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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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 Picassodrücker Verfasst am: 11. Feb 2013 18:21 Titel: torusförmiges Universum ohne Krümmung? |
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Hallo,
ich nerve nochmal und würde gerne wissen, wo genau der Unterschied liegt zwischen einer positiv gekrümmten Sphäre, in der die Winkelsummen von Dreiecken größer als 180° sind und parallele Linien zusammenlaufen und einem Torus, in dem / auf dem ja eigentlich genau dasselbe passieren sollte, oder? Wenn ich auf die Oberfläche eines Torus ein Dreieck zeichne, dann sollte die Winkelsumme doch größer als 180° sein? Ich verstehe schon, dass die Linien nicht, wie auf der Oberfläche einer Kugel, in einem Punkt zusammenlaufen, aber erklärt das, warum man, wäre das Universum ein Torus, von einem flachen Universum sprechen würde?
Wenn ich einen Torus konstruiere, dann ändert sich nichts, wenn ich den Zylinder forme. Gut, wenn ich die Kanten jetzt aber so verbinde, dass ein Torus entsteht, dann muss ich das Material ja verformen / dehnen. Ergo können die Gesetze der euklidischen Geometrie ja nicht mehr angewendet werden, oder?
Und ja, ich weiß, dass ich eine Dimension höher denken muss, aber eigentlich sollte ich die zweidimensionale Analogie erklären können.
Danke im Voraus! |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 11. Feb 2013 21:06 Titel: Re: torusförmiges Universum ohne Krümmung? |
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| Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich einen Torus konstruiere, dann ändert sich nichts, wenn ich den Zylinder forme. Gut, wenn ich die Kanten jetzt aber so verbinde, dass ein Torus entsteht, dann muss ich das Material ja verformen / dehnen. Ergo können die Gesetze der euklidischen Geometrie ja nicht mehr angewendet werden, oder?
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Du musst unterscheiden zwischen innerer und äußerer Krümmung. Erstere ist eine Eigenschaft der zu betrachtenden Mannigfaltigkeit selbst (hier: des Torus) und kann komplett in ihr gemessen werden, letzteres hängt von der Einbettung der Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Raum ab und kann nur von aussen bestimmt werden.
Beispiel: Der 2-dimensionale Torus.
Ein Torus hat keine innere Krümmung, d.h. er ist flach (ein Dreieck hat also die Winkelsumme 180º genauso wie beim Zylinder oder Kegel).
Die äußere Krümmung hängt von der Einbettung ab. In 3 euklidischen Dimensionen lässt sich der Torus nur so einbetten, dass er eine äußere Krümmung hat. In 4 euklidischen Dimensionen kann man den 2-Torus allerdings auch so einbetten, dass die äußere Krümmung ebenfalls verschwindet. |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 11. Feb 2013 21:55 Titel: |
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Ok, danke für die Antworten. Ein Torus in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist ja leider nicht so leicht vorstellbar... Könnte man das irgendwie anhand der Längenkreise erklären, die auf einer Sphäre zusammenlaufen, auf dem Torus aber nicht? Schlussendlich bestimmt ja diese Eigenschaft, welche geometrischen Gesetze gelten... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 11. Feb 2013 22:05 Titel: |
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Ein Torus ist nichts anderes als ein Rechteck, in dem man jeweils die obere und untere, sowie die rechte und linke Seite miteinander identifiziert (darum ist er flach). Oder äquivalent: das kartesische Produkt zweier Kreise: T^2 = S^1 x S^1. Da S^1 eine natürliche Einbettung in R^2 hat und da R^4 ~ R^2 x R^2 ist die flache Einbettung hier offensichtlich. |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 12. Feb 2013 00:30 Titel: |
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Ok, danke für die Antworten. Ein Torus in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist ja leider nicht so leicht vorstellbar... Könnte man das irgendwie anhand der Längenkreise erklären, die auf einer Sphäre zusammenlaufen, auf dem Torus aber nicht? Schlussendlich bestimmt ja diese Eigenschaft, welche geometrischen Gesetze gelten... |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 12. Feb 2013 01:19 Titel: |
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Ups, Verzeihung, bin wohl auf eine falsche Taste gekommen... Na ja, danke trotzdem, hat mir auf jeden Fall weitergeholfen  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18105
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| TomS Verfasst am: 12. Feb 2013 07:39 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ein Torus ist nichts anderes als ein Rechteck, in dem man jeweils die obere und untere, sowie die rechte und linke Seite miteinander identifiziert |
Das ist völlig ausreichend. An jeder Stelle des Torus gilt die Geometrie des Rechtecks, und die ist flach.
Eine Einbettung in einen R^n ist möglich aber nicht notwendig. Insbs. produziert die spezifische Form der Einbettung Artefakte, die nicht dem Torus selbst zugeschrieben werden dürfen. Insofern ist die Einbettung bei der Betrachtung der Krümmung eher hinderlich.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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