Lagrange-Mechanik und generalisierte Kräfte

michi_87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2013 Beiträge: 5

Hallo Zusammen!

Ich beschäftige mich zur Zeit in einer Studienarbeit mit einem 3DOF Heli von der Firma Quanser.

http://www.quanser.com/english/html/prod…ode=S1-3dofheli

Für die Modellbildung muss ich mich jetzt mit dem Lagrange-Formlismus auseinandersetzten, ich bin eigentlich Elektrotechniker, hab von Mechanik smit nur begrenzt Ahnung und hoffe somit auf eure Hilfe. Die Lagrange Gleichung 2. Art lautet ja:

Die rechte Seite ist ja gleich 0. Das ist ja der Fall, wenn nur konservative Kräfte vorhanden sind, wenn ich das richtig verstanden habe.
Ansonsten treten sog. generalisierte Kräfte auf:

Stimmt das prinzipiell so? Diese generalisierten Kräfte muss man dann irgendwie bestimmen. Kann mir jemand auf einem einfchen Weg erklären wie man diese bestimmt? Hab zwar Skipte und Bücher gewälzt, allerdings find ich das da doch ziemlich komplex erklärt. Prinzipiell muss ich diese generalisierten Kräfte für die drei generlisierten Koordinaten meines Systems (hier

,

) bestimmen. Hab mal drei Skizzen angehängt. Die Kraft Fb und Ff bzw Fm (Fm=Fb+Ff) entspricht den Auftriebskräften der Propeller. Ich weiß jetzt halt nicht wie ich diese Kräfte bestimme. Ich kenne die Lösung zwar, da ich die aus Unterlagen von Quanser habe, allerdings nicht, wie man dahin kommt. Offensichtlich enstpricht der generalisierten Kraft ein Drehmoment, welches durch die Auftriebskräfte verursacht wird. Kann man vielleicht sagen, dass die generalisierten Kräfte diejenigen Kräfte sind die sonst noch ins System "gesteckt" werden? Die Gewichtskraft taucht nicht auf, liegt das daran, dass es sich dabei um eine konservtive Kraft handelt und diese schon in der Lagrange-Gleichung mit verbaut ist? Ich hoffe es kann mir vllt. jmd. einen Tipp geben wie ich da weiter vorgehen kann.

Elevation

:

Pitch p:

Travel

:

Viele Grüße!

Michael [/img]

Namenloser324 · Gast

Generalisierte Kräfte treten immer auf(es sei denn, dass ganze ist frei von treibenden Kräften) nur im Falle von konservativen System lässt sich ein Potential bilden, so dass die bekannte Lagrangegleichung identisch Null ist.(im allgemeinen kann man es dann aufteilen in konservative und nicht konservative generalisierte Kräfte).

Nochmal klarer:
Generalisierte Kräfte sind alle Kräfte die keine Zwangskräfte sind.
Siehe dazu etwa Nolting, theoretische Physik 2(analytische Mechanik), ist da eigentlich recht gut erklärt.

In deinem Beispiel wird die Gewichtskraft in der Lagrangefunktion über das Potential implizit enthalten sein, da die Gewichtskraft konservativ ist.

michi_87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2013 Beiträge: 5

Das hilft mir schonmal etwas weiter. danke schonmal!

Bleibt die Frage wie man die generalisierten Kräfte hier bestimmt. Jemand da eine Idee ?

Namenloser324 · Gast

Also die Formel für die generalisierte Kraft ist eigentlich relativ klar(ich bin selber gerade nicht so geübt, aber sollte nicht so schwer sein):

Du musst für jedes Teilchen die Gesamtkraft die auf es wirkt berechen(also addieren, nicht die zwangskräfte mit reinnehmen)).
Dann formulierst du die Ortsvektoren für die Teilchen abhängig von den gewählten generalisierten Koordinaten.
Dann leitest du die Ortsvektoren nach jeder generalisierten Koordinate ab(separat, d.h. du bildest für jede general. Koordinate die erste partielle Ableitung).

Dann gilt:

Beachte das für die j-te generalisierte Kraft(komponente) auch in der Summe immer nach der j-ten generalisierten Koordinate abgeleitet wird, aber die Summe über alle Teilchen läuft!
Das Ki umfasst hier alle nicht konservativen Kräfte.

Ohne Gewähr, da ich das selber gerade nicht probieren kann.

michi_87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2013 Beiträge: 5

Krieg es mit der Formel irgendwie nicht hin...

Hat jmd. ne Idee?

Wäre sehr dankbar...

Namenloser324 · Gast

Wo ist das Problem?
Schreib alle Ortsvektoren der Massen auf in abhängigkeit von den gewählten generalisierten koordinaten(hier im Forum).
Dann schreibst du die Ableitungen auf.
Dann besinnst du dich dich der auf die Massen wirkenden Kräfte.
Und dann schreibst du mal Summen gemäß obiger Formel auf.

michi_87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2013 Beiträge: 5

Ok nehmen wir zum Beispiel die generalisierte Kraft für die "elevation"-Achse (Q1). Da die Kraft, bzw. die Auftriebskraft immer senkrecht auf dem Helikopterarm steht fliegt die Richtung doch schonmal raus. Der Ortsvektor für die Masse ist doch

das abgeleitet nach

gibt:

mal die Kraft gibt

rauskommen soll aber

wo ist denn da mein Denkfehler? gilt für Drehmomente vllt. eine andere Gleichung?

Namenloser324 · Gast

Dein Ortsvektor dürte schon falsch sein(bin mir bei deinen skizzen nicht so sicher):
der Ortsvektor der Masse mh lautet r = (la*cos(e),la*sin(e))
Die wirkende Kraft ist, du sagst die würde immer senkrecht stehen, Fm*(-sin(e),cos(e)), so dann ist

r nach e abgeleitet: dr/de = la*(-sin(e),cos(e))
Dann ergibt sich als generalisierte Kraft Fm*la, so wie du sagst.

michi_87 · Anmeldungsdatum: 16.04.2013 Beiträge: 5

Ok, danke für die ersten beiden Fälle (Q1 und Q2) ist das also klar. Aber wie sieht das mit dem dritten Fall aus (Q3) ?
Da steh ich wieder auf dem Schlauch...

Namenloser324 · Gast

Kann mir das nur so erklären, dass dir das Aufstellen der ortsvektoren nicht klar ist, denn das Schema ist exakt das selbe.

Ortsvektoren der Massen aufstellen, in dem Bild sind drei zu erkennen.
Für die beiden "oberen" Massen gehst du wie folgt vor:
Ortsvektor des Rotationszentrums bestimmen(die beiden Massen rotieren ja um einen Punkt(scheinbar)) und dann dazu den Ortsvektor vom Rotationszentrum zu den Massen addieren.
Das Ergebnis ist dann der Ortsvektor der jeweiligen Massen bezogen auf das Drehzentrum des Travelwinkels.

Dann vorgehen wie bisher.

azzteke · Anmeldungsdatum: 10.06.2017 Beiträge: 1

Die beiden Lagrange-Gleichungen sind leider falsch.