| Autor |
Nachricht |
Marie419
Anmeldungsdatum: 21.10.2013
Beiträge: 5
|
 Marie419 Verfasst am: 21. Okt 2013 12:17 Titel: "Regulized delta function" 3D Integral |
 |
|
Meine Frage:
Hi Leute, ich will für eine Hamiltonian-Matrixdarstellung Integrale der Form:
 \frac{\partial }{\partial r} |n \right> \, \dd³ r )
die Kets m und n sind die l=0 Eigenfunktionen des 3D harmonischen Oszillators in der Laguerre-Polynom Darstellung. Mein Problem ist, dass ich nicht sicher bin wie ich mit der 3D Deltafunktion umgehen soll.
Beste Grüße und schonmal Danke!
Meine Ideen:
Ich habe mir übelegt das Integral in Kugelkoordinaten zu schreiben und die Deltafunktion einfach auf r anzuwenden, aber so bekomme ich wegen dem  Faktor ja überall nur eine 0 zurück. Ich würde mich über jeden Anreiz freuen wie ich mit so einem Integral umzugehen habe, bin im Moment ein wenig ratlos. |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
|
| TomS Verfasst am: 21. Okt 2013 12:47 Titel: Re: "Regulized delta function" 3D Integral |
|
|
Das soll wohl so aussehen:
 \frac{\partial }{\partial r} |n \right> \, \dd³ r )
Frage: ist dir bewusst, dass ein Ket |n> überhaupt keine r-Abhängigkeit hat? ist dir bekannt, dass die r-Abhängigkeit über eine Projektion zustande kommt?
 = \langle r|\psi\rangle)
Also du meinst wohl sowas wie
 \, \delta^3(r) \frac{\partial }{\partial r} \psi_n(r)\, \dd³ r )
Aber das sieht nicht sinnvoll aus; du müsstest angeben, wie du zu diesem Matrixelement kommst.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Marie419
Anmeldungsdatum: 21.10.2013
Beiträge: 5
|
| Marie419 Verfasst am: 21. Okt 2013 13:57 Titel: |
|
|
Erstmal danke für die schnelle Antwort und Entschuldigung für meine Darstellung. Ja genau das meine ich. Ich komme zu diesem Matrixelement über den Hamiltonian:
\left(\frac{\partial}{\partial r}\right)r)
Ich versuche hier den zweiten Teil nach den Eigenfunktionen des harmonischen Oscillators zu entwickeln. Beim Versuch eine explizite Matrixdarstellung des Hamiltonians zu finden, müsste ich doch genau auf solche Integrale kommen, oder nicht?
Zuletzt bearbeitet von Marie419 am 22. Okt 2013 07:55, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
|
| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 15:29 Titel: |
|
|
Was ist denn ) ?
Normalerweise schreibt man dies ) oder }(\vec r)) (oder evtl noch ) ). Ich denke Du möchtest das zweite benutzen und in Kugelkoordinaten enthält das ein extra 1/r^2. |
|
|
Marie419
Anmeldungsdatum: 21.10.2013
Beiträge: 5
|
| Marie419 Verfasst am: 21. Okt 2013 15:48 Titel: |
|
|
Genau die zweite Form möchte ich benutzen. D.h. das 1/r^2 kürzt sich mit dem r^2 das aus der Transformation des Volumenelemts in Kugelkoordinaten stammt, oder nicht? Dann müsste ich ja ein Integral der Form erhalten:
%20\,%20\delta^{(3)}(\vec r)%20\frac{\partial%20}{\partial%20r}%20\psi_n(r)\,%20\dd%20r) |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
|
| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 15:52 Titel: |
|
|
|
Du solltest auch über drei Dimensionen integrieren... |
|
|
Marie419
Anmeldungsdatum: 21.10.2013
Beiträge: 5
|
| Marie419 Verfasst am: 21. Okt 2013 16:12 Titel: |
|
|
|
Ich hab die theta und phi anteile hier nur weggelassen, weil sie ja nur die 4Pi liefern. Mich interessiert die r Integration. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
|
| TomS Verfasst am: 21. Okt 2013 18:02 Titel: |
|
|
Es würde echt helfen, wenn du das jeweils vollständig reinschreibst; dass müssen wir weniger rätseln ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
|
| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 19:45 Titel: |
|
|
|
Besonders weil die Aussage zusammen mit der Formel so wie sie dasteht falsch ist... |
|
|
Marie419
Anmeldungsdatum: 21.10.2013
Beiträge: 5
|
| Marie419 Verfasst am: 21. Okt 2013 23:03 Titel: |
|
|
Ok, wenn das so ist hab ich wohl weniger verstanden als ich dachte. Ich beschreibe das Problem nochmal ausführlich.
Also ich betrachte den Hamiltonian
\left(\frac{\partial}{\partial%20r}\right)r)
Diesen will ich nun nach Eigenfunktionen des 3D harmonischen Oscillators entwickeln. Das bringt mich zu folgendem Integral (die Konstanten wegen Übersichtlichkeit weggelassen):
%20\,%20\delta^{(3)} (\vec%20r)%20\frac{\partial%20}{\partial%20r}%20r\psi_n(r)\,%20\dd%B3%20r)
Mein Ansatz zur Lösung wäre jetzt in Kugelkoordinaten zu wechseln, wobei laut jh8979 noch ein 1/r^2 reinkommt:
%20\,%20\delta^{(3)}(\vec%20r)\frac{1}{r^2}%20\frac{\partial%20}{\partial%20r}%20r\psi_n(r)\,r^2\sin(\vartheta)%20\dd%20rd\varphi d\vartheta)
Ist die Transformation so überhaupt richtig?
So und wie oben beschrieben, habe ich nun Probleme mit der Deltafunktion, da ich nicht weiß wie ich mit ihr umgehen soll. Ich kenne die 1D Indentität:
f(x) \, \dd x = f(a))
bezweifle aber das Integral hier einfach an der Stelle r=0 auszuwerten, vorallem weil r ja vektoriell in der Deltafunktion steht. Schonmal Danke! |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
|
| jh8979 Verfasst am: 21. Okt 2013 23:15 Titel: |
|
|
|
Du kannst die Delta-Funktion in Kugelkoordinaten auswerten (Google ist Dein Freund), einfacher ist es jedoch einfach die Ableitung auszurechnen und dann das Integral in kartesischen Koordinaten auszuwerten und einfach r=0 zu setzen. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
