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Reelle Integrale mit Residuensatz
 
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schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 22. Aug 2016 18:00    Titel: Reelle Integrale mit Residuensatz Antworten mit Zitat

Uneigentliche Integrale wie



werden ja "unter Physikern" meistens mit einer geeigneten Kontur im Komplexen ermittelt.

Nun kann ich das vorliegende Integral ja in zwei Exponentialfunktionen aufteilen und jeweils die Werte entlang einer Kontur berechnen.

Bei



habe ich einen Pol erster Ordnung bei z=0. Der große Bogen im Unendlichen verschwindet einmal, wenn ich über die untere Halbebene schließe. Den Pol kann ich auf einem -Halbkreis entweder in der oberen (a) oder unteren Halbebene (b) umfahren.

Bei a) habe ich in der geschlossenen Kontur den Pol enthalten, während bei b) keine Pole in der Umrandung enthalten sind. Da sich das Vorzeichen der Integration entlang des kleinen Halbkreises ändert, kommt das gleiche Ergebnis heraus.

Für



ist es ganz ähnlich, nur dass man das Integral entlang des großen Halbkreises in der oberen Halbebene zum verschwinden bringt.

Zunächst die erste Frage:

ist es immer egal, ob man Pole auf der reellen Achse oben oder unten umfährt? Die Bestimmung des Integrals entlang des Halbkreises bleibt einem ja in beiden Fällen nicht "erspart".


Die zweite Frage:


Nun sah ich aber auch öfters, dass man den Integrationsweg entlang der reellen Achse um ein nach unten (a) oder oben (b)schiebt. Man erhält so zwei verschiedene Lösungen zum Integral, je nachdem ob man (a) oder (b) wählt, denn im einen Fall ergibt die Anwendung des Residuensatzes Null (keine Pole im Inneren der Kontur), im zweiten Fall nicht (oder umgekehrt).

Ich bin diesbezüglich (seit ich das auf der Uni gelernt habe) etwas verwirrt, da ja bei der ersten Methode das reelle Integral eindeutig ist, während beim Verschiebungstrick meistens zwei Lösungen herauspurzeln (z.B. avancierte und retardierte Lösungen).

Wie kann ich diese beiden Sichten unter einen Hut bringen? Mir ist auch auch klar, dass mein naiver Zugang den Integralbegriff sicher zu stark strapaziert und ein Mathematiker von beiden Methoden nichts halten würde. In den Lehrbüchern für Physiker wird es aber eben so gebracht...

Danke!

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benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 22. Aug 2016 20:39    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn der Pol auf der reellen Achse liegt, handelt es sich um ein sog. Hauptwerintegral. Dies ist als "als Mittelwert" von zwei Lösungen definiert, wobei eine immer Null ist (keine Singularität eingeschlossen ). Dies ist reine Definitionsache, da rein mathematisch eine Integration über eine Polstelle nicht möglich ist.
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 22. Aug 2016 23:14    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht um die Auswertung des folgenden Integrals für x<0 (Quelle: Peskin, Schroeder: Quantum Field Theory)



mit (hier) konstantem



Die Integrationskontur ist jene aus dem Bild. Für x < 0 wird gesagt, dass man den Integrationsweg oben im Unendlichen schließen kann, wodurch das Integral verschwindet. Das verstehe ich soweit.

Ich sehe weiters zwar ohne Probleme ein, dass sich dann keine Residuen im Inneren der Kontur befinden, trotzdem sind die Anteile des Integrals der beiden kleinen Halbkreise Ihk1 und Ihk2 an den beiden Residuen (und auch deren Summe) nicht Null, wodurch sich laut Residuensatz ergibt



also (im Grenzfall unendlich kleiner Halbkreise)




Im Text wird (scheinbar?) behauptet, dass das reelle Integral verschwindet.

Genau das kann ich nun absolut nicht nachvollziehen...

PS: Ich könnte es verstehen, wenn man die Integrationskontur um ein wenig entlang der reellen Achse nach oben verschöbe, jedoch wäre das ja dann kein reelles Integral mehr, sondern eine willkürliche Definition.

Habe ich da einen simplen Rechenfehler oder geht es um Definitionen, die sich mit meinen Vorstellungen eines "rellen Integralbegriffs" einfach nicht decken? Mir erscheint diese ganze Integriererei etwas "windig".

grübelnd



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benruzzer



Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160

Beitrag benruzzer Verfasst am: 24. Aug 2016 20:24    Titel: Antworten mit Zitat

-Das Integral über den großen Halbkreis, der das Integral zu einer geschlossenen Kontur schließt verschwindet ( kein man einfach durch einsetzen von Polarkoordinaten zeigen).
Dein reeles Integral ist entweder null oder es gibt eine nicht triviale Lösung. Falls keine Singularität in der Kontur liegt ist das Integral darum 0 (Satz von Cachy-Goursat oder so) dh. Deshalb ist das Integral um die beiden kleinen Halbkreise genau das negative von dem Ausgangsintegral. Alles zusammen addiert ergibt dann 0 -> Satz erfüllt.
Man kann zwar nicht die Kontur verschieben, aber man kann z.B. die Polstelle um ein i epsilon ( mit Limes i epsilon gegen 0) nach oben verschieben und dann den Residuensatz anwenden. Das führt dann auch zum richtigen Ergebnis.
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785

Beitrag Huggy Verfasst am: 25. Aug 2016 14:53    Titel: Antworten mit Zitat

benruzzer hat Folgendes geschrieben:
Falls keine Singularität in der Kontur liegt ist das Integral darum 0 (Satz von Cachy-Goursat oder so) dh. Deshalb ist das Integral um die beiden kleinen Halbkreise genau das negative von dem Ausgangsintegral. Alles zusammen addiert ergibt dann 0 -> Satz erfüllt.

Häh???
Ja, wie, wo, was???

Da die Summe 0 ergibt und die Integrale über die beiden kleine Halbkreis nicht 0 sind, folgt doch daraus gerade, das das ursprüngliche Integral eben nicht 0 ist, genau wie von schnudl gesagt.


Nach Partialbruchzerlegung hat das fragliche Integral 2 einfache Polstellen. Daraus folgt schon mal, dass das Integral als eigentliches Integral nicht existiert. Der Cauchysche Hauptwert kann natürlich existieren. Ohne Berücksichtigung irrelevanter Faktoren und Vorzeichen geht es um das Integral



Das letzte Ergebnis im Sinne des Cauchyschen Hauptwerts kommt von Mathematica. Es bleibt also die Frage offen, behauptet das Buch wirklich I=0 oder behauptet es nur, dass das gezeigte Kontourintgral 0 ist?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 26. Aug 2016 07:27    Titel: Antworten mit Zitat

Der Residuensatz besagt lediglich, wie ein gegebenes Integral für gegebene Polstellen gelöst werden kann. Die Festlegung, wie das Integral zu definieren ist (Hauptwert, ...) bzw. wie die Verschiebung der Pole um i*epsilon zu erfolgen hat, muss vorab (auf Basis physikalischer Überlegungen) erfolgen.

Die Partialbruchzerlegung von



liefert die beiden Terme mit jeweils einfachen Polen



1) Es kann eine physikalische Überlegung vorliegen, um für die Verschiebung eine der beiden Möglichkeiten (je Term) festzulegen:



2) Es kann von vorneherein bereits der Hauptwert festgelegt sein. Für diesen gilt




Das mögliche Schließen der Integrationskontur folgt (unabhängig von den Polstellen) aus der Exponentialfunktion



Entlang der Kontur erfolgt sozusagen ein Grenzübergang



Der imaginäre Term muss zu einer exponentiellen Dämpfung von



führen, d.h. je nach Vorzeichen von x muss die Kontur so gewählt werden, dass insgs. ein negatives Vorzeichen resultiert.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Aug 2016 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Der Residuensatz besagt lediglich, wie ein gegebenes Integral für gegebene Polstellen gelöst werden kann. Die Festlegung, wie das Integral zu definieren ist (Hauptwert, ...) bzw. wie die Verschiebung der Pole um i*epsilon zu erfolgen hat, muss vorab (auf Basis physikalischer Überlegungen) erfolgen.


Ich muss zugeben, dass mir das völlig unklar ist.

Warum und unter welchen Umständen der große Bogen verschwindet ist mir völlig klar.

Das gegebene Integral ist im Peskin, Schroeder zunächst als reelles Integral definiert. Nun stellt man fest, dass es entlang des Integrationsweges ein Problem gibt. Dann wäre das Integral im eigentlichen Sinne ja nicht definiert.

Und nun greift man in die Trickkiste und sagt, dass man sich die Kontur (sogar je Term) ja aussuchen könne, je nach physikalischem Kontext.

Ja, wenn man die Kontur so wählt wie im Bild, ist das Integral über diese Kontur Null. Ich hätte aber genau so gut die Singularitäten unten umrunden können, oder die eine oben und die andere unten (wie es scheinbar beim Feynman Propagator der Fall ist). Je nach Wahl bekommt man völlig unterschiedliche Werte des "Integrals", welches - naiv betrachtet - eigentlich eindeutig sein sollte.

Wieso ergibt ein derart willkürlich definiertes Integral im Komplexen Sinn, wenn doch das angegebene Integral im Reellen lag und eine Freiheit "oben" oder "unten" ursprünglich gar nicht bestand?

Ist das nun etwas was man einfach hinnehmen muss (weil es halt letztendlich richtige Ergebnisse liefert) , oder kann man es irgendwie erklären?

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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Aug 2016 23:25    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Ich muss zugeben, dass mir das völlig unklar ist.

Warum und unter welchen Umständen der große Bogen verschwindet ist mir völlig klar.

Das ist eine einfache Abschätzung.

Nimm' den Maximalwert des Absolutwertes entlang eines Halbkreisbogens C mit Radius R:



und betrachte die Abschätzung



Wenn für den Grenzwert



gilt, dann ist offensichtlich



Das letzte Kurvenintegral besteht aus dem Integral entlang der reellen Achse plus dem Kreisbogen, der den Integrationsweg im Unendlichen schließt, und der zum Integral den Beitrag Null liefert.

Damit ist klar, dass du das Integral nur so schließen kannst, dass der Grenzwert für I[f] im Unendlichen verschwindet. Es ist aber auch klar, dass diese Schließen völlig unabhängig davon ist, wie du das Integral entlang der reellen Achse definiert hast.

Die Definition des Integrals entlang der reellen Achse bzw. die Verschiebung möglicher Polstellen ist eine Sache. Das Schließen im Unndlichen eine andere - letztlich nur ein Trick zur einfacheren Berechnung mittels Residuensatz, für ein Integral, das du bereits vorher definiert hast.



schnudl hat Folgendes geschrieben:
Das gegebene Integral ist im Peskin, Schroeder zunächst als reelles Integral definiert. Nun stellt man fest, dass es entlang des Integrationsweges ein Problem gibt. Dann wäre das Integral im eigentlichen Sinne ja nicht definiert.

Ja.

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Und nun greift man in die Trickkiste und sagt, dass man sich die Kontur (sogar je Term) ja aussuchen könne, je nach physikalischem Kontext.

Nein.

Und übrigens: welche Kontur? i) die Deformation der Kontur entlang der reellen Achse, um Polstellen zu vermeiden? alternativ das infinitesimale Verschieben der Polstellen? oder ii) die Kontur im Unendlichen?

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Ja, wenn man die Kontur so wählt wie im Bild, ist das Integral über diese Kontur Null. Ich hätte aber genau so gut die Singularitäten unten umrunden können, oder die eine oben und die andere unten (wie es scheinbar beim Feynman Propagator der Fall ist). Je nach Wahl bekommt man völlig unterschiedliche Werte des "Integrals", welches - naiv betrachtet - eigentlich eindeutig sein sollte.

Ja, das erscheint zunächst etwas willkürlich.

Aber ich denke du siehst ein, dass das Schließen der Kontur im Unendlichen nicht willkürlich ist, sondern dass es nur genau eine Möglichkeit gibt, dies vorzunehmen.

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Wieso ergibt ein derart willkürlich definiertes Integral im Komplexen Sinn, wenn doch das angegebene Integral im Reellen lag und eine Freiheit "oben" oder "unten" ursprünglich gar nicht bestand?

Was meinst du mit 'Freiheit "oben" oder "unten"'? das Schließen im Unendlichen, oder das Behandeln der Polstellen?

Bzgl. der Polstellen gibt es diese "Freiheit" zunächst immer. Bzgl. des Schließens existiert keine Freiheit.

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Ist das nun etwas was man einfach hinnehmen muss (weil es halt letztendlich richtige Ergebnisse liefert) , oder kann man es irgendwie erklären?

Bei Peskin & Schroeder musst du das wohl hinnehmen :-(

Mir fällt jetzt spontan nicht ein, welches Buch die weiterhelfen könnte.

In der Quantenmechanik musst du Streutheorie sowie evtl. die Moeller-Operatoren verstehen. Daraus folgen derartige Festlegungen m.E. exakt. Bei elementareren Büchern gefällt mir die Darstellung im Sakurai recht gut. Er erklärt das anhand der Greenschen Funktionen.

In der Quantenfeldtheorie würde ich auf Bücher zur S-Matrix-Theorie verweisen. Schau mal in der Bibliothek nach Feshbach sowie Landshoff et al. Außerdem hilft sicher Weinberg weiter.
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 30. Aug 2016 08:01    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Das ist eine einfache Abschätzung.


Das Schließen im Unendlichen habe ich ja sowieso verstanden. Ich glaube ich habe mich da oben etwas dumm ausgedrückt...

Zitat:
Aber ich denke du siehst ein, dass das Schließen der Kontur im Unendlichen nicht willkürlich ist, sondern dass es nur genau eine Möglichkeit gibt, dies vorzunehmen.


ja, das ehe ich


Zitat:
Was meinst du mit 'Freiheit "oben" oder "unten"'? das Schließen im Unendlichen, oder das Behandeln der Polstellen?


Damit meine ich das Umgehen der Polstellen. Das Schließen ist klar.

Zitat:
Bzgl. der Polstellen gibt es diese "Freiheit" zunächst immer. Bzgl. des Schließens existiert keine Freiheit.


Wie bildet sich diese Freiheit auf physikalische Prinzipien ab? Die Wahl der Umgehung der Pole fällt bei Peskin, Schroeder ziemlich vom Himmel. Übrigens auch bei den anderen Büchern, die ich kenne. Es wird einfach gesagt, man integriere nun entlang dieser oder jenen Kontur, ohne zu rechtfertigen weshalb man es genau so macht.
Danke einmal für die Antworten - ich muss das erst mal verdauen.

_________________
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bassiks



Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194

Beitrag bassiks Verfasst am: 30. Aug 2016 09:18    Titel: Antworten mit Zitat

Eine mögliche physikalische Motivation liefern die Ergebnisse wenn man Propagatoren berechnet.

Umgeht man beide über die obere Halbebene (man umgeht die Pole also im Uhrzeigersinn), erhält man den "Retarded propagator".

Umgeht man beide Pole über die untere Halbebene (gegen den Uhrzeigersinn ) erhält man den "Advanced propagator".

Die Wahl welchen Propagator man also berechnen will legt die Wahl des Weges fest.

Ergänzung: Eigentlich ist es wie TomS bereits schrieb so, dass dies festlegt wie ich mein Integral schließe. Die Wahl die Konturen zu umgehen kommt daher, dass ich ja zum Beispiel einen Propagator will, welcher für x^0>y^0 (x liegt in der Zukunft von y) ungleich 0 ist. Da ich für x^0>y^0 den Integrationsweg unten schließen muss, ich aber beide Pole drin haben will, umgehe ich beide oben. Würde ich nun den anderen Propagator berechnen wollen, soll das Ergebnis für x^0>y^0 ja 0 sein, und ich muss daher beide Pole unten umgehen, damit ich sie nicht dabei habe wenn ich für x^0>y^0 über die untere Halbebene schließe. Natürlich kann ich auch einen Pol oben und einen Pol unten umgehen. Das wird auch gemacht, siehe Feynman-Propagator.

EDIT: In P&S Gleichung 2.59 und 2.60 mit dem kurzen Abschnitt dazwischen liefert eine physikalische Interpretation des Feynman-Propagators.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2016 21:04    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:

Zitat:
Bzgl. der Polstellen gibt es diese "Freiheit" zunächst immer. Bzgl. des Schließens existiert keine Freiheit.

Wie bildet sich diese Freiheit auf physikalische Prinzipien ab? Die Wahl der Umgehung der Pole fällt bei Peskin, Schroeder ziemlich vom Himmel. Übrigens auch bei den anderen Büchern, die ich kenne. Es wird einfach gesagt, man integriere nun entlang dieser oder jenen Kontur, ohne zu rechtfertigen weshalb man es genau so macht.
Danke einmal für die Antworten - ich muss das erst mal verdauen.

Ergänzend zu den beiden anderen:
Es kommt eben drauf an was genau Du berechnen willst. Letztendlich willst Du irgendeine Korrelationsfunktion (mit irgendwelchen Anfangs-/Randbedingungen) berechnen. Wenn Du das jetzt vorsichtig formulierst, dann wird nie ein Integral rauskommen, wo Du noch raten musst wie Du die Polstellen umgehst. Diese Regulierung entsteht automatisch, wenn Du es mathematisch vorsichtig und exakt machst (was wir aber nur selten tun.. P&S sowieso nicht Augenzwinkern ).

Dies siehst Du in P&S vor Gleichung (4.27) wo die Regulierung auftaucht. Dieses epsilon ist genau das epsilon was als i*epsilon im Propagator auftritt und Dein Integral korrekt reguliert (was eben auch nicht die kleinen Halbkreise sind, da diese eben nicht verschwinden! aber da ist P&S -und viele andere auch- sehr schlampig).
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