z-Achse. Doch du schreibst:

DanBan · Gast

Ok sry, war vielleicht bisschen missverständlich erklärt (ist aber auch garnet so einfach)
Ich kann leider kein Bild posten, deswegen versuch ichs nochmal besser zu beschreiben.
Die Z-Achse zeigt nach oben
Der Drahtring ist am Anfang in der X-Z-Ebene
Es wird um die Z-Achse rotiert.
Meine generalisierte Koordinate ist jetzt der Winkel zwischen dem Ortsvektor
der Masse auf dem Draht und der positiven Z-achse