Integraldarstellung der Delta-Funktion - Residuensatz

(gast) · Gast

Hallo,

ich würde gerne diese Integraldarstellung der Delta-Funktion nachvollziehen:

Das eigentliche Ergebnis erhält man ja durch Anwendung des Residuensatzes, nachdem man den Integrationsweg von der reellen Achse in ein geschlossenes Kurvenintegral um die obere komplexe Halbebene erweitert:

Warum verschwindet der letzte Term, der Beitrag des Linienintegrales des Halbkreises?

Vielen Dank schon mal!!

Äther · Anmeldungsdatum: 22.12.2011 Beiträge: 387

Das hat zwar nichts mit Quantenphysik zu tun, aber mittels Fouriertransformation sieht man das relativ leicht. Berechne einfach die Fouriertransformierte der Delt-Distribution.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Du solltest dabei einen kleinen Imaginärteil einführen, d.h.

Das Integral entlang des Halbkreises verschwindet, weil du für x in der Darstellung

den Radius r (als konstanten Parameter) gegen unendlich gehen lässt, was über die gesamte Kurve zu einer exponentiellen Dämpfung führt.

Generell ist daher bei derartigen Integralen darauf zu achten, ob du den Halbkreis in der oberen oder der unteren Halbebene wählst; wichtig ist die exponentielle Dämpfung.

(gast) · Gast

Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort smile