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Angehendephysikerin
Anmeldungsdatum: 26.10.2013
Beiträge: 6
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 Angehendephysikerin Verfasst am: 26. Okt 2013 13:35 Titel: Dreidimensionale- Delta distribution |
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Meine Frage:
Es geht hier für mich ums allgemeine verständnis.
Für die uni soll ich die dreidimensionale Deltadistribution und Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten bestimmen. Da ich selber keine Idee hatte hab ich im Internet recherchiert und bin auf folgendes gestoßen.
Meine Ideen:
\delta(\vec{r}-\vec{r_0})=\gamma(a,b,c)\delta(\vec{a}-\vec{a_0})\delta(\vec{b}-\vec{b_0})\delta(\vec{c}-\vec{c_0})
1. In kartesischen Koordinaten wäre die Funktion doch einfach nur
\gamma(x_0,y_0,z_0) oder?
Frage... ich verstehe nicht genau was ich da eigentlich vor mir habe... wieso kann ich die Distrubution in eine Funktion und ihr produktPmit den Komponenten von r umschreiben?
Welche Aufgabe hat die Funktion, kann ich mir das irgendwie bildlich vorstellen?
2. hier geht es nun um die Distribution in Krummlinigen Koordinaten.
Das d^3r der Funktionaldeterminante entspricht ist mir aus Analysis klar.
d^3r=det(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)})
Aber warum ist dann die Funktion deren Kehrwert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18192
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2013 13:50 Titel: |
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Kannst du das nochmal mit Latex-Tags schreiben?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Angehendephysikerin
Anmeldungsdatum: 26.10.2013
Beiträge: 6
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| Angehendephysikerin Verfasst am: 26. Okt 2013 14:23 Titel: |
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Entschuldige ich hatte vergessen den text zwischen diese LAtext klammern zu setzten.
=\gamma(a,b,c)\delta(\vec{a}-\vec{a_0})\delta(\vec{b}-\vec{b_0})\delta(\vec{c}-\vec{c_0}))
1. In kartesischen Koordinaten wäre die Funktion doch einfach nur
 ) oder?
Frage... ich verstehe nicht genau was ich da eigentlich vor mir habe... wieso kann ich die Distrubution in eine Funktion und ihr produktPmit den Komponenten von r umschreiben?
Welche Aufgabe hat die Funktion, kann ich mir das irgendwie bildlich vorstellen?
2. hier geht es nun um die Distribution in Krummlinigen Koordinaten.
Das d^3r der Funktionaldeterminante entspricht ist mir aus Analysis klar.
}{\partial(a,b,c)}))
Aber warum ist dann die Funktion deren Kehrwert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18192
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2013 14:45 Titel: |
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Also fangen wir mal ganz einfach an
}(\vec{r} - \vec{r}_0) = \delta(x-x_0)\,\delta(y-y_0)\,\delta(z-z_0))
und
}(\vec{r} - \vec{r}_0)\,f(\vec{r}) = f(\vec{r}_0)))
In deinen Funktionen rechts dürfen also keine Vektorpfeile mehr stehen, sondern nur die einzelnen Koordinaten. Und die Funktion gamma ist in kartesischen Koordinaten einfach die Eins.
Wenn du nun eine Koordinatentransformation durchführst, dann gilt
}(\vec{r} - \vec{r}_0)\,f(\vec{r}) = \int\dd a \, \dd b \, \dd c \omega(a,b,c) \, \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r}_0)\,f(\vec{r}) = f(a_0,b_0,c_0))
omega steht dabei für das Volumenelement in den neuen Koordinaten a,b,c. Das Ergebnis rechts ist aber die Funktion f ausgedrückt in den neuen Koordinaten am jeweils gewählten Punkt r_0. D.h. dass du eine Darstellung der Delta-Funktion in den neuen Koordinaten benötigst, wobei jedoch das Volumenelement wegfallen muss, denn das Ergebnis lautet ja nicht
 \,f(a_0,b_0,c_0))
Damit kann die Deltafunktion in den neuen Koordinaten nicht
\,\delta(b-b_0)\,\delta(c-c_0))
lauten sondern muss das inverse Volumenelement enthalten.
Am besten machst du dir das mal mit einer einfachen Substitution in einer Variablen klar, auch da entsteht durch die Substitutionsregel ein Vorfaktor.
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Angehendephysikerin
Anmeldungsdatum: 26.10.2013
Beiträge: 6
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| Angehendephysikerin Verfasst am: 26. Okt 2013 14:48 Titel: |
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Eine Frage die ich vergessen hatte zu stellen:
Wofür ist die Distribution gut?
Kann mir jemand eine typische Beispielanwendung aus der Physik nennen mit Begründung WARUM die Delta Distrubution in dem Beispiel so geeignet ist? |
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Angehendephysikerin
Anmeldungsdatum: 26.10.2013
Beiträge: 6
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| Angehendephysikerin Verfasst am: 26. Okt 2013 14:59 Titel: |
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Danke schonmal für deine Antwort bisher, es ist mir schon etwas klarer geworden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18192
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2013 22:10 Titel: |
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| Angehendephysikerin hat Folgendes geschrieben: | Eine Frage die ich vergessen hatte zu stellen:
Wofür ist die Distribution gut?
Kann mir jemand eine typische Beispielanwendung aus der Physik nennen mit Begründung WARUM die Delta Distrubution in dem Beispiel so geeignet ist? |
Anwendungsfälle:
- punktförmige Ladungsdichte als Quelle eines elektrischen Feldes
- Ortseigenzustände in der Quantenmechanik
- Greensche Funktionen, z.B. in der Elektrodynamik und der Quantenmechanik
Zu meiner Idee von oben: berechne mal
 \, f(x) = f(x_0))
und dann nochmal das selbe Integral mittels Substitutionsregel für eine andere Koordinate y(x), z.B.
 = y^3)
 = x^{1/3})
Einsetzen liefert
 \, f(x) = \int \dd y \, 3y^2 \, \delta(x-x_0) \, f(x) )
Wenn du nun setzen würdest
 = \delta(y(x)))
Dann wäre das Ergebnis des Integrals
 = 3x_0^{2/3} f(x_0) )
Also benötigst du einen Vorfaktor in der Deltafunktion, der den durch die Substitution (Funktionaldeterminante in mehreren Dimensionen) entstehenden Faktor kompensiert, d.h. genau das Inverse dieses Faktors.
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