maxwell gleichungen=axiome der elektrodynamik?

Gast01 · Gast

sind die maxwell gleichungen als aximoe zubetrachten wie newtons axiome
oder können diese gleichungen hergeleitet werden?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Genauso wie man F=m*a aus dem Lagrangeformalismus herleiten kann, kann man die Maxwell Gleichungen aus einer Lagrange-Funktion herleiten. Aber dann ist es ein Axiom, dass die Physik mit dem Lagrangeformalismus beschrieben wird (und Symmetrien wie z.B. Lorentzinvarianz). Insofern ist es letztendlich Ansichtssache was man lieber wählt.

Die meisten Physiker heutzutage würden sicher eher dem Lagrangeformalismus und dem Zugang ueber Symmetrien den Vorzug geben, einfach weil es eleganter ist und der Zugang zur (relativistischen) Quantenfeldtheorie praktisch nur darüber geht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Dem schließe ich mich an. Ich denke, man sollte heute die Lagrangedichte sowie das Prinzip der kleinsten (bzw. der extremalen) Wirkung als Axiome einführen.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

So wird das ja auch im Landau/Lifschitz gemacht. Aber bei vielen Rezensionen liest man, dass das als komisch empfunden wird. Warum baut man denn die Vorlesungen nicht so auf? Mich hat das schon ziemlich beeindruckt, wenn ich die Herleitung auch etwas gewagt finde. Aber sonst wäre es ja auch beängstigend.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ich kenne Vorlesungen, die genau so aufgebaut sind:
Erst SRT und etwas allgemeine Feldtheorie, davon ausgehend dann Elektrodynamik. Rein physikalisch ist das auch viel sinnvoller, als es historisch zu machen und mit den Maxwell-Gleichungen zu starten.

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

jh8979, weisst du ob es dazu Unterlagen/Skripte gibt und wo ich die finden würde?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Soweit ich weiss, gibt es zu den Vorlesungen, die ich meinte, keine Skripte oder eingescannten Notizen. Aber es geht im wesentlichen:
SRT -> Allgemeine Einfuehrung in Klassische Feldtheorie -> Maxwell Gleichungen aus dem Lagrangian -> Dann Edynamik mehr oder weniger wie üblich: E-Statik, M-Statik, EM-Dynamik

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

jh8979, ich meinte eigentlich, warum es keine Mechanik-Vorlesungen gibt, die so aufgebaut sind... Überall, wo ich gucke (einzige Ausnahme ist, wie gesagt, der Mechanik-Band von Landau und Lifschitz) wird irgendwann das d'Alembertsche Prinzip postuliert (und noch irgendwie plausibel gemacht) und daraus werden dann die Lagrange-Gleichungen 1. und 2. Art hergeleitet. Und irgendwann später wird gezeigt, dass die Lagrange-Gleichungen 2. Art äquivalent zum Hamiltonschen Prinzip sind. Im Band von Landau und Lifschitz dagegen wird ganz am Anfang das Hamiltonsche Prinzip postuliert (und plausibel gemacht), dann wird aus dem Galileischen Relativitätsprinzip und ein paar weiteren Annahmen die Lagrange-Funktion hergeleitet. Dabei werden das erste und das zweite Newtonsche Axiom hergeleitet. Aus der Homogenität des Raumes wird dann die Impulserhaltung hergeleitet (also das dritte Newtonsche Gesetz).

Es ging ja gerade darum, das Hamiltonsche Prinzip als Axiom für die ganze Physik zu nehmen (zumindest kann es ja für klassische Mechanik, Elektrodynamik und per Pfadintegralformalen auch für die QM genommen werden).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Das wird doch allgemein in der Vorlesung zur theoretischen Mechanik genauso gemacht (am Anfang kurz noch gezeigt, dass es dieselben Bewegungsgleichungen liefert wie F=m*a).

Das es in den Experimentalphysik-Vorlesungen nicht gemacht wird, ist ziemlich verständlich. Man sollte Physik auch nicht mathematisch überfrachten und wie TomS schon gesagt hat: Es geht auch darum an bekannten anzuknüpfen und verschiedene Formulierungen zu kennen. (Und auch wenn man an anderen Threads hier im Forum sehen kann, dass dies keine allgemein geteilte Aussage ist: Die Formulierung über Newton und Kräfte ist schon einer sehr intuitive.)

joooo8 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist das Prinzip, dass eine Ableitung der Bewegungsgleichungen erst erlaubt.

Wenn L sowie die Bewegungsgleichungen gegeben sind, wie kommst du von einem zum anderen? Es ist umgekehrt: L ist gegeben,

wird angewandt, daraus folgen dann die Bewegungsgleichungen.

Außerdem kann ein allgemeines Prinzip (das für alle Feldtheorien gilt) ja nicht aus speziellen Gleichungen (hier: den Maxwellgleichungen) folgen. Genauso wenig folgt das Relativitätsprinzip aus einer speziellen Bewegungsgleichung.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Die Forderung, dass das Funktional

bzgl. q stationär ist, ist äquivalent mit der Gültigkeit von

.

Ja, die Aussage war lediglich auf die Mechanik bezogen. Die Gültigkeit des hamiltonschen Prinzips in der Mechanik ist trotzdem eine Äquivalenz mit der Euler-Lagrange-Gleichung und nicht eine Folgerung daraus.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Das Hamilton'sche Prinzip ist auch gültig, wenn von dem betrachteten System keine Lagrange Funktion existiert, aber ein hamilton'sches System. Äquivalenz besteht zwar in der Menge der Systeme mit Lagrange-Funktionen, ist aber letztendlich "allgemeingültiger".

Ein Beispiel eines Systems ohne wäre folgendes Hamilton'sche System auf S^2 des klassischen Spins:

S^2 = \{ \sigma \in \mathbb{R} : \left< \sigma, \sigma \right> = 1 \}[/latex]

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Das der Integralkern einer Wirkung als Funktion auf dem Phasenraum vorliegt setzt natürlich zunächst einen Lagrangian auf dem Ortsraum voraus.
Und das in allgemeineren Fällen keine Wirkung nötig ist, ist natürlich richtig. Die Hamilton'schen Gleichungen allgemeinerer hamilton'schen Systeme folgen aus der Symplektischen Struktur im des Phasenraums und nicht aus dem Hamilton'schen Prinzip.

Das wurde mir gerade beim Verfassen bewusst, insbesondere da man jeden Integralkern egal welcher Form als Lagrangian bezeichnen kann.

EDIT: Das möchte ich zunächst mal in Klammern setzen. Ich muss darüber nochmal nachdenken und dazu komme ich zur Zeit leider nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Man müsste sich überlegen, unter welchen Bedingungen die Rücktransformation vom Hamiltonian zum Lagrangian, d.h. vom Phasenraum zum Konfigurationsraum Sinn macht bzw. überhaupt möglich ist.

Im Falle deines Spinsystems fehlt noch etwas. Damit ein System eine Dynamik entwickelt, musst du kanonisch konjugierte Variable angeben können, um die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen abzuleiten.

Aber ich denke, ich weiß worauf du hinauswillst

Gegeben seien abstrakte Größen (Observablen) A, B, ... sowie die Algebra der Poissonklammern {A,B}, ... oder Kommutatoren [A,B] in der QM (jeweils ohne Rückgriff auf unterlagerte kanonisch konjugierte Variablen q, p). Außerdem sei ein Hamiltonian H(A, B, ...) gegeben. Dann kannst du natürlich die Zeitentwicklung gemäß

fordern, wiederum ohne auf einen unterlagerten Phasenraum und kanonisch konjugierte Variablen q, p zurückzugreifen. Damit hast du ein Hamiltonsches System ohne Lagangesches System (die Algebra der Observablen A, B, ... einschließlich H folgt dann auch nicht aus den Poissonklammern, berechnet mittels q, p, sie muss nur bestimmte Konsistenzbedingungen wie z.B. die Jacobi-Identität erfüllen).

Damit hast du ein dynamisches System ohne Lagrangefunktion, und damit logischerweise auch eines ohne Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung.

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Ja das ist richtig, ich habe bei meinem Beispiel etwas vorenthalten und zwar die symplektische Form, aus der die Poissonklammer folgt.

Hier das vollständige ham. System, wie ich es vorliegen habe:

Die Bewegungsgleichungen folgen dann durch Bestimmung des Vektorfeldes

:

Mir war die Bedeutung der Symplektischen Form bisher gar nicht bewusst und insbesondere das das Hamilton'sche Prinzip gar nicht verwendet wird Schläfer

Bzgl. QM, grob verstehe ich was du meinst und sehe natürlich das das Hamilton'sche Prinzip nicht nötig ist, im Details kann ich aber leider nicht folgen.
Ich weiss zB. nicht was mit unterlagertem Phasenraum oder unterlagerten konjugierten Variablen gemeint ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Ganz einfach.

Ein klassisches Beispiel: Gegeben sei ein Bahndrehimpuls L abgeleitet aus den kanonischen Variablen (q,p), die den Phasenraum aufspannen. Außerdem sei eine Hamiltonfunktion H gegeben. Die Bewegungsgleichungen z.B. für q, p und L o.a. Funktionen auf dem Phasenraum folgen dann aus den Poissonklammern mit H.

Dein quantenmechanisches Beispiel: Gegeben ist ein Spin S, d.h. drei Spinoperatoren

sowie ein Hamiltonoperator H[S].

In deinem Beispiel existieren keine kanonisch konjugierten Variablen (q,p), d.h. auch kein Phasenraum (ich sehe nicht, wie eine symplektische Form für den Spin eingeführt werden kann). Trotzdem kannst du die Dynamik gem. der Heisenbergschen Bewegungsgleichung fordern - du kannst sie aber nicht mehr aus einem Prinzip für Phasen- oder Konfigurationsraum ableiten, da letztere gar nicht mehr existieren.

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Vielen, vielen Dank für das Gespräch, das hilft mir ganz besonders meine Gedanken zu ordnen! Mir fehlt dazu leider der Gesprächspartner im Alltag.

Ich werde die nächsten Tage nochmal einiges zur Mechanik lesen und zwar mit einer viel differenzierteren Sicht.
Da das Buch, das ich durcharbeite von einem Mathematiker verfasst wurde, war mir nicht bewusst, das diese Sicht auch für mich als Physiker notwendig ist. Zumal mir die Gründe dageben nicht ersichtlich waren.

Ein paar Fragen sind aber noch offen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Ich habe mich etwas unklar ausgedrückt. Evtl. kann man beliebigen Spin, den man quantenmechanisch einführt, auch wieder auf einen klassischen Phasenraum zurückführen; ich bin mir da nicht sicher.

Also konkrete Frage: existiert für eine quantenmechanische Darstellung des Spins auf einem Hilbertraum, speziell für die s = 1/2 Repräsentation der su(2) auch eine klassische symplektische Struktur, ein klassischer Phasenraum, und klassisch kanonisch konjugierte Variablen? kann daraus rückwärts eine Lagrangefunktion abgeleitet werden?

Ich dachte, das ginge i.A. nicht (für den Bahndrehimpuls und s = 1 geht das).

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Also ob es speziell zur Spin-1/2 Darstellung der SU(2) eine klassische symplektische Struktur gibt, kann ich nicht sagen.

Aber bei einer rein klassischen Betrachtung des Spins und damit eines magnetischen Dipols m

(sigma = Spin, |sigma| = 1, mü = gyromag. Verhältnis)

in einem B-Feld, existiert ein hamiltonsches System

wobei omega die Raumwinkelform auf S^2 ist und damit die zum System gehörende symplektische Form ist.

In Winkelkoordinaten nimmt omega dann folgende Form an:

Also ist insgesamt eine symplektische Strukur gegeben, aber ohne unterlagerten (ich hoffe ich verwende das Wort richtig) Phasenraum, sondern bloß der Mannigfaltigkeit S^2.

Und im Skript steht auch ausdrücklich, das in diesem Fall keine Lagrange-Funktion existiert.

Es wird auch gezeigt, das sich tatsächlich die bekannte Bewegungsgleichung

daraus errechnen lässt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Dass keine Lagrangefunktion existiert kann ich nachvollziehen. Um diese zu rekonstruieren müsste man ja aus der Hamiltonfunktion H definiert in kanonisch konjugierten Variablen q,p die Legendre-Trf.

invertieren. Ohne q,p ist das nicht möglich.

Aber mir fehlt noch die Information, wie man alleine aus der symplektischen Form sowie H die Bewegungsgleichung berechnet (in der QM ist mir das klar, aber für die klassische Mechanik habe ich das vergessen ;-)

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Eine Mannigfaltigkeit M geradzahliger Dimension, eine nichtdegenerierte 2-Form

und eine Hamilton Funktion H seien gegeben.

Da

nicht degeneriert ist, bildet die Abbildung

einen kanonischen Isomoprhismus zwischen den Tangentialvektoren und den 1-Formen von M.
(vergleichbar mit dem Isomorphismus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

)

Deswegen wird der 1-Form dH eindeutig ein Vektor(-Feld) X_H zugeordnet:

woraus die Bewegung in der Mannigfaltigkeit bzgl. der 2-Form folgt.

Wenn M nun der gewöhnliche Phasenraum ist (

), dann liegt die "natürliche" Symplektische Form

vor.

Damit errechnen sich die Hamiltonschen Gleichungen folgendermaßen (in 2D):

mit

Da die Dualvektoren bzgl. der selben Basis dargestellt sind, müssen bei Gleichheit also auch die Koeffizienten gleich sein.