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Nachricht |
M.J.Foxx
Gast
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 M.J.Foxx Verfasst am: 18. Nov 2013 00:03 Titel: Erdbeschleunigung anhand des Experiments freier Fall mit Luf |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgendes Problem:
Ich muss die Erdbeschleunigung berechnen anhand folgendes Experiments. Wir messen die Zeit die eine Kugel über eine bestimmte Strecke fällt. Dies bei verschiedenen Höhen. Ich kenne also die hinterlegte Strecke und die dafür benötigte Zeit. Und nun muss die Erdbeschleunigung unter Berücksichtigung des Luftwiderstands berechnet werden. Folgende Formel wurde hergeleitet:
 = 1/\beta \cdot ln cosh(t\sqrt{g\cdot \beta } ))
Mir fehlt leider bereits das Verständnis für die Herleitung. Und mir ist nicht klar wie ich anhand dieser Formel und meines Experiments die Erdbeschleuningung berechnen soll. Weiter heisst es, dass der Luftwiderstand  = \beta \cdot v^2 ) ist.
Meine Ideen:
Zur Berechnung von g:
Da ich weder den Luftwiderstand noch die Geschwindigkeit kenne weiss ich nicht weiter. Was ist mit Beta überhaupt gemeint? Ist mit Beta die cw Zahl gemeint? In diesem Fall cw=0.47? Falls ja wie muss ich die Formel anwenden um g zu berechnen? Wie muss ich sie umformen?
Zur Herleitung:
Wenn  = \beta \cdot v^2) ist ist mir klar, dass die Fallbeschleunigung gleich der Erdbeschleunigung weniger den Luftwiderstand f(v) ist. Also
Und mir ist auch klar, dass der Luftwiderstand abhängig von der Geschwindigkeit, Form und der Dichte des Mediums (hier Luft) ist. Mir ist jedoch nicht klar warum der Luftwiderstand bei kleinen Geschwindigkeiten linear wächst und bei grossen quadratisch. (Ich soll hier von grosssen Geschwindigkeiten ausgehen).
Ausserdem ist die Fallbeschleunigung gleich der zweiten Ableitung Des Ortes nach der Zeit bzw. die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Also folgt:
Nun wird nach dt umgeformt und integriert. Mein Verständnis hört bereits hier auf. Vielleicht kann mir jemand mit Zwischenschritte weiterhelfen?
Dann wird weiter durch Substitution vereinfacht. Verallgemeinert für alle Zeiten und alle Geschwindigekeiten und nach v aufgelöst. Dann erhalten sie durch Integration über die Zeit die zurückgelegte Strecke über die Zeit.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 18. Nov 2013 11:04 Titel: Re: Erdbeschleunigung anhand des Experiments freier Fall mit |
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| M.J.Foxx hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Mir fehlt leider bereits das Verständnis für die Herleitung. |
Das ergibt sich einfach durch Integration der Bewegungsgleichung
Die erste Integration erfolgt mittels Trennung der Variablen. Man bekommt die Zeit als Funktion der Geschwindigkeit und durch Umstellung des Ergebnisses die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. Die zweite Integration ist dann ein gewöhnliches Integral.
| Zitat: | | Und mir ist nicht klar wie ich anhand dieser Formel und meines Experiments die Erdbeschleuningung berechnen soll. |
Man passt einfach die beiden Konstanten g und  numerisch an die vorhandenen Messpunkte an. Hat man nur 2 Messpunkte ) und ) , so hat man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem löst man numerisch. Hat man mehr als 2 Messpunkte, macht man eine numerische Anpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate.
| Zitat: | | Was ist mit Beta überhaupt gemeint? |
In stecken der cw-Wert, die Luftdichte, die effektive Querschnittsfläche des Körpers und seine Masse. Betrachte es einfach als eine unbekannte Konstante.
| Zitat: | Ausserdem ist die Fallbeschleunigung gleich der zweiten Ableitung Des Ortes nach der Zeit bzw. die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Also folgt:
Nun wird nach dt umgeformt und integriert. Mein Verständnis hört bereits hier auf. Vielleicht kann mir jemand mit Zwischenschritte weiterhelfen?
Dann wird weiter durch Substitution vereinfacht. Verallgemeinert für alle Zeiten und alle Geschwindigekeiten und nach v aufgelöst. Dann erhalten sie durch Integration über die Zeit die zurückgelegte Strecke über die Zeit |
Wie schon gesagt, erfolgt die erste Integration durch Trennung der Variablen. Man stellt um zu
Dann kann man integrieren
t' und v' sind hier einfach die Integrationsvariablen und keine Ableitungen. Man sollte den Integrationsvariablen andere Bezeichnungen geben als den Integrationsgrenzen. Deshalb hier die Striche. Es bleibt das Integral
zu lösen. |
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