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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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 Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 07. Mai 2014 19:31 Titel: Potential, konservative Kraft, Nabla und seltsames Verhalten |
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Hallo,
Ich habe hier ein konservatives Kraftfeld und sein Potential. Jetzt wollte ich mal ohne Umwege die Arbeit berechnen und sehen, dass sie vom Weg unabhängig ist und der Potentiadifferenz entspricht..
Wir haben also (ohne Faktoren!):
 ~=~ \int \! \dd \vec{r} \, \nabla V(\vec{r})
<br />
)
Jetzt können sich einerseits die Operatoren (bestimmtes) Integral und Nabla wegheben, so dass soetwas wie  übrig bliebe.
Bildlich verstehe ich das, aber kann mir das mal jemand mathematisch ausgeschrieben erklären?!
Also so, dass man auf dem Papier sieht wie es funktioniert..?
Ich bekomme das so allgemein nicht hin.
Andererseits wird es seltsam, wenn ich dr und Nabla ausschreibe:
 ~=~ \int \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} V(\vec{r}) ~=~ \int \! \dd x \partial_x V(\vec{r}) + \int \! \dd y \partial_y V(\vec{r}) + \int \! \dd z \partial_z V(\vec{r}) )
Mit  kommt am Ende tatsächlich V raus. Auch mit
 gehts gut, ist ja klar.
Aber warum geht es z.B. nicht für:
oder:
Auch, wenn ich ein Potential einsetze ist das nicht richtig, zumindest meinstens...
Also was ist hier los? Warum geht es mal und mal nicht?!
Kann mir da jemand weiterhelfen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 07. Mai 2014 20:12 Titel: |
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Hallo,
Danke schon mal!
Naja, wenn ich einen bestimmten Weg einsetze, dann kann ich aber nicht mehr Zeigen, dass es wegunabhängig ist. Ich kann dann nur zeigen, dass es für den einen Weg stimmt.
Und für das Potential V=x+y+z geht es ja auch. Oder eben für 1D-Potentiale. Warum?
Auf
de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft#Beweis_der_.C3.84quivalenz_der_Kriterien
Punkt 2, steht auch nichts weiter von einem expliziten Weg (kann keine urls posten).
Welche Zwischenschritten wurden da denn weg gelassen??
Da scheinen sich die Operatoren auch irgendwie gegenseitig wegzuheben.. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2014 20:16 Titel: |
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Du berechnest das Kurvenintegral falsch! Siehe Link oben.
Bei V=x+y+z kommt zufällig trotzdem das richtige raus... |
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 07. Mai 2014 21:10 Titel: |
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Okay. Aber was genau ist daran falsch? Ich habe doch nur die letzte Verfeinerung mit der parametrisierung der Kurve weg gelassen.
dr ist doch (dx, dy, dz) ,denn dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt).
Und Nabla ist doch auch (del_x, del_y, del_z),
da Nabla*V = (del_x V, del_y V, del_z V)...
Und was ist mit V=x+y+z? Wenn man den Zufall nicht absichtlich mit einbaut, kommt er in der Mathematik doch eigentlich eher selten vor... Also das kann doch kein Zufall sein, würde ich sagen..
Und die Frage warum sich Integral und Nabla weg heben, wie auch im Wiki-Link von mir zu sehen ist, bleibt offen, wenn ich das nicht falsch sehe..
Und das scheint ja auch ohne Umweg über die Parametrisierung zu funktionieren... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2014 21:18 Titel: |
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| Inet-Utzer Nr10^14 hat Folgendes geschrieben: | Okay. Aber was genau ist daran falsch? Ich habe doch nur die letzte Verfeinerung mit der parametrisierung der Kurve weg gelassen.
dr ist doch (dx, dy, dz) ,denn dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt).
Und Nabla ist doch auch (del_x, del_y, del_z),
da Nabla*V = (del_x V, del_y V, del_z V)...
Und was ist mit V=x+y+z? Wenn man den Zufall nicht absichtlich mit einbaut, kommt er in der Mathematik doch eigentlich eher selten vor... Also das kann doch kein Zufall sein, würde ich sagen..
Und die Frage warum sich Integral und Nabla weg heben, wie auch im Wiki-Link von mir zu sehen ist, bleibt offen, wenn ich das nicht falsch sehe..
Und das scheint ja auch ohne Umweg über die Parametrisierung zu funktionieren... |
Ich weiss nicht ganz was Du hören möchtest. Die "letzte Verfeinerung mit der parametrisierung der Kurve" ist die Definition des Wegintegrals. V=x+y+z ist einfach zufällig eine Funktion bei der trotzdem das richtige rauskommt (weil keine x*y oder y*z Terme auftreten).
Warum sich das weghebt ist einfach nur Kettenregel, wenn man die Integration richtig durchführt, aber das tust du Wie gesagt nicht. dr/dt heisst nicht, dass man da einfach irgendetwas teilt... |
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 07. Mai 2014 21:57 Titel: |
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| Zitat: | | dr/dt heisst nicht, dass man da einfach irgendetwas teilt... |
Ja das ist mir immerhin schon klar.. (naja, wenn mans genau nimmt mit dem Teilen... , aber egal)
Was ich damit sagen will ist, dass doch das
"dr = (dx, dy, dz)" dem "dr" in "dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)" entspricht.
Und mit den d/dt meine ich natürlich die Ableitungen.
Also anschaulich ist das dr ein infinitesimal kleiner Pfeil...
Wenn insbesondere gilt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig von der, für den Weg benötigten Zeit, bzw. der Geschwindigkeit ist, warum muss man dann ebendiese einführen?? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2014 22:13 Titel: |
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| Inet-Utzer Nr10^14 hat Folgendes geschrieben: | | (naja, wenn mans genau nimmt mit dem Teilen... , aber egal) |
Wenn man es genau nimmt, dann teilt man erst und nimmt dann einen Grenzwert... das ist durchaus wichtig....
| Zitat: |
Wenn insbesondere gilt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig von der, für den Weg benötigten Zeit, bzw. der Geschwindigkeit ist, warum muss man dann ebendiese einführen?? |
Weil Arbeit = Kraft * Weg = Energie * Zeit ... Die Energie, die benötigt wird, hängt dann halt von der Zeit ab, in der man das ausführen will, ... |
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 07. Mai 2014 22:25 Titel: |
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Wie gesagt, ich weiß schon was es mit der Ableitung auf sich hat und, dass sie vorm Grenzübergang durchaus was mit Teilen zutun hat... (darum stand es ja auch in Klammern).
| Zitat: | | Weil Arbeit = Kraft * Weg = Energie * Zeit |
...Bitte was???
Ich nehme an du meinst eigentlich Leistung... Ich meine aber durchaus Energie.. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 07. Mai 2014 22:39 Titel: @Inet ... |
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Du kannst so ein Potential, welches dann wegunabhängig ist auf einem einfach zusammenhängendem Gebiet definieren.
Alles andere kann, muss aber nicht wegunabhängig sein.
Und wenn ich deine Argumente so sehe gibst du ja mit dr einen Weg vor. Du könntest aber auch einen anderen nehmen. Kommt eben auf die Parametrisierung an. Und wenn du dann die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllst, klappts eben nicht für beliebige Wege.
Zuletzt bearbeitet von Dr.Sheldon.Cooper am 07. Mai 2014 22:48, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 07. Mai 2014 22:46 Titel: |
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Die genaue Definition findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld
Für ein "normales" Gravitationspotential ist eben gerade dies erfüllt. Nicht jedoch wenn du z.b. innerhalb einer Kreisbahn Punkte ausnimmst. Oder andere verrückte Dinge machst. Du musst also eigentlich erstmal die Definitionsmenge deines Potentials angeben und dahingehend untersuchen.
Macht wohl keiner, ist aber so  . |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 07. Mai 2014 22:59 Titel: |
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| Inet-Utzer Nr10^14 hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Weil Arbeit = Kraft * Weg = Energie * Zeit |
...Bitte was???
Ich nehme an du meinst eigentlich Leistung... Ich meine aber durchaus Energie.. |
Mein Fehler, mein ich offensichtlich .. hat mit Deiner eigentlichen Fragen aber rein gar nicht zu tun... also lenk nicht ab.... |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 07. Mai 2014 23:00 Titel: ... |
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Und bei deinen anderen Beispielen gehts eben nicht, weils keine einfach zusammenhängenden Gebiete sind.
x*y*z = 3
ist für x, y oder z = 0 nicht erfüllt. Du kannst aber nun einen Weg definieren, der diese Punkte umschließt oder durch diese führt. Genau hier liegt das Problem. Wenn du aber einen Weg definierst, der diese Punkte meidet, wird es klappen. Aber dafür müsstest eine andere Parametrisierung als dr nehmen. Z.b. ein verschobener Kreis, der in einem einfach zusammenhängenden Gebiet (wenn möglich noch offen) liegt .
bei x+y+z=3 existiert dieses Problem natürlich nicht, da es eine 2 dim Hyperfläche im R^3 ist. Die ist natürlich einfach zusammenhängend. |
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 08. Mai 2014 00:37 Titel: |
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| Zitat: | | Mein Fehler, mein ich offensichtlich .. hat mit Deiner eigentlichen Fragen aber rein gar nicht zu tun... also lenk nicht ab.... |
Dein ganzes Zitat lautet:
| Zitat: | | Weil Arbeit = Kraft * Weg = Energie * Zeit ... Die Energie, die benötigt wird, hängt dann halt von der Zeit ab, in der man das ausführen will, ... |
Also so offensichlich finde ich das nicht..
Davon mal abgesehen, finde ich ebenfalls, dass das nicht viel mit meiner Frage zutun hat, die lautet:
| Zitat: | | Wenn insbesondere gilt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig von der, für den Weg benötigten Zeit, bzw. der Geschwindigkeit ist, warum muss man dann ebendiese einführen?? |
...also lenk nicht ab....
@Dr.Sheldon.Cooper: Danke. Ich muss mir die Sache mit dem Gebietskriterium mal genauer ansehen. Dazu kann ich momentan nicht viel mehr sagen, weil ich nicht weiß worauf es ankommt..
Kurz gefragt: Was ist an "x*y*z = 3 und dem Drumherum" so schlimm?
Und kann man erklären, warum bei falscher Rechnung ein bestimmtes vielfaches des Potentials heraus kommt? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2014 06:46 Titel: |
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Mit einfach zusammenhängenden Gebieten hat dies ganze nichts zu tun. Die Beispielpotentiale sind in Ganz R^3 definiert und es gibt kein Problem.
Nochmal:
Es wurde einfach das Wegintegral falsch ausgeführt.
)- V(\vec r(t_1)))
t kann in dieser Parametrisierung die Zeit sein, muss aber nicht. Jeder andere Parameter für den Weg funktioniert.
Das erste Gleichheitszeichen ist die Definition des Wegintegrals,
das zweite ist Anwendung der Kettenregel und
das dritte ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 08. Mai 2014 09:20 Titel: ... |
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Hallo,
warum ist x*y*z=3 in ganz R^3 definiert ?
Wenn ich x=0 setze kann die Lösung gar nicht 3 sein. Die Achsen sind stets ausgenommen.
Die Herleitung über die Parametrisierung über t ist natürlich auch richtig. Das ist allgemein gültig. Aber in dem Beispiel hast du dich auf kein explizites Potential bezogen sondern es allgemein so belassen. Was absolut richtig ist.
Aber ich hab es so verstanden, dass er das ganze über die Ableitung des Potentials verifizieren will. Also rechte Seite = linke Seite.
Zuletzt bearbeitet von Dr.Sheldon.Cooper am 08. Mai 2014 09:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 08. Mai 2014 09:23 Titel: ... |
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"Und kann man erklären, warum bei falscher Rechnung ein bestimmtes vielfaches des Potentials heraus kommt?"
Sagt dir der Residuensatz was ? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2014 09:27 Titel: Re: ... |
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| Dr.Sheldon.Cooper hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
warum ist x*y*z=3 in ganz R^3 definiert ?
Wenn ich x=0 setze kann die Lösung gar nicht 3 sein. Die Achsen sind stets ausgenommen.
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x*y*z=3 ist natürlich nicht überall in R^3 eine gültige Gleichung. x*y*z=3 ist aber kein Potential!
V(x,y,z)=x*y*z, ist ein Potential.
| Zitat: |
Die Herleitung über die Parametrisierung über t ist natürlich auch richtig. Das ist allgemein gültig. Aber in dem Beispiel hast du dich auf kein explizites Potential bezogen sondern es allgemein so belassen. |
Richtig, es ist allgemeingueltig! Genau darum ging es. Und es ist nicht "auch" richtig. Die anderen Sachen hier sind falsch oder haben mit dem Problem nichts zu tun. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2014 09:28 Titel: Re: ... |
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| Dr.Sheldon.Cooper hat Folgendes geschrieben: | "Und kann man erklären, warum bei falscher Rechnung ein bestimmtes vielfaches des Potentials heraus kommt?"
Sagt dir der Residuensatz was ? |
Kannst Du vielleicht aufhören den Fragesteller noch weiter mit Sachen zu verwirren, die Du anscheinend selber nicht so ganz verstanden hast? Der Residuensatz hat hier gerade nichts verloren. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 08. Mai 2014 09:31 Titel: |
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Ja ich geh dann .
Schönen Tag noch. |
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Inet-Utzer Nr10^14
Gast
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| Inet-Utzer Nr10^14 Verfasst am: 08. Mai 2014 22:06 Titel: |
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| Zitat: | Ja ich geh dann.
Schönen Tag noch. |
Sollte ich wohl besser auch. Bevor er uns hier virtuell aufmischt...
Und ich werde mir deine Empfehlungen trotzdem mal ansehen, auch auf die Gefahr hin, dass es nichts hiermit zutun hat und mich zusätzlich verwirrt... Mein kalkuliertes Risiko.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Es wurde einfach das Wegintegral falsch ausgeführt. |
| Zitat: | | t kann in dieser Parametrisierung die Zeit sein, muss aber nicht. Jeder andere Parameter für den Weg funktioniert. |
Ja, was heißt denn hier falsch?
Du führst ja letztlich wieder einen Weg ein, indem du ihn mit der Zeit (oder was auch immer "t" für dich bedeutet) parametrisierst.
Also für mich bleibt die Frage offen:
Wenn insbesondere gilt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig von der, für den Weg benötigten Zeit, bzw. der Geschwindigkeit ist, warum muss man dann ebendiese einführen?? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 08. Mai 2014 22:15 Titel: |
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| Inet-Utzer Nr10^14 hat Folgendes geschrieben: |
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Es wurde einfach das Wegintegral falsch ausgeführt. |
| Zitat: | | t kann in dieser Parametrisierung die Zeit sein, muss aber nicht. Jeder andere Parameter für den Weg funktioniert. |
Ja, was heißt denn hier falsch? |
Falsch heisst, dass
| Zitat: |
Du führst ja letztlich wieder einen Weg ein, indem du ihn mit der Zeit (oder was auch immer "t" für dich bedeutet) parametrisierst.
Also für mich bleibt die Frage offen:
Wenn insbesondere gilt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig von der, für den Weg benötigten Zeit, bzw. der Geschwindigkeit ist, warum muss man dann ebendiese einführen?? |
Weil das Wegintegral so definiert ist. Dass das bei konservativen Kräften dann trotzdem unabhängig von der Geschwindigkeit ist folgt dann daraus... |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 09. Mai 2014 13:03 Titel: |
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Also ich versteh gerade nicht warum
=\int_C\dd x\,F_x(\vec{r})+\int_C\dd y\,F_y(\vec{r})+\int_C\dd z\,F_z(\vec{r}))
falsch sein sollte. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 09. Mai 2014 13:49 Titel: |
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Es war wohl schon spät und ich hab mich von dem ganzen anderen Quatsch der hier drin steht anstecken lassen:
Es ist nicht unbedingt falsch, wenn man es richtig macht. Es ist aber i.A. fuer kompliziertere Wege und nicht triviale Vektorfelder sehr umständlich, weil Weg in Teilstücke zerlegen muss, so dass z.B. z als Funktion von x (nur x, nicht y!) eindeutig ist. Hierfür muss man u.U. auch die Parametrisierung invertieren, was auch nicht immer einfach ist. |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 09. Mai 2014 20:29 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Es war wohl schon spät und ich hab mich von dem ganzen anderen Quatsch der hier drin steht anstecken lassen |
So drastisch würd ich's jetzt nicht ausdrücken. Jeder macht Fehler oder beantwortet eine Frage mal so, dass es den Fragesteller verwirrt. Das sollte man demjenigen dann auch nicht übel nehmen, schließlich geschieht das ja nicht mit Absicht. Bin mir ja selbst oft nicht 100%ig sicher in dem, was ich so schreibe bzw. lasse mich gerne mal verwirren.  |
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