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Heinrix
Gast
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 Heinrix Verfasst am: 27. Okt 2024 21:41 Titel: Nicht berechenbare reelle Zahl |
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Meine Frage:
Guten Tag,
in der Hoffnung, dass ihr Physiker es auch mathematisch richtig drauf habt, hätte ich eine Frage zur Berechenbarkeit.
Wie sieht denn eine reelle Zahl aus, die nicht berechenbar ist? Kann man dafür Beispiele nennen?
Und wie sieht es bei berechenbaren reellen Zahlen aus? Reelle Zahlen haben doch eigentlich unendlich viele Stellen, müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde?
Meine Ideen:
Danke für hilfreiche Erklärungen! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2024 08:24 Titel: |
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Berechenbarkeit muss zunächst definiert werden, insbs. welche Methoden zulässig sind.
Ein Beispiel ist die Turing-Berechenbarkeit, die ein Ergebnis nach endlich vielen Schritten fordert, was unendliche nicht-periodische Dezimalzahlen ausschließt.
Ein anderes Beispiel wären Algorithmen, die in immer weiteren Schritten immer weitere Ziffern liefern. So kann man z.B. Wurzeln, pi, die Eulersche Zahl u.a. definieren. Allerdings existieren nur abzählbar unendlich viele Algorithmen, jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen. D.h. das fast alle reellen Zahlen so nicht definierbar sind, sozusagen prinzipiell unbekannt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7460
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| Steffen Bühler Verfasst am: 28. Okt 2024 09:06 Titel: Re: Nicht berechenbare reelle Zahl |
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| Heinrix hat Folgendes geschrieben: | | müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde? |
Reelle Zahlen werden nicht über einen Algorithmus definiert, auch nicht über einen Grenzwertprozess. Vielmehr sind sie ein Grenzwert, beispielsweise Schranken von Mengen oder Folgen. Als das klargeworden ist, kam die Mathematik einen Riesenschritt voran. Es ist aber wirklich schwer, das zu verinnerlichen, die meisten Leute zweifeln ja schon an  (meine Schwiegermutter zum Beispiel). |
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Heinrix
Gast
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| Heinrix Verfasst am: 28. Okt 2024 09:40 Titel: |
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| Zitat: | Ein Beispiel ist die Turing-Berechenbarkeit, die ein Ergebnis nach endlich vielen Schritten fordert, was unendliche nicht-periodische Dezimalzahlen ausschließt.
Ein anderes Beispiel wären Algorithmen, die in immer weiteren Schritten immer weitere Ziffern liefern. So kann man z.B. Wurzeln, pi, die Eulersche Zahl u.a. definieren. Allerdings existieren nur abzählbar unendlich viele Algorithmen, jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen. D.h. das fast alle reellen Zahlen so nicht definierbar sind, sozusagen prinzipiell unbekannt. |
Ganz blöde Frage: Wie berechnet dann zb ein Computer Pi? Bricht dieser nach einer definierten Stelle einfach den Prozess ab? |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7460
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| Steffen Bühler Verfasst am: 28. Okt 2024 09:52 Titel: |
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Ja, natürlich. Warum sollte er auf einem 64bit-System mehr als 64 Bit berechnen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2024 10:21 Titel: Re: Nicht berechenbare reelle Zahl |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | | Heinrix hat Folgendes geschrieben: | | müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde? |
Reelle Zahlen werden nicht über einen Algorithmus definiert, auch nicht über einen Grenzwertprozess. Vielmehr sind sie ein Grenzwert … |
Ich verstehe den Unterschied nicht, auf den du hinauswillst.
Natürlich liegt irgendein Algorithmus zugrunde, der nach n Schritten eine Näherung liefert, und wobei der Grenzwert n gegen unendlich betrachtet wird.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7460
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| Steffen Bühler Verfasst am: 28. Okt 2024 11:08 Titel: |
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Für die meisten Menschen ist das aber ein Unterschied, weil der Grenzübergang zum Unendlichen einfach schwer vorstellbar ist. 0,999 mag eine Näherung für Eins sein, 0,99999 ist eine noch bessere. Aber, wie eben meine Schwiegermutter sagte (die durchaus gebildet war!): "Es bleibt doch immer noch ein Rest, egal wieviel Neunen man anhängt." |
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