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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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 Hobbit93 Verfasst am: 18. Okt 2013 12:08 Titel: Ausdruck mit Nabla und Kreuzprodukten beweisen? |
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Hallo,
ich habe ein Problem mit folgenden beiden Ausdrücken, die ich beweisen soll:
1. Ausdruck:
 = A \times (\nabla \times B) - B \times (\nabla \times A) - (A \times \nabla) \times B + (B\times \nabla) \times A)
2. Ausdruck:
 = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A)
Meine Ansätze:
zu 1:  = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} \partial_{j} (A_l B_m) = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} (\partial_j A_l) B_m + \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} A_l (\partial_j B_m) )
Nun würde ich die Epsilon-Tensoren in Kronecker- Deltas umschreiben, nur leider bekomme ich dann keine Kreuzprodukte mehr gebildet.
zu 2: Keine Idee, dachte ich könnte einfach die BAC-CAB-Regel anwenden. Nun sagte ein Kommilitone, dass wäre hier nicht erlaubt. Stimmt das?
Könnt ihr mit bei 1 helfen, was ich nun machen muss?
Kann mir jemand einen Ansatz zur 2 geben?
Danke und Grüße
Hobbit93
PS: A und B sind mind. 2 mal diff'bare Vektorfelder (habe mir den Pfeil gespart) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2013 13:34 Titel: |
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Deine Idee zu 1 ist gut (die kannst Du im uebrigen auch bei 2 anwenden, dann bist Du da gleich fertig). Allerdings ist es etwas mühsam, direkt wieder alles in Kreuzprodukte umzuwandeln. Einfacher geht es indem Du beide Seiten getrennt ausrechnest und dann vergleichst, dass es tatsächlich dasselbe ist. |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 18. Okt 2013 13:39 Titel: |
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Ok, gut. Dann probiere ich das noch mal aus.
Und bei 2 auch dann beide Seiten getrennt betrachten und zeigen, dass sie gleich sind?
Geht meine Idee mit der BAC-CAB-Regel bei 2 nicht? Die hätte ich nämlich bereits bewiesen... |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 18. Okt 2013 15:12 Titel: |
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Hi,
ich habe es nun probiert, leider funktioniert es bei der 1 nicht. Die 2 habe ich jetzt auch im Indexkalkül gelöst.
Zu 1: Ich habe die letzten beiden Terme nach Antikommutativität des Vektorprodukts so gedreht, dass ich einen Faktor 2 in die rechte Seite bekomme.
Kannst du mir da bitte noch mal genauer helfen?
zu 2: Meine Lösung, hoffe sie stimmt??
_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} \partial_j \partial_l A_m = (\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) \partial_j \partial_l A_m = \partial_m \partial_l A_m - \partial_l \partial_l A_m => \nabla \cdot (\nabla \cdot A) - \nabla^2 \cdot A)
Danke und Grüße
Hobbit |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2013 16:02 Titel: |
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2 sieht gut aus. Du kannst die BAC-CAB-Formel nicht (ohne weiteres) anwenden, weil dein Vektorfeld A immer am Ende stehen muss, da die Differentialoperatoren darauf wirken. Ich nehme mal an, dass ist auch was Du in 1 falsch gemacht hast, ist aber so ohne Deine Rechnung zu sehen schwer zu sagen. |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 18. Okt 2013 16:59 Titel: |
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Gut, danke sehr. Dann passt wenigstens 2.
Dann wieder zur Nr. 1:
Rechte Seite, Term für Term:
 = \epsilon_{ijk} A_j (\nabla \times B)_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} A_j (\partial_l B_m))
und
 = \epsilon_{ijk} B_j (\nabla \times A)_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} B_j (\partial_l A_m))
und
 \times B = - B \times (A \times \nabla) = - \epsilon_{ijk} B_j (A \times \nabla)_k = -\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} B_j (A_l \partial_m))
und
 \times A = - A \times (B \times \nabla) = - \epsilon_{ijk} A_j (B \times \nabla)_k = - \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} A_j (B_l \partial_m))
Das müsste doch stimmen, oder?
Aber wie bekomme ich diese 4 Terme jetzt so, dass sie aussehen wie:
 = \epsilon_{ijk} \partial_j (A \times B)_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} (\partial_j A_l)B_m + \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} A_l (\partial_j B_m))
Vielleicht kannst du mir nun einfacher helfen, wenn du meine gesamte Rechnung hast....
Danke und Grüße
Hobbit |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2013 17:13 Titel: |
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| Hobbit93 hat Folgendes geschrieben: |
und
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Die beiden Zeilen sind falsch. Die Ableitung wirkt auf das Vektorfeld ganz rechts, deswegen darfst Du es nicht einfach vor die Ableitung ziehen. |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 18. Okt 2013 21:40 Titel: |
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Das verstehe ich nicht....wie genau muss ich das verstehen?
Kannst du für die beiden Ausdrücke bitte die Lösung hinschreiben? Dann verstehe ich es vielleicht besser....
Mich haben die Klammern gewundert, da ja eigentlich "Klammern zu erst" gilt, und daher bin ich mir nicht sicher, ob der Nabla auf A oder B wirkt. Woher weiß ich das bei solchen Aufgaben?
Grüße
Zuletzt bearbeitet von Hobbit93 am 20. Okt 2013 12:11, insgesamt einmal bearbeitet |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 20. Okt 2013 13:22 Titel: |
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Hi,
nun habe ich noch mla drüber nachgedacht. 
Leider klappt es immer noch nicht.
Könntest du mir mit den beiden Teil-Termen, die wie du sagst Falsch sind, helfen und sie berichtigen?
Ich komme einfach nicht weiter.... |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 21. Okt 2013 21:11 Titel: |
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Kann mir denn keiner mehr Unterstützend zur Seite stehen?
Ich brauche wirklich Hilfe  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 22:53 Titel: |
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Wenn da stehen würde  \frac{d}{dx} g(x)) , würdest Du ja auch nicht schreiben
 \frac{d}{dx} g(x) =g(x) f(x) \frac{d}{dx})
... oder doch? |
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AlsoIch
Gast
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| AlsoIch Verfasst am: 21. Okt 2013 23:09 Titel: |
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...würd' sagen, dass der Ansatz einfach falsch ist.
Rechne das mal mir "BAC-CAB" durch und vergleiche..
Und die Suchfuntion ist auch noch da! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 23:16 Titel: |
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| AlsoIch hat Folgendes geschrieben: | ...würd' sagen, dass der Ansatz einfach falsch ist.
Rechne das mal mir "BAC-CAB" durch und vergleiche..
Und die Suchfuntion ist auch noch da! |
Falsche Aussagen und Tipps helfen dem Fragesteller vermutlich nicht weiter. |
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AlsoIch
Gast
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| AlsoIch Verfasst am: 21. Okt 2013 23:40 Titel: |
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..sehe das auch so. Darum misch ich mich ja ein.
Mit BAC-CAB ist natürlich das die ESK-Version gemeint, das andere hatten wir ja schon.
Wolln wir mal sehen, ob der Ansatz nicht doch falsch ist, und die Aussage damit richtig...
Und seit wann ist der Rat zur Nutzung der Suchfunktion ein schlechter Tipp? -Hat bei mir nichtmal 10 Sek. gedauert und ich war am Ziel.. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 22. Okt 2013 01:21 Titel: |
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gähn...
Der Ansatz an sich ist nicht falsch, nur falsch umgesetzt... und "BAC-CAB" in irgendeiner Form hilft hier anscheinend nicht weiter, da der Thread-Steller offensichtlich Probleme mit der Reihenfolge von Operatoren hat...
PS: Was denkst Du eigentlich wo BAC-CAB herkommt, wenn Du denkst, der Ansatz wäre falsch? |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 22. Okt 2013 11:42 Titel: |
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Das, was du, jh8979, hier mit den Ableitungen schreibst ist mit klar und ich habe es dann ja auch so probiert. Dein letuter Post war nach etwas nachdenken dann doch gut zu verstehen...
Trotzdem klappt es nicht.
Könntest du mit die beiden falschen Teil-Terme bitte korrigieren? Dass hat glaube ich mehr Sinn, da ich das dann versuchen kann zu verstehen...
Das hilft mir dann glaube ich mehr.
Dann kann ich schauen, ob ich den Ausdruck bewiesen bekomme und falls nicht, melde ich mich dann hier... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 22. Okt 2013 11:50 Titel: |
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Ich weiss gerade nicht so genau was Dein Problem ist, da ich Dir ja erklärt hab was der Fehler ist: Du darfst nicht einfach (ohne weiteres) die Reihenfolge von A, B und Nabla vertauschen.
 \times B = \epsilon_{ijk} (A \times \nabla)_j B_k = \epsilon_{ijk} \epsilon_{jlm} (A_l \partial_m) B_k = ... ) |
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AlsoIch
Gast
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| AlsoIch Verfasst am: 22. Okt 2013 18:26 Titel: |
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..würde mir mal überlegen, wie man aus 4 Termen der Form
2 macht, ohne dabei etwas wie einen Faktor 2 einzuführen...
Müdigkeit ist auch keine Ausrede, zumindest nicht den ganzen Tag lang..
| Zitat: | | Du darfst nicht einfach (ohne weiteres) die Reihenfolge von A, B und Nabla vertauschen |
Sind wir jetzt wieder beim Eröffnungspost? Zumindest würde ich die gesetzten Klammern so deuten, dass sie Bezug auf die Ableitung nehmen..
Na, wenns so ist, hier nochmal mein Tipp:
NUTZE DIE SUCHFUNKTION.
Als wärst du der erste mit diesem Problem...
..Hat sich aber vielleicht schon erledigt. Bis jetzt kam ja keine Rückmeldung mehr... |
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Hobbit93
Anmeldungsdatum: 24.06.2013
Beiträge: 31
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| Hobbit93 Verfasst am: 22. Okt 2013 19:02 Titel: |
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Hi,
Danke dafür. Nun klappte es endlich. Danke jh8979.
Zu Alsoich:
Die Suchfunktion habe ich genutzt. Danke für den Tipp. Leider habe ich da nichts gefunden. Könntest du mir den Link zum Thread hier posten, den du meinst, der mir helfen kann? |
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AlsoIch
Gast
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| AlsoIch Verfasst am: 22. Okt 2013 20:18 Titel: |
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Den Link direkt habe ich natürlich nicht, aber ich glaube ich habe nach "nabla" und "kreuzprodukt" (oder nur kreuz...?) gesucht.
Aber du scheinst ja schon fertig zu sein. Was war denn jetzt der Trick? Bzw. wie sieht die Gleichung zum Schluss aus (aus der man die Gleichheit von linker und rechter Seite ablesen kann)? |
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