Komplexe Integrale berechnen

umlaufzähler · Gast

hallo, ich möchte das Integral

a) Integrationsweg: betrag(z)=2

berechnen.

Ich wollte erst die allgemeine Cauchyformel anwenden, habe jedoch bemerkt, das die Polstelle mit Ordnung 3 ( Also bei z0=3j) gar nicht in dem Integrationsgebiet liegt, also betrag(z)=2. Das Ergebnis müsste ja jetzt nach dem Cauchyintegralsatz 0 ergeben wenn ich richig liege. Was muss ich weiterhin dazuschreiben, sofern ich richtig liege ?

Ich vermute es reicht zu sagen, dass f analystisch/holomorph ist und der Integrationsweg einfach geschlossen in G ist, wobeio G € C.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

umlaufzähler · Gast

Danke schön. Thumbs up!

Wenn ich nun

Mit Integrationsweg betrag(z)=4

berechnen möchte stoße ich auf Probleme. Weisst du wie ich das lösen kann?

Die Cauchyformel kann man hier nicht nutzen, deshalb wollte ich das über den Residuensatz machen. Wenn ich nun aber das Residuum Res(f(z),pi) berechnen möchte, komme ich auf den Term sinh(pi)cos(pi)/(pi-jpi).

Ich weiss aber auch das sinh(z)=-jsin(jz) gilt. Hier macht mir jedoch die imaginäre Zahl Probleme. Eventuell wäre es ratsam -e^jz umzuschreiben und damit etwas zu machen. Vielleicht sieht das Endergebnis aber auch einfach nicht sauber aus.

Für Res (f(z),+j*pi) komm ich im übrigen auf den Term sinh(z)cos(z)/(z-pi) mit z gegen pi..

umlaufzähler · Gast

Ich habe noch eine Frage, damit ich das auch ganz verstehen kann:

Ich weiss das der Cauchyintegralsatz und deren Formeln einfach der Residuensatz angewendet ist. Mich würde nun interessieren, wenn die Integration über einen Kreis mit Mittelpuntk a und Radius r verläuft, muss ich alternativ den Residuensatz anwenden oder geben mir die Formeln bzw. der Satz nach Cauchy eine 100% Antwort bei Kreisen?

zb. 2 Pole liegen außerhalb des Kreises. Da kann man sofort sagen dad dass Integral null ergibt. Ich denke jetzt habe ich alles ganz verstanden, da ich dachte man muss gegebenfalls nochmal mit dem residuensatz arbeiten, wenn die CIF und der CIS nicht weiterhilft. Aber lettztendlich hilft dieser immer weiter, da am Ende, sofern nicht einmal Pole vorhanden sind, das Ergebnis Null ist.

Das war mir davor noch nicht ganz klar. Deshalb sollte ich doch die CIF auch beim letzten Integral anwenden können, wobei die zwei Polstellen jedoch problematisch sind...

umlaufzähler · Gast

niemand? ich habe alles verstanden, möchte aber nur wissen wie man auf den endwert kommt da der residuensatz nicht ohne gtr auf einem endwert kommt und ich die CIF nicht nutzen kann, da zwei pole innerhalb der kreisscheibe vorhanden sind.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Zum ich weiss nicht wievielten Mal:
Einfach den Residuensatz anwenden.... da muss man nichtmal nachdenken. Das ist einfach einen Algorithmus schematisch ausführen....Keine Tricks, keine Fallen, einfach machen.

umlaufzähler · Gast

Ja aber ich muss am Ende die Pole f+r z einsetzen um die residuen zu bestimmen und hier ergibt sich halt das Problem mit sinh(pi) bzw sinh(jpi)

Das kann ich doch unmöglich ausrechnen ohne GTR?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Ich hab keine Ahnung was GTR ist... aber ich seh das Problem mit dem sinh auch nicht...

Umlaufzähler · Gast

Ein GTR ist sowas wie ein Taschenrechner.

Wenn ich das Residuum zum beispiel zu pi berechnen will, komme ich am Ende beim Term sinh(pi)cos(pi)/(pi-jpi) an. Und jetzt weiss ich nicht was ich machen soll, der sinh macht hier halt Probleme.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Umlaufzähler · Gast

Also ich denke das ich dir nichts zu beweisen brauche und ich sehr genau weiss auf welchem Niveau sich meine Mathematik befindet.

Der residuensatz, die CIF und den CIS verstehe ich nun auch. Und jetzt möchte ich halt wie gesagt den Term

sinh(pi)cos(pi)/(pi-jpi)

zusammenfassen, wobei mir sinh(pi) Probleme bereiten.

Also wie soll ichd as berechnen wenn ich nicht weiss wie ich sinh(pi) berechnen soll ? Hab ja gedacht den sinh(z) umzuschreiben mithilfe der Expoenntialfunktion, sieht aber auch nicht viel besser aus, aber eventuell ist wie oben bereits gesagt, das Ergebnis nicht schön.

Und wo fehlt hier gerade elementares Wissen ?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Umlaufzähler · Gast

Naja, ich denke das Ergebnis ist richtig und du willst das bloß nicht sagen. Und was sinh(pi) sein soll, da habe ich leider keine Ahnung dazu, da ich damit noch nie gerechnet habe (Ausnahme heute und Integrale, wobei ich dort immer den sinus hyperbolicus durch Exponentialfunktionen umgeschrieben habe). Danke nochmals!

Im übrigen bin ich kein (angehender) Physiker. Thumbs up!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Lieber Umlaufzähler, ich sehe das ähnlich wie mein Kollege hier, aber ich gebe dir noch einen letzten Hinweis: in deinem anderen Thread hatte ich eine Formel für die Anwendung des Residuensatzes, für die Berechnung eines einzelnen Residuum sowie für die Summe über Residuen angegeben. Bitte benutze diese Formel.

(Du benötigst dazu keinen Taschenrechner oder ähnliches; es genügt die Kenntnis der komplexen e-Funktion sowie von Sinus, bzw. Sinus Hyperbolicus usf. Das kann man vollständig mit Bleistift und Papier lösen ... und das sollte man auch können, denn das ist gerade der Witz an den Integralsätzen)

Wenn du komplexe e-Funktionen usw. nachschlagen musst, dann kannst du das gerne tun - Wikipedia, Bronstein, ...

Umlaufzähler · Gast

Ich habe den Residuensatz und die Anwendung auf Kreisscheiben (Hier hilft eventuell der CIS bzw. die CIF) verstanden. Deshalb bedanke ich mich noch einmal bei euch beiden, danke sehr.

Thumbs up!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576